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LibreTexts Español

1.3: Una nueva lectura

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    Como acabamos de ver, la interpretación aritmética es incapaz de dar cuenta de las palabras que utilizaron los babilonios para describir sus procedimientos. En primer lugar, combina operaciones que los babilonios trataron como distintas; en segundo lugar, se basa en operaciones cuyo orden no siempre corresponde al de los cálculos babilónicos. Estrictamente hablando, más que una interpretación representa así un control de la exactitud de los métodos babilónicos basados en técnicas modernas.

    Una interpretación genuina —una lectura de lo que pensaban y hacían las antiguas calculadoras babilónicas— debe tener en cuenta dos cosas: por un lado, los resultados obtenidos por los estudiosos de los años treinta en su “primera aproximación”; por otro, los niveles de los textos que estos estudiosos tuvieron que descuidar para crear esta primera aproximación.

    En los siguientes capítulos vamos a analizar una serie de problemas en una traducción que corresponde a tal interpretación. En primer lugar alguna información general será adecuada.

    Representación y “variables”

    En nuestro álgebra utilizamos\(x\) y\(y\) como sustitutos o nombres para números desconocidos. Utilizamos este álgebra como herramienta para resolver problemas que conciernen a otro tipo de magnitudes, como precios, distancias, densidades energéticas, etc.; pero en todos esos casos consideramos estas otras cantidades como representadas por números. Para nosotros, los números constituyen la representación fundamental.

    Con los babilonios, la representación fundamental era geométrica. La mayoría de sus problemas “algebraicos” se refieren a rectángulos con longitud, ancho y área 4, o cuadrados con lado y área. Sin duda nos encontraremos con un problema a continuación (YBC 6967, página 46) que pregunta por dos números desconocidos, pero como se habla de su producto como una “superficie” es evidente que estos números están representados por los lados de un rectángulo.

    Una característica importante de la geometría babilónica le permite servir como representación “algebraica”: siempre trata de cantidades medidas. La medida de sus segmentos y áreas puede ser tratada como desconocida, pero aún así existe como una medida numérica, y el problema consiste en encontrar su valor.

    Unidades

    Toda operación de medición presupone una metrología, un sistema de unidades de medición; los números que resultan de ella son números concretos. Eso no puede verse directamente en el problema que se citó anteriormente en la página 9; en su mayoría, los textos matemáticos no lo muestran ya que hacen uso del sistema de lugar-valor (excepto, ocasionalmente, cuando se dan magnitudes o resultados finales se expresan). En este sistema, todas las cantidades del mismo tipo se midieron en una “unidad estándar” que, con muy pocas excepciones, no se declaró sino que se entendió tácitamente.

    La unidad estándar para la distancia horizontal fue el nindan, una “varilla” de c. 6 m. 5 En nuestro problema, el lado del cuadrado es así\(\frac{1}{2} \mathrm{NINDAN}\), es decir, c. 3 m. Para distancias verticales (alturas y profundidades), la unidad básica era el kùš, un “codo” de \(\frac{1}{12} \mathrm{NINDAN}\)(es decir, c. 50 cm).

    La unidad estándar para las áreas fue el sar, igual a 1\(\mathrm{NNDAN}^{2}\). La unidad estándar para volúmenes tenía el mismo nombre: la idea subyacente era que una base de 1\(\mathrm{NINDAN}^{2}\) estaba provista de un espesor estándar de 1 kùš. En la administración agrícola se utilizó una unidad de área más adecuada, la bùr. igual aalt sar, c.\(6 \frac{1}{2}\) ha.

    La unidad estándar para medidas huecas (utilizada para productos conservados en jarrones y tarros, como grano y aceite) fue la sìla, ligeramente inferior a un litro. En la vida práctica, a menudo se utilizaron unidades más grandes: 1 bán\(=\) 10 sìla, 1 pi = 1sìla, y 1 gur, un “tun” de 5sìla.

    Finalmente, la unidad estándar para pesos fue el shekel, c. 8 gramos. Las unidades más grandes fueron la mina, igual a 1shekel (así cerca de una libra) 6 y el gú, “una carga” igual alalt shekel, c. 30 kilogramo. Esta última unidad es igual al talento de la Biblia (donde hay que entender un talento de plata).

    Operaciones Aditivas

    Hay dos operaciones aditivas. Uno (kamārum /ul.gar/gar.gar), como ya hemos visto, puede traducirse “a montón\(a\) y”\(b\), el otro (waṣābum /da [+.1ex] h) “para unirse\(j\) a\(S\).” “Unirse” es una operación concreta que conserva la identidad de\(S\). Para entender lo que eso significa podemos pensar de “mi” depósito bancario\(S\); sumar el interés\(j\) (en babilónico llamado precisamente ṣibtum, “el unido”, un sustantivo derivado del verbo waṣābum) no cambia su identidad como mi depósito. Si una operación geométrica “se une”\(j\) a\(S\),\(S\) invariablemente permanece en su lugar, mientras que, si\(j\) es necesario, se mueve alrededor.

    “Amonar”, por el contrario, puede designar la adición de números abstractos. Por lo tanto, nada impide “amontonar” (el número que mide) un área y (el número que mide) una longitud. Sin embargo, incluso “colmar” a menudo se refiere a entidades que permiten una operación concreta.

    La suma resultante de una operación de “unión” no tiene ningún nombre particular; en efecto, la operación no crea nada nuevo. En un proceso de apilamiento, por otro lado, donde los dos apéndices son absorbidos en la suma, esta suma tiene un nombre (nakmartum, derivado de kamārum, “a montón”) que podemos traducir “el montón”; en un texto donde los dos constituyentes permanecen distintos, se usa un plural (kimrātum, igualmente derivado del kamārum); podemos traducirlo “las cosas amontonadas” (AO 8862 #2, traducido al Capítulo 4, página 60).

    Operaciones sustractivas

    También hay dos operaciones sustractivas. Uno (nasāum /zi), “from\(B\) to tear out\(a\)" es el inverso de “unir”; es una operación concreta que presupone\(a\) ser parte constituyente de\(B\). El otro es una comparación, que se puede expresar "\(A\)sobre\(B\),\(d\) va más allá” (una frase torpe, que sin embargo mapea precisamente la estructura de la locución babilónica). Incluso se trata de una operación concreta, utilizada para comparar magnitudes de las cuales cuanto menor no forma parte de la mayor. En ocasiones, razones estilísticas y similares exigen que la comparación se haga al revés, como una observación de\(B\) quedarse corto\(A\) (nota 4, página 48 discute un ejemplo).

    La diferencia en la primera resta se llama “el resto” (šapiltum, más literalmente “el disminuido”). En el segundo, el exceso es referido como el “ir más allá” (watartum /dirig).

    Hay varios sinónimos o casi sinónimos para “arrancar”. Nos encontraremos con “cortar” (arāṣum) (AO 8862 #2, página 60) y “hacer desaparecer” (šutbûm) (IVA 7532, página 65).

    “Multiplicaciones”

    Cuatro operaciones distintas se han interpretado tradicionalmente como multiplicación.

    Primero, está la que aparece en la versión babilónica antigua de la tabla de multiplicación. El término sumerio (a.rá, derivado del verbo sumerio rá, “ir”) puede traducirse “pasos de”. Por ejemplo, la tabla de los múltiplos de 6 corridas:

    1 paso de 6 es 6

    2 pasos de 6 son 12

    3 pasos de 6 son 18

    ...

    Tres de los textos que vamos a encontrar a continuación (TMS VII #2, página 34, TMS IX #3, página 57, y TMS VIII #1, página 78) también usan el verbo acadio para “ir” (alākum) para designar la repetición de una operación: los dos primeros repiten una magnitud\(s\)\(n\) veces, con resultado\(n \cdot s\) (TMS VII #2, línea 18; TMS IX #3, línea 21); TMS VIII #1 línea 1 une una magnitud\(s\)\(n\) tiempos a otra magnitud\(A\), con desenlace\(A+n \cdot s\).

    La segunda “multiplicación” se define por el verbo “subir” (našûm /íl/nim). El término parece haber sido utilizado primero para el cálculo de volúmenes: para determinar el volumen de un prisma con una base de\(G\) sar y una altura de\(h\) kùš, se “eleva” la base con su espesor estándar de 1 kùš a la altura real\(h\). Posteriormente, el término fue adoptado por analogía para todas las determinaciones de una magnitud concreta por multiplicación. “Pasos de” en su lugar designa la multiplicación de un número abstracto por otro número abstracto.

    La tercera “multiplicación” (šutakūlum /gu 7 .gu 7), “para hacer\(p\) y\(q\) sostenernos unos a otros"—o simplemente, porque eso es casi seguro lo que pensaron los babilonios, “hacer\(p\) y\(q\) sostener (es decir, sostener un rectángulo)” 7 —no es una multiplicación real. Siempre se refiere a dos segmentos de línea\(p\) y\(q\). Dado que\(p\) y así\(q\) como el área\(A\) del rectángulo son todos medibles, casi todos los textos dan el valor numérico de\(A\) inmediatamente después de prescribir la operación —"make 5 y 5 hold: 25"—sin mencionar explícitamente la multiplicación numérica de 5 por 5. Pero hay textos que hablan por separado sobre la multiplicación numérica, como "\(p\)pasos de”\(q\), después de prescribir la construcción, o que indican que el proceso de “hacer bodega” crea “una superficie”; ambas posibilidades se ejemplifican en AO 8862 #2 (página 60). Si ya existe un rectángulo, su área está determinada por “elevar”, al igual que el área de un triángulo o un trapecio. En adelante designaremos el rectángulo que está “sostenido” por los segmentos\(p\) y\(q\) por el símboloalt (\(p\),\(q\)), mientras quealt (\(a\)) representará el cuadrado que un segmento\(a\) “sostiene consigo mismo” (en ambos casos, el símbolo designa la configuración así como el área que contiene, de acuerdo con la ambigüedad inherente al concepto de “superficie”). Las multiplicaciones numéricas correspondientes se escribirán simbólicamente como\(p\)\(q\) y\(a\)\(a\).

    La última “multiplicación” (eṣēpum) tampoco es una multiplicación numérica apropiada. “Repetir” o “repetir hasta\(n\)" (donde\(n\) es un número entero lo suficientemente pequeño como para imaginarse fácilmente, a lo sumo 9) significa una duplicación o\(n\) -duplicación “física”, por ejemplo esa duplicación de un triángulo rectángulo con lados (que contiene el ángulo recto)\(a\) y\(b\) que produce una rectánguloalt (\(a\),\(b\)).

    División

    El problema “¿a\(d\) qué debo plantearme para poder llegar\(P\)?” es un problema de división, con respuesta\(P \div d\). Obviamente, las antiguas calculadoras babilónicas conocían perfectamente esos problemas. Los encontraron en su “álgebra” (veremos muchos ejemplos a continuación) pero también en la planeación práctica: un trabajador puede cavar canal de\(N\)\(\mathrm{NINDAN}\) riego en un día; ¿cuántos trabajadores se necesitarán para la excavación de 30\(\mathrm{NINDAN}\) en 4 días? En este ejemplo el problema incluso ocurre dos veces, siendo la respuesta\((30 \div 4) \div N\). Pero la división no era una operación separada para ellos, solo un tipo de problema.

    Para dividir 30 por 4, primero usaron una tabla (Figura 1.2), en la que podían leer (pero probablemente lo habían aprendido de memoria en la escuela 8) que igi\(4\) es\(15^{\prime}\); después “levantaron”\(15^{\prime}\) a\(30\) (incluso para que las mesas existían, aprendidas de memoria en la escuela), encontrando\(7^{\circ} 30^{\prime}\). 9

    bigImagesFigure2.png
    Figura\(1.2\): Traducción de la Antigua Mesa Babilónica de Reciprocales (igi).

    Principalmente, igi\(n\) significa el recíproco de n como se enumera en la tabla o al menos tan fácilmente encontrado de ella, no el número de\(\frac{1}{n}\) manera abstracta. De esta manera, los babilonios resolvieron el problema\(P \div d\) a través de una multiplicación\(P \cdot \frac{1}{d}\) en la medida en que esto era posible.

    No obstante, esto sólo fue posible si\(n\) aparecía en la tabla igi. En primer lugar, eso\(n\) requería que fuera un “número regular”, es decir, que\(\frac{1}{n}\) pudiera escribirse como una “fracción sexagesimal” finita. 10 Sin embargo, de los infinitamente muchos de esos números solo una pequeña selección que se encuentra lugar en la mesa, alrededor de 30 en total (a menudo\(1\)\(12\),,\(1\)\(15\) y\(1\)\(20\) se omiten “a la izquierda” ya que ya están presentes “a la derecho”).

    En la computación práctica, eso fue generalmente suficiente. De hecho, se presuponía que todas las constantes técnicas —por ejemplo, la cantidad de suciedad que un trabajador podía desenterrar en un día— eran simples números regulares. La solución de problemas “algebraicos”, por otro lado, a menudo conduce a divisiones por un divisor no regularalt. En tales casos, los textos escriben “¿qué debo postular a\(d\) lo que me da\(A\)?” , dando de inmediato la respuesta “\(A\)postular\(Q\), te dará”. 11 Eso tiene una explicación muy natural: estos problemas se construyeron al revés, a partir de resultados conocidos. Por lo tanto, los divisores siempre se dividirían, y el maestro que construyó un problema ya conocía la respuesta así como el resultado de las divisiones que conducen a ella.

    Mitades

    \(\frac{1}{2}\)puede ser una fracción como cualquier otra:\(\frac{2}{3}\)\(\frac{1}{3}\),\(\frac{1}{4}\),, etc. Este tipo de mitad, si es la mitad de algo, se encuentra elevando esa cosa a\(30^{\prime}\). De igual manera,\(\frac{1}{3}\) se encuentra elevando a\(20^{\prime}\), etc. este tipo de mitad nos encontraremos en AO 8862 #2 (página 60).

    Pero\(\frac{1}{2}\) (en este caso necesariamente la mitad de algo también puede ser una mitad “natural” o “necesaria”, es decir, una mitad que no podría ser otra cosa. El radio de un círculo es así la mitad “natural” del diámetro: ninguna otra parte podría tener el mismo papel. De igual manera, es por necesidad que exactamente la mitad de la base la que debe elevarse a la altura de un triángulo para dar el área —como puede verse en la figura utilizada para probar la fórmula (Figura 1.3).

    bigImagesFigure3.png
    Figura\(1.3\)

    Esta mitad “natural” tenía un nombre particular (bāmtum), que podemos traducir “resto”. La operación que lo produjo fue expresada por el verbo “romper” (epûm /gaz) —es decir, biseccionar, romper en dos partes iguales. Este significado de la palabra pertenece específicamente al vocabulario matemático; en uso general la palabra significa aplastar o romper de cualquier manera (etc.).

    Cuadrado y “raíz cuadrada”

    El producto no\(a \cdot a\) jugó ningún papel particular, ni cuando resulta de un “levantamiento” ni de una operación de “pasos de”. Un cuadrado, para ser algo especial, tenía que ser un cuadrado geométrico.

    Pero el cuadrado geométrico sí tenía un estatus particular. Uno podría ciertamente “hacer\(a\) y\(a\) sostener” o “hacer un junto consigo mismo sostener”; pero uno también podría “hacer\(a\) confrontarse a sí mismo” (šutamurum, de maārum “a aceptar/recibir/acercar/dar la bienvenida”). El cuadrado visto como una configuración geométrica era una “confrontación” (mitartum, del mismo verbo). 12 Numéricamente, su valor se identificó con la longitud del lado. Un “enfrentamiento” babilónico es así su lado mientras que tiene un área; inversamente, nuestra plaza (identificada con lo que está contenido y no con el marco) es un área y tiene un lado. Cuando se encuentra el valor de una “confrontación” (entendida así como su lado), se puede hablar de otro lado con el que se encuentra en una esquina como su “contraparte” — merum (de manera similar a maārum), usado también por ejemplo sobre la copia exacta de una tablilla.

    Para decir que\(s\) es el lado de un área cuadrada\(Q\), se utilizó una frase sumeria (utilizada ya en tablas de cuadrados inversos probablemente volviendo a Ur III, ver inminentemente) se utilizó: “por\(Q\),\(s\) es igual” —siendo el verbo sumerio íb.si 8. En ocasiones, la palabra íb.si 8 se utiliza como sustantivo, en cuyo caso se traducirá “el igual” en lo siguiente. En la interpretación aritmética, “el igual” se convierte en la raíz cuadrada.

    Así como había tablas de multiplicación y de reciprocas, también había tablas de cuadrados y de “iguales”. Utilizaron las frases “\(n\)pasos de\(n\)\(n^{2}\)" y “por\(n^{2}\),\(n\) es igual” (1\(n\) 60). La resolución de problemas “algebraicos”, sin embargo, a menudo implica encontrar los “iguales” de números que no están listados en las tablas. Los babilonios sí poseían una técnica para encontrar raíces cuadradas aproximadas de números no cuadrados, pero éstas eran aproximadas. En cambio, los textos dan el valor exacto, y una vez más pueden hacerlo porque los autores habían construido el problema hacia atrás y por lo tanto conocían la solución. Varios textos, efectivamente, cometen errores de cálculo, pero al final dan la raíz cuadrada del número que debería haber sido calculado, ¡no del número realmente resultante! Un ejemplo de ello se menciona en la nota 8, página 73.


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