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# 2.2: Sistemas de numeración

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En este conjunto de ejercicios aprenderás sobre dos sistemas de numeración antiguos, los de los chinos y los mayas.

## Números chinos

Los números chinos todavía se utilizan hoy en día. Los símbolos para algunos números chinos se muestran a continuación.

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1,000

Los números chinos se forman escribiendo los símbolos verticalmente y utilizando el principio multiplicativo, lo que simplifica el registro de números al eliminar la repetición de símbolos. Por ejemplo, los chinos escriben el numeral para 3,058 pensando$$3 \times 1000 + 5 \times 10 + 8$$ y anotan los símbolos 3, 1000, 5, 10 y 8 en ese orden para representar ese número. A pesar de que se puede pensar en el 8 como$$8 \times 1$$, el 1 no está escrito. Este número chino (3,058) se muestra a la izquierda. El número chino para 872 se muestra a la derecha.

A continuación se presentan algunos números más chinos. Asegúrate de entender cómo leerlos todos antes de probar los ejercicios.

 6,400 87 9,531 2,605 4,011 7,000
##### Ejercicio 1

Escribe cada número hindu-árabe como un número chino.

1. 5,093
2. 610
3. 427
4. 8,008

Así que no tendrás que seguir volviendo la página para recordar estos símbolos, aquí de nuevo están los números chinos que probablemente necesites mirar para hacer el siguiente ejercicio.

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000
##### Ejercicio 2

Reescribe cada número chino en el número Hindu-Árabe.

 a. ____ b. ____ c. ____ d. ____ e. ____

Observe en el sistema chino que los números mayores de nueve tienen símbolos escritos en pares. Para escribir 800, debes escribir el símbolo para 8 arriba del símbolo para 100. NOTA IMPORTANTE: Esto es cierto incluso si solo hay un “1" en el valor posicional, ver 2d arriba. ¡DEBES recordar escribir el símbolo para “uno” encima del símbolo para “diez”! Si bien el principio multiplicativo permite anotar menos símbolos que un simple sistema aditivo (para la mayoría de los números, al menos), una simplificación adicional nos permitiría omitir escribir el segundo número de cada par. Esto funcionaría si usáramos la posición del símbolo para indicar el tamaño de ese grupo (10, 100, 1000, etc.) Este tipo de sistema se denomina sistema de numeración posicional. Para realizar un seguimiento de una posición donde no se utiliza ningún dígito, es necesario un símbolo para cero. Aunque el sistema chino no necesita un símbolo para cero, se introdujo un círculo para representar el cero en los 1200.

## Números Mayas

El sistema final que aprenderemos en este conjunto de ejercicios utiliza un sistema posicional y es similar al sistema chino en que los símbolos para los números están escritos de arriba a abajo. Los números mayas fueron desarrollados por los sacerdotes mayas del sur de México y Centroamérica alrededor del 300a.C. Se cree que es el primer sistema de numeración posicional que incorpora un cero y lo usa para un marcador de posición.

##### Ejercicio 3

A continuación se muestran algunos números mayas. Trate de averiguar el patrón y luego rellenar los números que faltan.

##### Ejercicio 4

Explique qué símbolos hay en este sistema, qué representan y cómo funciona el sistema para al menos los números uno a diecinueve.

Por lo que has visto de este sistema hasta ahora, podría parecer un sistema aditivo simple. Se podría adivinar que el numeral para 20 sería cuatro segmentos de línea y que el numeral para 103 sería veinte segmentos de línea y tres puntos. A primera vista, es muy similar al sistema de conteo. Sin embargo, los mayas utilizaron un sistema posicional vertical. El nivel inferior representaba cuántas unidades (o unas), el segundo nivel arriba representaba cuántas 20's, el tercer nivel arriba representaba cuántas 360's (20 18), el cuarto nivel arriba representaba cuántas 7200's (20 18 20), el quinto nivel arriba representaba cuántas 144,000 (20 18 20 20), etc. excepto entre las segundas y tercer nivel, cada valor posicional aumentó en un múltiplo de 20. Es casi un sistema Base Veinte a excepción de ese extraño tercer nivel. Por qué el tercer nivel es 18 veces el segundo nivel se explica más adelante. Mirar el gráfico de la izquierda, que muestra los primeros cuatro valores posicionales, puede ayudarte a entender el sistema.

 7200's 360's 20's 1's

Para tratar de darle sentido a todo esto, veremos algunos números mayas que ahora tienen más de una posición. Los números del uno al diecinueve solo utilizan el nivel inferior por lo que no es evidente que el sistema maya sea posicional hasta que se cuente pasado diecinueve.

A la izquierda hay un numeral maya de dos niveles. Hay un 16 en el nivel inferior, representando 16 unos, o 16 ($$16 \times 1$$), además hay un 7 en el segundo nivel arriba, representando 7 grupos de veinte, o 140 ($$7 \times 20$$). Agregamos los valores de cada nivel, 16 + 140, por lo que el numeral que ves representa 156.

Hasta ahora se han visto dos símbolos básicos en este sistema —un punto (), que representa el número uno y un segmento de línea (), que representa el número cinco. Como se mencionó anteriormente, se necesita un símbolo para cero para incorporar el uso del valor posicional. Para eso, los mayas usaron un caparazón que se veía así:

A la izquierda hay un numeral maya de dos niveles con un cero en el nivel inferior, que representa cero unos, o 0, más un 13 en el segundo nivel hacia arriba representando 13 grupos de veinte, o 260 ($$13 \times 20$$). Entonces después de sumar los valores juntos (0 + 260), el numeral que ves representa el número 260.

##### Ejercicio 5

Indicar el equivalente hindu-árabe de cada número maya. Muestra cómo obtuviste tus respuestas. Tenga en cuenta que se debe dejar espacio adecuado entre cada valor posicional. De lo contrario, alguien podría concluir incorrectamente el número mostrado para 5a representa 14, que sería la respuesta si no hubiera espacio.

 a. ____ b. ____ c. ____

Ahora, pasaremos a unos números mayas de tres y cuatro niveles. Recuerde que el valor posicional para el tercer nivel arriba es 360 y el valor posicional para el cuarto nivel arriba es 7200. A ver si puedes resolverlos por tu cuenta primero.

##### Ejercicio 6
 a. ____ b. ____ c. ____ d. ____ e. ____

¿Cómo te fue? Asegúrate de que si aún tienes algún problema para entender alguno de estos vuelvas y trabajes de nuevo en ellos.

Es un poco más complicado comenzar con un número hindu-árabe y convertirlo a maya, pero con un poco de paciencia y práctica, ¡lo estarás haciendo de forma rápida y precisa! Antes de mostrar un método para hacer esto, intente el siguiente ejercicio. Pista: Debería ser fácil, no difícil —no se requiere calculadora. Pensar en los valores posicionales de los distintos niveles en el sistema maya.

##### Ejercicio 7

Escriba los equivalentes numéricos mayas para cada uno de los siguientes números:

 a. 1 b. 20 c. 360 d. 7200 e. 144000

Para convertir un número a un número maya, lo primero que tendrás que determinar es cuántos niveles tendrá el numeral. Recuerda los niveles: 1, 20, 360, 7200, 144000, 2880000, etc. así que cualquier numeral menor que 20 tiene un nivel, un numeral entre 20 y 359 tiene dos niveles, un numeral entre 360 y 7199 tiene tres niveles, un numeral entre 7200 y 143999 tiene cuatro niveles, y así sucesivamente.

Podría ser útil si configuras una tabla con el número correcto de niveles establecidos ya con un espacio para rellenar qué símbolo usarás en cada nivel. Por ejemplo, mira a continuación los cuatro gráficos más comunes que vas a utilizar.

Empecemos con el número 174. Convénzase de que este será un numeral de dos niveles. Empezaremos por la parte superior, que es el valor posicional de los 20. Tenemos que preguntarnos ¿cuántos 20's hay en 174? Se trata de una pregunta de división:$$174 \div 20 = 8$$, resto 14. Podemos comenzar a construir el numeral maya comenzando con el gráfico de dos niveles y llenando un 8 en segundo nivel hacia arriba como se muestra a continuación.

Hasta el momento, tenemos ocho grupos de veinte, o 160 llenados, lo que deja 14 más (el resto) para acomodar. Al bajar al lugar de las unidades, el resto se llena ahí. Por lo que el siguiente paso es llenar 14 en el lugar de las unidades. Hazlo en el lugar vacante en la tabla que se muestra. Antes de sentirte satisfecho de que todo es correcto, comprueba tu respuesta calculando el numeral maya que acabas de construir y mira si efectivamente es 174. Después, deshazte de la tabla y escribe la respuesta como un número maya como se muestra a la derecha.

Probemos con otro número. Convertiremos 6017 a un número maya. Este será un numeral de tres niveles, así que comenzaremos con un gráfico de tres niveles y averiguaremos cuántos 360 hay en 6017. Hacemos este problema de división:$$6017 \div 360 = 16$$, resto 257. Esto nos dice que pongamos el símbolo para 16 en el tercer nivel arriba (lugar de 360). Ahora tenemos que tomar el resto, 257, y averiguar cuántos 20's hay en él para saber qué poner en el segundo nivel. Hacemos este problema de división:$$257 \div 20 = 12$$, resto 17. Dado que solo queda el valor posicional de las unidades (el nivel inferior), el resto de 17 va en ese nivel. A continuación se muestra la secuencia de llenado de los gráficos. Asegúrate de regresar y revisar tu trabajo convirtiendo el numeral de nuevo a Hindu-Árabe ($$1 \times 17 + 12 \times 20 + 16 \times 360$$) y viendo si realmente es igual a 6017.

Antes de continuar, te voy a mostrar una manera rápida y fácil de averiguar el cociente y el resto usando una calculadora simple al hacer estos problemas de división. Si ya puedes hacerlo fácilmente o tu calculadora lo calcula por ti, salta al Ejercicio 8. Digamos que ibas a cambiar el número 5263 a Maya. El problema de primera división que tendrías que calcular sería$$5263 \div 360$$. Cuando haces esto en tu calculadora, aparece algo así como 14.619444. Esto indica que hay 14 360's en 5263, pero el resto no es evidente. Al menos, ya sabes poner 14 en el tercer nivel arriba. Para encontrar el resto en tu calculadora, ingresa 14 360 - 5263 y el número que muestra es el resto si ignoras el signo negativo! En este caso, el resto es 223. Recuerda que el resto debe ser menor de lo que originalmente dividiste —menos de 360 en este caso. Si quisieras encontrar qué poner en el lugar de los años 20, repetirías este proceso tomando 223 (el resto) y dividiéndolo por 20. Puede que no necesites una calculadora para continuar. Tratemos de encontrar el cociente y el resto al dividir 24567 por 7200. En tu calculadora,$$24567 \div 7200 = 3.4120833...$$ Entonces el cociente es 3. Para obtener el resto, key in$$3 \times 7200 - 24567$$, lo que da un resto de 2967 (¡que es menos de 7200!). Entonces la respuesta es 3, resto 2967. Para verificar, 7200 3 + 2967 debe ser igual a 24567. Piensa por qué funciona este proceso y pruébalo en los siguientes problemas.

##### Ejercicio 8

Use una calculadora para encontrar el cociente y el resto para estos problemas de división.

1. $$9876 \div 360$$= ____
2. $$71509 \div 7200$$= ____
3. $$333 \div 20$$= ____
4. $$430040 \div 144000$$= ____

Vamos a convertir 71509 a Maya. Rellene los símbolos mayas en la tabla a la izquierda mientras trabajamos en el problema. Este es un numeral maya de cuatro niveles y ¡el Ejercicio 8b debería ayudarnos a comenzar! ¿Obtuviste 9, resto 6709? Entonces 9 está en el cuarto nivel arriba. Ahora, calculamos:$$6709 \div 360 = 18$$, resto 229. Entonces 18 está en el tercer nivel arriba. Siguiente cómputo:$$229 \div 20 = 11$$, resto 9, por lo que 11 es el segundo nivel arriba y eso deja 9 en el lugar de unidades. La respuesta final se muestra a la derecha.

Bueno, ¿a qué número debemos convertir ahora? ¿Qué tal 430040 para que podamos usar la ayuda del Ejercicio 8d? Rellene los símbolos mayas en la tabla a la izquierda mientras trabajamos en el problema. Primero notamos que se trata de un numeral maya de cinco niveles y así hacemos la división en el Ejercicio 8d que da un 2 en el quinto nivel arriba con un resto de 142040. Este es un gran resto pero menos de 144000. Ahora, dividimos 142040 por 7200 para conseguir 19 en el cuarto nivel arriba y un resto de 5240. A continuación, divide 5240 por 360 para conseguir 14 en el tercer nivel arriba y un resto de 200. Hay exactamente diez 20's en 200 y no hay resto para las unidades, así que necesitamos tener un cero en el nivel inferior. Por último, el numeral que buscamos se muestra a la derecha. Asegúrate de comprobarlo por computación$$2 \times 144000 + 19 7200 + 14 \times 360 + 10 \times 20 + 0!$$ ¿Realmente es igual a 430040? Si es así, es correcto.

Vamos a convertir 1584060 a Maya. Este es otro numeral maya de cinco niveles, por lo que nuestra primera división de nos$$1584060 \div 144000$$ da 11 en el quinto nivel arriba con un resto de 60. No hay 7200's ni 360's en 60, por lo que debe haber ceros en esos dos niveles. Hay 3 20's en 60 sin resto, por lo que el nivel de unidades también debe tener un cero. El número se muestra a la derecha. Por favor compruébelo. ¿De verdad es 1584060?

##### Ejercicio 9

Piense en el valor numérico más alto que puede estar en cualquier nivel dado. Por ejemplo, el nivel inferior podría subir hasta 19, o. Pero ¿qué pasa con el segundo nivel arriba? ¿Qué número estaría representado por un numeral maya de dos niveles si hubiera un 19 en el segundo nivel arriba y un cero en el nivel inferior? Escribe el número maya para 380.

##### Ejercicio 10

¿Cuál es el valor numérico maya más alto que debería estar en el segundo nivel arriba? ¿Cuál es el símbolo maya más alto que podría estar en cualquier nivel excepto el segundo nivel arriba?

##### Ejercicio 11

Convierte cada uno de los siguientes a números mayas. (mostrar trabajo) COMPROBAR ¡Respuestas!

1. 1549
2. 4750
3. 53981
4. 145804
5. 1000000

Quizás te estés preguntando por qué los mayas eligieron 360 para el tercer nivel arriba en lugar de 400, lo que parece más natural. Su sistema de conteo se basó en su calendario, el cual constaba de 18 meses de 20 días cada uno, de ahí 360. Los cinco días extra se consideraron “inútiles” y no se preocuparon por ellos. Su sistema facilitó el conteo del tiempo. No contaron los “días inútiles”. Por ejemplo, considere lo siguiente:

 a. 1 año b. 2 años c. 3 años c. 5 meses, 9 días d. 8 años, 11 meses
##### Ejercicio 12

Escriba el número maya para el número de días (no inútiles) en:

1. 7 meses, 15 días
2. 13 años mayas
3. 20 años mayas

El ejercicio final de este conjunto será comparar los números hindu-árabe, chino y maya.

##### Ejercicio 13

Indique cuántos símbolos diferentes tiene que memorizar una persona para entender cada sistema:

1. Hindu-Árabe: _____
2. Chino: _____
3. Maya: _____
##### Ejercicio 14

Escribe cada número como un número en chino y maya. Observe cuántos símbolos se necesitan para escribir el número dado en hindu-árabe, chino y maya. Mostrar trabajo.

1. 15
2. 100
3. 100
4. 9999

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