3.3: algoritmos de adición
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No hay un algoritmo que todos usen para sumar números juntos. Un profesor debe estar familiarizado con varios métodos para que se pueda llegar al mayor número de alumnos. Lo importante es que los estudiantes entiendan lo que significa la adición y sepan sumar números de una manera u otra. Si un estudiante se da cuenta de un algoritmo que funciona por su cuenta, creo que es fantástico. Muestra creatividad y el estudiante probablemente no lo olvide. Mi esperanza es que cada vez más maestros se den cuenta de que muchos caminos pueden llevar a resolver un problema correctamente y que generalmente no hay razón para insistir en que los alumnos trabajen un problema de una manera particular. Hay muchas formas de resolver un problema y se debe fomentar la diversidad. Este curso es un poco diferente porque presumiblemente te interesa convertirte en profesor. Por lo tanto, es importante que aprendas tantas formas como sea posible para trabajar problemas así como descubrir algunos métodos propios. En esta sección, estarás aprendiendo una variedad de algoritmos para agregar y deberías poder trabajar y explicar los procedimientos para trabajar un problema usando cualquiera de los métodos presentados. Aprenderás algunos métodos nuevos para sumar y los estarás usando para sumar números en Base Diez así como en otras bases.
El MÉTODO DOT para agregar columnas de un solo dígito
Aquí hay un método para sumar varios dígitos juntos sin tener que mantener un gran total acumulado en tu cabeza. La idea es que solo sumes dos dígitos individuales a la vez. Cada vez que agregas y obtienes un número superior al 9, bajas un punto y solo guardas el dígito de la unidad en tu memoria. El punto representa el diez. Por ejemplo, desde 6 + 7 = 13 (que es 10 + 3), escribes un punto y piensas 3. Piensa 6 + 7 = Punto 3. En el siguiente ejemplo, para sumar ocho números juntos, un enfoque común sería sumar los dos primeros dígitos juntos, luego seguir sumando el siguiente dígito hasta que se hayan agregado los ocho dígitos. Es decir, alguien podría pensar: 6 + 7 es 13, 13 + 8 es 21, 21 + 3 es 24, 24 + 5 es 29, 29 + 9 es 38, 38 + 4 es 42 y 42 + 7 es 49. Aunque esto arroja la respuesta correcta, es fácil perder la pista en el camino. Con el MÉTODO DOT mostrado, un punto se coloca por un número si después de que se agrega, la suma es diez o más. En cada paso del camino, he escrito entre paréntesis qué número piensas después de sumar cada dígito. Para comenzar, vea los ocho dígitos a agregar. Paso 1:6 + 7 = 13 entonces escribe un punto y piensa 3; Paso 2:3 + 8 = 11 entonces escribe un punto y piensa 1; Paso 3:1 + 3 = 4 entonces piensa 4; Paso 4:4 + 5 =9 entonces piensa 9; Paso 5:9 + 9 = 18 así escribe un punto y piensa 8; Paso 6:8 + 4 = 12 entonces escribe un punto y piensa 2; Paso 7:2 + 7 = 9 así que escribe un 9 debajo de la barra ya que todos los dígitos tienen se han añadido. Cuenta los puntos (4), que significa cuántas decenas (40) y escribe delante del 9. La respuesta es 49. ¡Pruébalo por tu cuenta ahora!
| Inicio\[ \begin{aligned} 6 \\ 7\\ 8 \\ 3 \\ 5\\ 9 \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 1\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot (3)\\ 8 \\ 3 \\ 5\\ 9 \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 2\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot (1)\\ 3 \\ 5\\ 9 \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 3\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 &\ (4) \\ 5\\ 9 \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 4\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 \\ 5 &\ (9) \\ 9 \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 5\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 \\ 5\\ 9 &\cdot (8) \\ 4 \\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 6\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 \\ 5\\ 9 &\cdot \\ 4 &\cdot (2)\\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | Paso 7\[ \begin{aligned} 6 \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 \\ 5\\ 9 &\cdot \\ 4 &\cdot\\ + 7 &\ (9) \\ \hline 49 \end{aligned} \nonumber \] |
| \[ \begin{aligned} \\ 7 &\cdot\\ 8 &\cdot\\ 3 \\ 5\\ 9 &\cdot \\ 4 &\cdot\\ \underline{+ 7 } \\ 49 \end{aligned} \nonumber \] |
En el ejemplo que se acaba de mostrar en la página anterior, se muestra cada paso, incluyendo lo que piensas. En realidad, este es un algoritmo rápido y si miraste el problema después de que alguien lo hiciera, el trabajo de la izquierda es todo lo que verías. A la derecha están dos ejemplos más. En realidad, cada uno es la misma suma de números escritos en un orden diferente, ¡que es otra forma de verificar la suma! Una comprobación rápida al agregar solo dos números es invertir el orden y agregar nuevamente.
| \[ \begin{aligned} 3 \\ 9 &\cdot\\ 6 \\ 5 &\cdot\\ 4 \\ 7 &\cdot \\ 7 &\cdot\\ \underline{+ 8 } \\ 49 \end{aligned} \nonumber \] | \[ \begin{aligned} 6 \\ 3\\ 7 &\cdot\\ 9 &\cdot\\ 7 &\cdot \\ 5 \\ 8 &\cdot\\ \underline{+ 4 } \\ 49 \end{aligned} \nonumber \] |
Ejercicio 1
Utilice el método dot para agregar las siguientes columnas de dígitos que se muestran a la derecha.
| \[ \begin{aligned} 3 \\ 9 \\4 \\5\\2\\6\\8\\6\\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] | \[ \begin{aligned} 6 \\ 7 \\ 9\\3\\5\\8\\2\\2\\ \underline{+ 9} \end{aligned} \nonumber \] | \[ \begin{aligned} 2\\9\\6\\4\\2\\5\\7\\9\\ \underline{+ 3} \end{aligned} \nonumber \] | \[ \begin{aligned} 5\\8\\7\\6\\3\\9\\2\\5\\ \underline{+ 7} \end{aligned} \nonumber \] |
Por cierto, podrías poner los puntos a la izquierda o derecha del dígito, haz lo que sea más cómodo para ti. Si vas a agregar sin papel y lápiz, ¡usa tus dedos para hacer un seguimiento de los puntos! En lugar de escribir un punto, levanta un dedo. ¡La belleza de esta adición es que nunca tienes que mantener un número superior al nueve en tu cabeza!
El método de punto también podría usarse para agregar varios dígitos escritos en un formato horizontal. Los puntos podrían colocarse sobre los números. Pruébalo en los siguientes problemas. Informar tus propios problemas para la parte d y la parte e.
| a. 7 + 6 + 4 + 5 + 9 + 6 + 8 + 3 + 4 + 9 + 8 = ____ |
| b. 4 + 9 + 6 + 2 + 9 + 7 + 7 + 6 + 8 + 4 + 8 = ____ |
| c. 7 + 9 + 8 + 5 + 9 + 4 + 2 + 6 + 9 + 8 + 7 = ____ |
| d. |
| e. |
El método Scratch
El método Scratch es similar al método de punto. Cada vez que agregas y obtienes un número superior al nueve, rascas el último dígito agregado. El rasguño, como el punto, representará diez. Al igual que en el método de punto, solo mantienes el dígito de la unidad en tu memoria o como alternativa, escribes el dígito de la unidad a la derecha y justo debajo del dígito apenas rascado. Esto se puede hacer en el método de punto también. Ilustraré los pasos involucrados anotando los dígitos de la unidad esta vez. Cuando la suma es inferior a diez, se mantiene en tu cabeza. Se usarán paréntesis para denotar lo que estoy pensando en mi cabeza. El siguiente problema es exactamente el mismo que hice antes al usar el método dot. Para comenzar, vea los ocho dígitos a agregar. Paso 1:6 + 7 = 13 así rasca el 7 y escribe 3; Paso 2:3 + 8 = 11 así rasca el 8 y escribe 1; Paso 3:1 + 3 = 4 entonces piensa 4; Paso 4:4 + 5 =9 entonces piensa 9; Paso 5:9 + 9 = 18 así rasca el 9 y escribe 8; Paso 6:8 + 4 = 12 así rasca el 4 y escribe 2; Paso 7:2 + 7 = 9 así que escribe un 9 debajo del barra ya que se han agregado todos los dígitos. Cuenta los rasguños (4), que significa cuántas decenas (40) y escribe delante del 9. La respuesta es 49. Prueba el problema por tu cuenta.
El problema anterior muestra cada paso, incluyendo lo que piensas a medida que avanzas. Si tuvieras que mirar el problema después de que alguien lo hiciera, se vería como lo que ves a la izquierda. Más ejemplos se muestran a la derecha. Mantener el dígito de la unidad en la memoria es más rápido que escribirlos en cada paso. Pruébalo en ambas formas y diez adopta lo que es más fácil y/o rápido para ti.
Usa el método scratch para agregar las siguientes columnas de dígitos. Crea tu propio problema con al menos 12 números para la parte e.
| a.\( \begin{aligned} 3 \\ 9 \\3 \\6\\5\\8\\6\\ \underline{+ 7} \end{aligned}\) | b.\( \begin{aligned} 5 \\ 3 \\ 9\\6\\7\\4\\2\\ \underline{+ 7} \end{aligned}\) | c.\( \begin{aligned} 8\\8\\5\\7\\9\\7\\6\\ \underline{+ 3} \end{aligned}\) | d.\( \begin{aligned} 7\\6\\4\\3\\8\\9\\7\\ \underline{+ 9} \end{aligned}\) | e. |
Los Métodos de Punto y Rascar se pueden utilizar para sumar números con más de un dígito. Agrega una columna a la vez, dejando un poco de espacio entre las columnas para puntos si usas el Método Dot. A la derecha hay un ejemplo de agregar usando el método Scratch con el método habitual de agregar de derecha a izquierda y llevar. En este caso, estoy manteniendo el dígito de cada unidad en mi cabeza en lugar de anotar cada dígito después de cada rasguño. La primera columna presenta cuatro rasguños, por lo que la 4 se lleva a la columna 2. NOTA: A menos que practiques varios problemas usando estos métodos, probablemente no parecerá más fácil agregar usando una de estas formas que cualquier método que esté acostumbrado a usar. Pero si practicas, probablemente te convertirás en un capricho además y ¡nunca volverás a la vieja manera!
El algoritmo de adición más común es el algoritmo de adición estándar de derecha a izquierda, a menudo denominado Algoritmo de adición estándar. Este es el que casi todos crecieron aprendiendo. Empiezas por la derecha y agregas los dígitos. El dígito de la unidad se pone debajo de la línea y el dígito del diez se lleva a la parte superior de la siguiente columna a la izquierda. Saca tu Base Diez Bloques ahora para entender lo que realmente está pasando.
Considera el problema de adición 246 + 178. Por nuestro conocimiento del valor posicional, sabemos que 246 es 2 100 + 4
10 + 6 (o 200 + 40 + 6) y 178 es 1
100 + 7
10 + 8 (o 100 + 70 + 8). Usando bloques Base Diez, 246 se representarían con 2 pisos, 4 largos y 6 unidades, mientras que 178 se representarían con 1 plano, 7 largos y 8 unidades. Entonces, el problema de adición puede pensarse de la siguiente manera:
Uso de bloques de base
\ [\ begin {alineado} 2\ texto {plano (s)} + 4\ texto {largo (s)} +6\ texto {unidad (es)}\
\ subrayado {+ 1\ texto {plano (s)} + 7\ texto {largo (s)} + 8\ texto {unidad (s)}}\ end {alineado}\ nonumber\]
Este problema de adición al usar bloques se muestra a continuación:
Si agregamos, obtenemos:
\ [\ begin {alineado} 2\ texto {plano (s)} + 4\ texto {largo (s)} +6\ texto {unidad (es)}\\ subrayado {+ 1
\ texto {plano (s)} + 7\ texto {largo (s)} + 8\ texto {unidad (s)}}\\ 3\ texto {plano (s)} +11\ texto {largo (s)} +11\ texto {largo (s)} +11\ texto {largo (s)} +14\ texto {unidad (es)}\ end {alineado}\ nonumber\]
Ahora se pueden realizar operaciones. Diez de las 14 unidades se pueden cambiar por un largo. Eso nos deja con 3 pisos, 12 largos y 4 unidades. La suma y las operaciones se ilustran con bloques en la página siguiente.
Después de la negociación, suma = 3 piso (s) + 12 largo (s) + 4 unidad (es)
Después de combinar los bloques, la suma se muestra a continuación.
El siguiente paso es comerciar en diez unidades por mucho tiempo. He puesto una caja alrededor de las unidades a comerciar arriba. Esto produce 3 pisos, 12 largos y 4 unidades como se muestra a continuación.
Ahora diez de los 12 largos se pueden cambiar por un piso. He puesto una caja alrededor de diez de los largos para ser negociados arriba. Después del intercambio, la suma es de 4 pisos, 2 largos y 4 unidades, que es 424. Esto se ilustra a continuación.
Después de hacer todas las operaciones, la suma final = 4 planos + 2 largos (s) + 4 unidad (es)
Estamos en Base Diez, así que la respuesta es 424. Por lo tanto, 246 + 178 = 424.
En el ejemplo anterior de sumar 246 + 178 usando los Bloques Base, se podrían haber intercambiado diez largos por un piso al mismo tiempo que diez unidades se intercambiaron por un largo. Solo hice una operación a la vez porque en el Algoritmo de Adición Estándar, no combinamos todos los bloques (o valores posicionados) a la vez. Primero, se suman las unidades para obtener 14. El 4 se anota en la columna de la unidad y las otras 10 unidades se escriben como 1 largo en la siguiente columna para significar que hay otro largo. Ahora, hay 1 + 4 + 7 largos por sumar, que son 12. El 2 se anota en la columna longs y las otras 10 unidades se escriben como 1 piso en la columna siguiente para significar que hay otro piso. Por último, hay 1 + 2 + 1 pisos para sumar, que es 4. Entonces la suma es de 4 pisos, 2 largos y 4 unidades, que es 424. Los intercambios que se están haciendo es de lo que se trata llevar. A la derecha hay otra forma de hacer un seguimiento de bloques, pisos, largos y unidades. Observe las operaciones que se realizan en cada paso. Si el agregado más grande tiene x dígitos, hago x + 1 columnas para permitir llevar. En este problema, hay tres dígitos para cada adenda, así que hice cuatro columnas para permitir que se hiciera un posible bloque.
Ahora, vamos a realizar este algoritmo básico en otras bases. Si estás agregando en Base Siete, el truco aquí es recordar datos básicos de adición en Base Siete. Necesitas conocer tus tablas de adición. Recuerda\(5_{\text{seven}} + 6_{\text{seven}} = 11_{\text{ten}}\), que es\(14_{\text{seven}}\) (que es una larga y cuatro unidades en Base Siete). Estudia los ejemplos a continuación. Para ayudar a visualizar los oficios, los problemas se hacen primero usando un gráfico con las sumas escritas en Base Diez para realizar un seguimiento de las unidades, largos, pisos, etc. En el intercambio de bloques, se logra la conversión a la unidad adecuada. Entonces, los mismos problemas se hacen sin usar los gráficos y usando el método tradicional de acarreo —aquí, agregas en la base dada a medida que avanzas. Prueba estos cinco problemas por tu cuenta antes de pasar al siguiente ejercicio.
| \(\begin{aligned} 45_{\text{seven}} \\ \underline{+36_{\text{seven}}} \end{aligned} \) | \(\begin{aligned} 63_{\text{eight}} \\ \underline{+ 45_{\text{eight}}} \end{aligned} \) | \(\begin{aligned} 23_{\text{four}} \\ \underline{+ 12_{\text{four}}} \end{aligned} \) | \(\begin{aligned}87_{\text{twelve}} \\ \underline{+ 6T_{\text{twelve}}} \end{aligned} \) | \(\begin{aligned} 101_{\text{two}} \\ \underline{+ 111_{\text{two}}} \end{aligned}\) |
 |
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 |
 |
 |
Los mismos ejemplos se trabajan a continuación utilizando el algoritmo de transporte tradicional.
| \(\begin{aligned} ^{1} \\& 45_{\text{seven}} \\& \underline{+36_{\text{seven}}} \\ & 114_{\text{seven}}\end{aligned} \) | \(\begin{aligned} ^{1} && ^{1} \\&63_{\text{eight}} \\ &\underline{+ 45_{\text{eight}}} \\& 130_{\text{eight}} \end{aligned} \) | \ (\ begin {alineado} &^ {1}\\ 23_ {\ text {cuatro}}\\ subrayado {+ 12_ {\ texto {cuatro}}}\\ 101_ {\ texto {cuatro}}\ end {alineado}\) |
\ (\ begin {alineado} &^ {11}\\ 87_ {\ text {doce}}\\ subrayado {+ 6T_ {\ texto {doce}}}\\ 135_ {\ texto {doce}}\ end {alineado}\) |
\ (\ comenzar {alineado} 101_ {\ texto {dos}}\\ subrayado {+ 111_ {\ texto {dos}}}\\ 1100_ {\ texto {dos}}\ end {alineado}\) |
Agregar lo siguiente. Haga cada problema usando gráficos como se muestra en los ejemplos anteriores. Usa tus Bloques Base para visualizar más el problema.
| a.\(\begin{aligned} &7 & E && 1 & \ {}_{\text{thirteen}} \\ + & 5 &8 &&4& \ {}_{\text{thirteen}} \end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned} &1 & 1 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}} \\ +& 1 & 0 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}} \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} &3 & 2 && 0 && 4 \ {}_{\text{five}} \\ +& 4 & 0 && 1 && 3 \ {}_{\text{five}} \end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned} &6 & 1 && 2 & \ {}_{\text{nine}} \\ + & 4 &5 &&6& \ {}_{\text{nine}} \end{aligned}\) |
 |
 |
 |
 |
| e.\(\begin{aligned} &1 &&0 & 1 && 1 && 1 \ {}_{\text{two}} \\ +&1&& 1 & 1 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}} \end{aligned}\) | f.\(\begin{aligned} 2&&2 && 1 && 2 & \ {}_{\text{three}} \\ + && 2 &&2 && 2 & \ {}_{\text{three}} \end{aligned}\) | g.\(\begin{aligned} &4 & 6 && 1 && 3 \ {}_{\text{twelve}} \\ +& 5 & T && 3 && 9 \ {}_{\text{twelve}} \end{aligned}\) | h.\(\begin{aligned} &4 & 3 && 4 && 3 \ {}_{\text{seven}} \\ +& 4 & 1 && 4 && 5 \ {}_{\text{seven}} \end{aligned}\) |
 |
 |
|
|
Eventualmente, deberías poder hacer los problemas anteriores sin el uso de gráficos o manipuladores. Siempre se puede pensar en términos de bloques a medida que los trabaja. Agregue lo siguiente usando el algoritmo de transporte tradicional. Practica hasta que te sientas seguro y seas competente para agregar sin usar gráficos o manipuladores.
| a.\(\begin{aligned} &7 & E && 1 & \ {}_{\text{thirteen}} \\ + & 5 &8 &&4& \ {}_{\text{thirteen}} \end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned} &1 & 1 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}} \\ +& 1 & 0 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}}\\ \hline \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} &3 & 2 && 0 && 4 \ {}_{\text{five}} \\ +& 4 & 0 && 1 && 3 \ {}_{\text{five}}\\ \hline \end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned} &6 & 1 && 2 & \ {}_{\text{nine}} \\ + & 4 &5 &&6& \ {}_{\text{nine}} \end{aligned}\) |
| e.\(\begin{aligned} &1 &&0 & 1 && 1 && 1 \ {}_{\text{two}} \\ +&1&& 1 & 1 && 0 && 1 \ {}_{\text{two}} \end{aligned}\) | f.\(\begin{aligned} 2&&2 && 1 && 2 & \ {}_{\text{three}} \\ + && 2 &&2 && 2 & \ {}_{\text{three}}\\ \hline \end{aligned}\) | g.\(\begin{aligned} &4 & 6 && 1 && 3 \ {}_{\text{twelve}} \\ +& 5 & T && 3 && 9 \ {}_{\text{twelve}} \\ \hline \end{aligned}\) | h.\(\begin{aligned} &4 & 3 && 4 && 3 \ {}_{\text{seven}} \\ +& 4 & 1 && 4 && 5 \ {}_{\text{seven}} \\ \hline \end{aligned}\) |
Otra forma de agregar es mediante el uso de notación expandida. Nuestro primer ejemplo, 246 + 178, puede escribirse como (200 + 40 + 6) + (100 + 70 + 8). Utilizando las propiedades conmutativas y asociativas, esta suma puede escribirse como (200 + 100) + (40 + 70) + (6 + 8) o 300 + 110 + 14 = 300 + (100 + 10) + (10 + 4) = (300 + 100) + (10 + 10) + 4 = 400 + 20 + 4 = 424. Cuando se escribe así, tal vez quede más claro lo que realmente se está agregando en lugar de hacerlo de memoria sin pensar en el valor posicional de cada dígito.
6. Agregar usando notación expandida. Mostrar todos los pasos.
a. 43 + 47
b. 88 + 54
7. Supongamos que dos estudiantes diferentes suman dos números juntos como se muestra en los dos problemas a la derecha. Ambos tienen métodos muy similares. Explique qué está haciendo cada alumno y por qué tiene sentido. Entonces, conforma dos problemas más y agrega usando uno de estos métodos.
| \(\begin{aligned}859 \\ \underline{+ 467} \\ 16 \\ 110 \\ \underline{+ 1200} \\ 1326 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned}859 \\ \underline{+ 467} \\ 1200 \\ 110 \\ \underline{+ 16} \\ 1326 \end{aligned}\) |
A continuación se muestra el trabajo de tres estudiantes diferentes haciendo el mismo problema de adición. Averigua qué está haciendo cada alumno para obtener la respuesta antes de seguir leyendo.
| \(\begin{aligned}859 \\ \underline{+ 467} \\ 1200 \\ 1310 \\ 1326 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned}859 \\ \underline{+ 467} \\ 1259 \\ 1319 \\ 1326 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned}859 \\ \underline{+ 467} \\ 866 \\ 926 \\ 1326 \end{aligned}\) |
El primer alumno comienza sumando los cientos juntos (800 + 400 = 1200). A continuación, se suman las decenas (50 + 60 = 110) y esa respuesta se agrega sobre (1200 + 110 = 1310). Por último, se agregan los (9 + 7 = 16) y eso se agrega para obtener la respuesta (1310 + 16 = 1326). El segundo alumno toma el primer número y suma los cientos del segundo número (859 + 400 = 1259). A continuación, se suman las decenas del segundo número (1259 + 60 = 1319). Por último, se agregan los (1319 + 7 = 1326). El tercer alumno inicia con el primer número y suma los del segundo dígito primero (859 + 7 = 866). Segundo, se suma el dígito de las decenas del segundo número (866 + 60 = 926). Por último, se suman los cientos (926 + 400 = 1326). Alguien podría estar más inclinado a usar uno de estos métodos si está agregando en su cabeza.
Informar su propio problema y resolver utilizando los tres métodos explicados anteriormente. Explique el método y los pasos utilizados para llegar a la respuesta correcta.
Otro método utilizado para agregar es el algoritmo de adición de izquierda a derecha. Algunos de los últimos ejemplos estaban empleando algoritmos de izquierda a derecha. En notación expandida, podrías agregar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. A muchas personas les resulta más fácil el algoritmo de adición de izquierda a derecha porque no hay transporte. Hay un par de formas de realizar este método. Comience agregando primero la columna de dígitos más a la izquierda. A medida que te mueves a la siguiente columna a la derecha, agregas los dígitos. Si la suma es superior a 9, escriba el dígito de la unidad debajo de esa columna y subraye el dígito ya puesto inmediatamente a la izquierda. Esto es similar a llevar pero no es necesario pasar a la siguiente columna, se agrega a la respuesta más adelante. Continúa hasta que hayas agregado los dígitos de la unidad. Después regresa y agrega uno a todos los dígitos que están subrayados. ¿Entiende por qué? El siguiente ejemplo te lleva paso a paso usando este algoritmo.
| Paso 1: Comenzando en la columna más a la izquierda, agregue los dígitos (3 y 4). Desde 3 + 4 = 7, escribe 7 debajo de esa columna situada más a la izquierda. | \(\begin{aligned} &4 & 6 && 3 && 7 \\ +& 3 & 8 && 2 && 8 \\ \hline 7 & && && \end{aligned}\) |
| Paso 2: Agrega los dígitos en la siguiente columna a la derecha. Desde 6 + 8 = 14, escribe el 4 debajo de esa columna y subraya el dígito a la izquierda (\(\underline{7}\)). | \(\begin{aligned} &4 & 6 && 3 && 7 \\ +& 3 & 8 && 2 && 8 \\ \hline \underline{7} && 4 && && \end{aligned}\) |
| Paso 3: Agrega los dígitos en la siguiente columna a la derecha. Ya que 3 + 2 es 5, escribe un 5 debajo de esa columna. | \(\begin{aligned} &4 & 6 && 3 && 7 \\ +& 3 & 8 && 2 && 8 \\ \hline \underline{7} && 4 && 5 && \end{aligned}\) |
| Paso 4: Agrega los dígitos en la siguiente columna a la derecha. Desde 7 + 8 = 15, escribe el 5 debajo de esa columna y subraya el dígito a la izquierda (\(\underline{5}\)). | \(\begin{aligned} &4 & 6 && 3 && 7 \\ +& 3 & 8 && 2 && 8 \\ \hline \underline{7} && 4 && \underline{5} && 5 \end{aligned}\) |
| Paso 5: El último paso es reescribir la respuesta al problema agregando un 1 a cualquier dígito que esté subrayado. Así la respuesta es 8465. | \(\begin{aligned} &4 & 6 && 3 && 7 \\ +& 3 & 8 && 2 && 8 \\ \hline \underline{7} && 4 && \underline{5} && 5 \\ 8 && 4 && 6 && 5 \end{aligned}\) |
Nota: El paso 5 es cómo se ve el problema cuando se hace, como se muestra en los ejemplos a continuación. Estudia y luego prueba los siguientes ejemplos por tu cuenta antes de pasar al siguiente ejercicio.
| \(\begin{aligned} 6483 \\ +5734 \\ \hline 1\underline{1} \underline{1} 1 7 \\ 12217 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 5417 \\ +3971 \\ \hline \underline{8} 388 \\ 9388 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 63925 \\ +41738 \\ \hline 10\underline{4}6 \underline{5} 3 \\ 105663 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 787878 \\ +65656 \\ \hline \underline{7}\underline{4}\underline{2}\underline{4} \underline{2}4 \\ 853534 \end{aligned}\) |
| a.\(\begin{aligned} 5386 \\ \underline{+ 6723}\end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned} 65381 \\\underline{+ 46082}\end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} 6789 \\ \underline{+ 9879}\end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned} 70426 \\ \underline{+ 57908}\end{aligned}\) |
En el Algoritmo de Izquierda a Derecha, cada vez que se subraya un 9, se debe continuar con el subrayado para incluir el dígito a la izquierda del nueve (si hay un dígito a su izquierda). Si el dígito a la izquierda es un 9, continúe con el subrayado para incluir el dígito a su izquierda. Sigue subrayando hasta subrayar un dígito que no sea un nueve. Entonces, cuando regrese, agregue 1 al número subrayado, (que ahora será más de un dígito). Estudia y luego practica los siguientes cuatro ejemplos por tu cuenta antes de intentar el siguiente ejercicio.
| \(\begin{aligned} 4672 \\ \underline{+ 5826} \\ \underline{9} 498 \\ \\ 10498 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 8468 \\ \underline{+ 5538} \\ 1 \underline{399} 6 \\ \\ 14006 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 5798 \\ \underline{+ 4605} \\ \underline{9} \underline{39}3 \\ \\ 10403 \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 35776 \\ \underline{+ 64525} \\ \underline{99} \underline{29}1 \\ \\ 100301 \end{aligned}\) |
Usando esta técnica, el primer ejemplo agrega 1 a 9 para obtener 10. En el segundo ejemplo, se agrega 1 a 399 para obtener 400. En el tercer ejemplo, se agrega 1 a 9 para obtener 10 y 1 se agrega a 39 para obtener 40. En el cuarto ejemplo, se agrega 1 al 99 para obtener 100 y 1 se agrega al 29 para obtener 30.
Utilice el Algoritmo de Izquierda a Derecha para agregar los siguientes números usando la técnica anterior.
| a.\(\begin{aligned} 7658 \\ \underline{+ 1147}\end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned} 4804 \\\underline{+ 5659}\end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned} 5679 \\ \underline{+ 7350}\end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned} 98765 \\ \underline{+ 7238}\end{aligned}\) |
En la siguiente página hay algunos problemas de adición en otras bases. Se está utilizando el algoritmo de adición de izquierda a derecha. Tenga cuidado de prestar atención a la base. Por ejemplo, en Base Seis, cada vez que añades y obtengas un número superior a 5 (que es el dígito más alto en Base Seis), solo anotas el dígito de la unidad debajo de esa columna y subrayas el dígito a su izquierda. En Base Tres, cada vez que sumes y obtengas un número superior a 2 (que es el dígito más alto en la Base Tres), solo anotas el dígito de la unidad debajo de esa columna y subrayas el dígito a su izquierda. En Base Doce, cada vez que sumes y obtengas un número mayor que E (que es el dígito más alto en Base Doce), solo anotas el dígito de la unidad debajo de esa columna y subrayas el dígito a su izquierda. Asegúrese de comprender y puede hacer estos siguientes ejemplos con éxito por su cuenta antes de pasar al siguiente párrafo y ejemplos.
| \(\begin{aligned} 423 \ {}_{\text{six}} \\ \underline{+503} \ {}_{\text{six}} \\ 13\underline{2}0 \ {}_{\text{six}} \\ 1330 \ {}_{\text{six}} \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 839 {}_{\text{twelve}} \\ \underline{+ E58} \ {}_{\text{twelve}} \\ 17\underline{8}5 \ {}_{\text{twelve}} \\ 1795 \ {}_{\text{twelve}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned}580 \ {}_{\text{nine}} \\ \underline{+ 723} \ {}_{\text{nine}} \\ 1\underline{3}13 \ {}_{\text{nine}} \\ 1413 \ {}_{\text{nine}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned}1011 \ {}_{\text{two}} \\ \underline{+ 1011} \ {}_{\text{two}} \\ 10\underline{0}\underline{0}0 \ {}_{\text{two}} \\ 10110 \ {}_{\text{two}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned}2012 \ {}_{\text{three}} \\ \underline{+ 1112} \ {}_{\text{three}} \\ 10\underline{1}\underline{2}1 \ {}_{\text{three}} \\ 10201 \ {}_{\text{three}}\end{aligned}\) |
A continuación se presentan algunos ejemplos en los que hay que hacer algunos subrayados continuos similares a los ejemplos mostrados anteriormente en Base Diez. Presta mucha atención a la base. Si subrayas un 5 en Base Seis, debes seguir subrayando el dígito a su izquierda hasta subrayar un dígito inferior a 5! Si subrayas un 2 en la Base Tres, debes seguir subrayando el dígito a su izquierda hasta subrayar un dígito menor que 2. Si subrayas una E en Base Doce, debes continuar subrayando el dígito a su izquierda hasta subrayar un dígito menor que E!. Estudie y practique los cinco ejemplos a continuación por su cuenta antes de intentar el siguiente ejercicio.
| \(\begin{aligned} 324 \ {}_{\text{six}} \\ \underline{+132} \ {}_{\text{six}} \\ \underline{45}0 \ {}_{\text{six}} \\ 500 \ {}_{\text{six}} \end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 367 \ {}_{\text{twelve}} \\ \underline{+ 35E} \ {}_{\text{twelve}} \\ \underline{6E}6 \ {}_{\text{twelve}} \\ 706 \ {}_{\text{twelve}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 528 \ {}_{\text{nine}} \\ \underline{+367} \ {}_{\text{nine}} \\ \underline{88}6 \ {}_{\text{nine}} \\ 1006 \ {}_{\text{nine}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 1011 \ {}_{\text{two}} \\ \underline{+1110} \ {}_{\text{two}} \\ 1\underline{01}01 \ {}_{\text{two}} \\ 11001 \ {}_{\text{two}}\end{aligned}\) | \(\begin{aligned} 22021 \ {}_{\text{three}} \\ \underline{+1002} \ {}_{\text{three}} \\ \underline{2}0\underline{02}0 \ {}_{\text{three}} \\ 100100 \ {}_{\text{three}}\end{aligned}\) |
Ejercicio 11
Utilice el algoritmo de adición de izquierda a derecha para agregar lo siguiente. Presta mucha atención a la Base!!!
| a.\(\begin{aligned} 514 \ {}_{\text{six}} \\ \underline{ + 342 \ {}_{\text{six}}} \end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned}835 \ {}_{\text{eleven}} \\ \underline{ + 658 \ {}_{\text{eleven}}} \end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned}473 \ {}_{\text{eight}} \\ \underline{ + 473 \ {}_{\text{eight}}} \end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned}1111 \ {}_{\text{two}} \\ \underline{ + 1010 \ {}_{\text{two}}} \end{aligned}\) | a.\(\begin{aligned}2034 \ {}_{\text{five}} \\ \underline{ + 1112 \ {}_{\text{five}}} \end{aligned}\) |
| f.\(\begin{aligned}7E1 \ {}_{\text{thirteen}} \\ \underline{ + 584 \ {}_{\text{thirteen}}} \end{aligned}\) | f.\(\begin{aligned}1101 \ {}_{\text{two}} \\ \underline{ + 1001 \ {}_{\text{two}}} \end{aligned}\) | f.\(\begin{aligned}3204 \ {}_{\text{five}} \\ \underline{ + 4013 \ {}_{\text{five}}} \end{aligned}\) | f.\(\begin{aligned}612 \ {}_{\text{nine}} \\ \underline{ + 456 \ {}_{\text{nine}}} \end{aligned}\) |
| j.\(\begin{aligned}10111 \ {}_{\text{two}} \\ \underline{ + 11101 \ {}_{\text{two}}} \end{aligned}\) | k.\(\begin{aligned}2212 \ {}_{\text{three}} \\ \underline{ + 222_{\text{three}}} \end{aligned}\) | l.\(\begin{aligned}4613_{\text{twelve}} \\ \underline{ + 5T39_{\text{twelve}}} \end{aligned}\) | m.\(\begin{aligned}4343_{\text{seven}} \\ \underline{ + 4145_{\text{seven}}} \end{aligned}\) |
Enumerar todas las bases entre dos y trece en las que sean válidos cada uno de los siguientes problemas de adición.
| a.\(\begin{aligned} 403 \\ \underline{+ 542} \\ 1245 \end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned}729\\ \underline{+ 526} \\ W52\end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned}E83\\ \underline{+ 1T3} \\ 1166\end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned}1011\\ \underline{+ 1111} \\ 2122\end{aligned}\) | e.\(\begin{aligned}2012\\ \underline{+ 1011} \\ 3023\end{aligned}\) |
Alguien comenzó a hacer cada uno de estos problemas de adición usando el algoritmo estándar de derecha a izquierda. Averigua en qué base se encuentra cada problema de adición y termina el cómputo.
| a.\(\begin{aligned} 64 \\ \underline{+ 46} \\ 2 \end{aligned}\) | b.\(\begin{aligned}53\\ \underline{+ 28} \\ 2\end{aligned}\) | c.\(\begin{aligned}21\\ \underline{+ 12} \\ 0\end{aligned}\) | d.\(\begin{aligned}57\\ \underline{+ 66} \\ 3\end{aligned}\) |
Alguien le estaba sumando 47 + 68 en la cabeza y dijo en voz alta, “47 + 70 = 117 y dos menos es 115”. Explique su razonamiento.
Otra persona estaba sumando 47 + 68 en la cabeza y dijo en voz alta “40 + 60 son 100 y 8 + 7 son 15, por lo que la respuesta es 115”. Explique su razonamiento.
Los métodos en los ejercicios 14 y 15 se pueden llamar Métodos Break-At-Apart. Rompe uno o ambos de los apéndices usando el valor posicional del número. Mentalmente computa 97 + 88 y luego explica el método que usaste.
¿Hay algún truco adicional que uses? Crédito extra por compartir en el Foro
A continuación se muestra otro algoritmo de adición, llamado Método de celosía para la adición, utilizado para sumar dos números juntos. Primero, suma las columnas, luego hacia abajo las diagonales. El problema de adición es 568 + 457 y la respuesta es 1,025. Mira si puedes entender cómo hacerlo y entender por qué funciona. Usaremos de nuevo el método de celosía cuando hagamos multiplicación.
Utilice el método de celosía para calcular 456 + 659. Muestre su trabajo.
Utilice el método de celosía para calcular lo siguiente:
| a.\(12_{\text{six}} + 25_{\text{six}}\) | b.\(T4E_{\text{thirteen}} + 190_{\text{thirteen}}\) |
Aprender a estimar es una habilidad muy útil. La idea es convertir los números reales en el problema a números más simples que sean fáciles de calcular mentalmente. En el ejercicio 14, 47 + 68 está cerca de sumar 50 + 70, que es 120. 120 está bastante cerca —está dentro del 5% de la respuesta exacta de 115. Incluso si necesitas saber la respuesta exacta, si haces una estimación rápida, generalmente puedes decir si estás en el parque de pelota. A veces estimar es todo lo que realmente es necesario. Por ejemplo, si está comprando comestibles y tiene una cantidad limitada de efectivo a mano para pagarlos, es posible que desee sumar mentalmente lo que gasta a medida que avanza. La forma más rápida de estimar es redondear. Y si quieres asegurarte de no rebasar tu cantidad asignada, siempre puedes simplemente redondear. Digamos que tenías diez artículos en el carrito por las siguientes cantidades:
| $6.75 | 3,23$ | 1,25$ | $7.18 | $2.98 | $1.89 | $1.50 | $2.45 | 3,69 | $.76 |
Hay muchas formas en las que podrías elegir redondear y agregar: podrías redondear al dólar más cercano, o hasta el dólar más cercano (para asegurarte de no rebasar) o tal vez a los 50 centavos más cercanos. Voy a asumir que ya sabes redondear números. Y deberías poder agregar en tu cabeza usando tus dedos y el Método Dot. Los siguientes son tres ejemplos de cómo podría obtener una estimación de cuál será la factura de comestibles.
| Redondeo al dólar más cercano: 7 + 3 + 1 + 7 + 3 + 2 + 2 + 2 + 4 + 1 = 32 |
| Redondeo al dólar más cercano: 7 + 4 + 2 + 8 + 3 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1 = 36 |
| Redondeo a los 50 centavos más cercanos: 7 + 3 + 1.5 + 7 + 3 + 2 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 1 = 32 |
La suma real es de 31.68 dólares que es extremadamente cercana a nuestra estimación aproximada de 32 dólares que obtuvimos redondeando tanto al dólar más cercano como a los 50 centavos más cercanos. Si está trabajando con artículos de mayor precio, puede redondear a los diez o cien dólares más cercanos, etc.
Estimar mentalmente el costo de la factura de comestibles que contiene los siguientes artículos de precio. Explica cómo lo hiciste. Entonces, compara tu respuesta con la suma real.
| $4.67 | $8.21 | $9.53 | $5.33 | $2.79 | $1.89 | $2.14 | $4.65 | $5.14 | $.83 |
Finge que vas de compras y compras diez artículos donde cada artículo es menor a $10. Enumere el costo real de cada artículo (configúrelos) y estime el total. Después, computar el costo real de los diez artículos.
¿Cuándo crees que podrías llegar a ser demasiado alto o bajo de una estimación? Dé un ejemplo.