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1.1: “Matemáticas inútiles”

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    En algún momento a finales de la década de 1970, el Sindicato Danés de Maestros de Matemáticas para el nivel preescolar planteó a sus integrantes una delicada pregunta: encontrar una aplicación de ecuaciones de segundo grado que cayeran dentro del horizonte de sus alumnos.

    Un miembro sí encontró tal aplicación: la relación entre duración y números de contador en un lector de casetes compacto (¡así una aplicación que en el mejor de los casos recordarán los padres de los alumnos de hoy!). Esa fue la única respuesta.

    Muchos alumnos sin duda se sorprenderán al descubrir que incluso sus profesores no saben por qué se resuelven las ecuaciones de segundo grado. Tanto los estudiantes como los profesores no se sorprenderán menos de que tales ecuaciones se hayan enseñado desde 1800 a. C. sin ningún punto de referencia externo posible para los estudiantes, en realidad durante los primeros 2500 años sin referencia a posibles aplicaciones en absoluto (solo alrededor de 700 ce lo hicieron persa y árabe posiblemente los astrónomos comiencen a utilizarlos en cómputos trigonométricos).

    Volveremos a la pregunta por qué uno enseñó, y todavía enseña, ecuaciones de segundo grado. Pero primero veremos cómo se veían las ecuaciones de segundo grado más tempranas, algunas ecuaciones de primer grado y una sola ecuación cúbica, y examinaremos la forma en que fueron resueltas. Habrá que tener en cuenta que aunque algunos de los problemas de los que se derivan se vean prácticos (pueden referirse a cuestiones mercantiles, a rampas de asedio y a la división de campos), la sustancia matemática siempre es “pura”, es decir, privada de cualquier aplicación inmediata fuera de las matemáticas sí mismo.

    Rudimentos de la Historia General

    Mesopotamia (“Tierra entre los ríos”) ha designado desde la antigüedad la región alrededor de los dos grandes ríos Éufrates y Tigres, el Irak groseramente contemporáneo. Alrededor de 3500 a. C., el nivel del agua en el Golfo Pérsico había bajado lo suficiente como para permitir la agricultura de riego a gran escala en la parte sur de la región, y pronto surgió la “civilización” más temprana, es decir, una sociedad centrada en las ciudades y organizada como estado. El núcleo alrededor del cual tomó forma este estado fue constituido por los grandes templos y su clero, y para su uso en su contabilidad este clero inventó el guión más antiguo (ver el recuadro “Escritura cuneiforme”, página 10).

    El guión más antiguo era puramente ideográfico (un poco como el simbolismo matemático moderno, donde una expresión comoalt puede explicarse e incluso pronunciarse en cualquier idioma pero no nos permite decidir en qué idioma pensó Einstein). Durante la primera mitad del tercer milenio, sin embargo, se introdujeron complementos fonéticos y gramaticales, y alrededor de 2700 a. C. el idioma era inconfundiblemente sumerio. A partir de entonces, y hasta el c. 2350, el área se dividió en una docena de ciudades-estado, a menudo en guerra entre sí por los recursos hídricos. Por ello, la estructura del estado se transformó, y el líder de la guerra (“rey”) desplazó a los templos como centro de poder. De alrededor de 2600 surgió una especialización profesional, debido a una aplicación más amplia de la escritura. La contabilidad ya no era tarea de los altos funcionarios del templo y del rey: el escriba, una nueva profesión, enseñaba en las escuelas y se encargaba de esta tarea.

    Alrededor de 2340, un conquistador acadio sometió a toda Mesopotamia (el acadio es una lengua semita, de la misma familia lingüística que el árabe y el hebreo, y había estado ampliamente presente en la región al menos desde 2600). El estado regional acadio duró hasta c. 2200, después de lo cual siguió un siglo de ciudades-estado competidores. Alrededor de 2100, la ciudad-estado de Ur se convirtió en el centro de un nuevo estado regional centralizado, cuyo idioma oficial seguía siendo sumerio (aunque la mayoría de la población, incluidos los reyes, probablemente hablaba acadio). Este estado “neo-sumerio” (conocido como Ur III) estaba altamente burocratizado (quizás más que cualquier otro estado de la historia antes de la llegada de las computadoras electrónicas), y parece que la notación numérica del valor posicional se creó en respuesta a la demanda de la burocracia de instrumentos de cálculo convenientes (ver la casilla “El Sistema Sexagesimal Plaze-Valor”, página 14).

    A la larga, la burocracia era demasiado costosa, y alrededor del 2000 comienza una nueva fase de estados más pequeños. Después de otros dos siglos se establece otra fase de centralización centrada alrededor de la ciudad de Babilonia, momento en el que es significativo hablar de Mesopotamia meridional y central como “Babilonia”. Por ahora (pero posiblemente desde siglos), el sumerio estaba definitivamente muerto, y el acadio se había convertido en el idioma principal, en el sur y centro el babilónico y en el norte el dialecto asirio. Sin embargo, los sumerios sobrevivieron en el ambiente de escribas aprendidos —un poco como el latín en Europa— mientras la escritura cuneiforme misma, es decir, hasta el primer siglo d.C.

    La fase desde 2000 hasta el colapso definitivo del estado central babilónico alrededor de 1600 se conoce como la época “Babilónica antigua”. Todos los textos analizados a continuación son de su segunda mitad, 1800 a 1600 a.c.


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