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4.2: Algoritmos de multiplicación

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    Necesitarás: Bloques Base (Tarjetas de Material 4-15)

    Existen muchos algoritmos para la multiplicación. Personalmente, creo que la forma en que la mayoría de nosotros lo aprendimos en la escuela es uno de los algoritmos más duros. Es una batalla cuesta arriba conseguir nuevos métodos en el sistema escolar. Pero, vale la pena perseguirlo. Es bueno saber qué significa multiplicar, y cómo multiplicar dos números cualesquiera juntos. No obstante, no hay razón por la que todos deban tener que utilizar el mismo método para obtener la respuesta. En este conjunto de ejercicios, aprenderás algunos algoritmos nuevos para la multiplicación. También aprenderás a multiplicar en diferentes bases.

    Mucha gente usa suma repetida todo el tiempo para multiplicarse. Considera el problema de multiplicación 26 veces 17. Básicamente, esto significa sumar 26 diecisiete sumados. Esto podría hacerse sumarlos uno a la vez. Eso llevaría mucho tiempo.

    Otro enfoque sería sumar 10 diecisiete juntos primero para conseguir 170, luego sumar 10 diecisiete más juntos para volver a conseguir 170, luego sumar 5 diecisiete más juntos que es 85, y luego sumar uno más diecisiete. Sumando 10 diecisiete (170), 10 diecisiete (170), 5 diecisiete (85) y 1 diecisiete (17) da 170 + 170 + 85 + 17 = 442, que es exactamente la respuesta a 26 veces 17. Eso no debería sorprender ya que sumamos 26 (10+10+5+1) diecisiete juntos.

    Alguien más podría sumar 10 diecisiete (170), 10 diecisiete (170), 3 diecisiete (51) y 3 diecisiete más (51) para obtener 170 + 170 + 51 + 51 = 340 + 102 =442.

    Hay varias otras formas en que la gente podría romper el número 26 y aún así obtener la respuesta correcta. Este enfoque puede ser uno con frecuencia o tal vez esta es la primera vez que lo piensa de esta manera. En cualquier caso, es diferente a simplemente hacerlo de la misma manera de siempre.

    Debido a la propiedad conmutativa, podrías haber hecho 17 veces 26 en su lugar. A lo mejor sumarías 10 veintiséis (260), luego 5 veintiséis más (130) y 2 más veintiséis (52) para conseguir 260 + 130 + 52 = 442.

    Una razón por la que es ventajoso hacer multiplicación usando la adición repetida es que se pueden hacer muchos problemas en tu cabeza de esta manera. Pero, por supuesto, cada nuevo método requiere práctica y acostumbrarse, y es común que la gente vuelva a usar sus métodos antiguos y familiares incluso si lleva más tiempo y requiere papel. Eso también está bien. Sin embargo, es muy importante que un maestro conozca varias formas para que pueda brindar más oportunidades a los estudiantes. Lo que le parece obvio a un alumno es ajeno a otro, así que das alternativas y presentas diferentes formas de ver las cosas.

    Ejercicio 1

    Use alguna forma de adición repetida para hacer las siguientes multiplicaciones. Explica cómo haces cada uno.

    a.\(23 \times 13\)

    b.\(14 \times 14\)

    Un nuevo algoritmo (para la mayoría de ustedes leyendo esto) se llama Duplation. Este es en realidad un algoritmo muy antiguo utilizado en la antigüedad por los egipcios. También utiliza el principio de que la multiplicación es simplemente suma repetida. Se llama duplación porque utiliza la idea de duplicar números para obtener la respuesta. Veamos de nuevo la primera multiplicación que hicimos en esta sección. Lo fue\(26 \times 17\). Ya que se deben sumar 26 diecisiete, el número 26 se descompone en poderes de dos. Es fácil obtener potencias de dos: simplemente comienza con 1, luego duplicarlo para obtener 2, luego duplicarlo para obtener 4, luego duplicarlo para obtener 8, luego duplicarlo para obtener 16, etc. Para averiguar hasta dónde tienes que llegar en el proceso de duplicación, detente si duplicar da un número mayor que el número que estás tratando de desglosar (26, en este caso). Ahora, todo esto suena más complicado de lo que realmente es. Antes de explicar demasiado, fíjate en cómo lo escribirás. Escribe 26 en la parte superior y resáltalo. Debajo, comienza con 1, luego, doble continuamente, parando en 16 ya que si doblaste otra vez, obtendrías un número mayor que 26. A la derecha del 26, escribe el número 17 y subrayarlo.

    Debajo, primero escribe 17, luego dobla 17 para obtener 34, luego dobla 34 para obtener 68, doble 68 para obtener 136, etc., hasta que tengas la misma cantidad de números debajo del 17 que debajo del 26.

    \(\begin{aligned} &\begin{matrix}\underline{26} && \times & \underline{17} \\ 1 && 17 \\ 2 && 34 \\ 4 && 68 \\ 8 && 136 \\ 16 && 272 \end{matrix} \\ &\begin{matrix} \cdots \cdots && \cdots \cdots \end{matrix} \end{aligned}\)

    ¿Ves los números correspondientes? 1 corresponde con 17, porque 17 es\(1 \times 17\), 2 corresponde con 34, porque 34 es\(2 \times 17\), 4 corresponde con 68, porque 68 es\(4 \times 17\), 8 corresponde con 136, porque 136 es\(8 \times 17\), y 16 corresponde con 272, porque 272 es\(8 \times 17\). Ahora, tal vez tengas que pensar en esto por unos minutos. El lado izquierdo realiza un seguimiento de cuántos de algunos números están sumando. Entonces, el\(1 \times 17\) debe ser claro. Entonces,\(2 \times 17\) es simplemente 17 duplicado. Ahora si\(2 \times 17\) es 34, entonces\(4 \times 17\) es el doble que\(2 \times 17\), así que doble 34 para obtener 68. Esto continúa y sigue. Entonces, si\(8 \times 17\) es 136, entonces si doblamos 136, deberíamos tener\(16 \times 17\). ¿No es genial cómo lo sabemos\(16 \times 17 = 272\) y solo duplicamos algunos números para llegar ahí?

    Bien, ahora solo necesitamos sumar 26 diecisiete juntos. Simplemente comienza en la parte inferior de la primera columna, y marca los números que suman 26 (esto es como hacerlo en la base dos). Después de marcar los números en la columna izquierda, círculo o punto a sus números correspondientes en la columna derecha. Son esos números en la columna de la derecha los que se suman para obtener la respuesta. Mira cómo se hace el resto del problema:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.31.21 PM.png

    Volvamos a hacer el mismo problema, pero utilicemos la propiedad conmutativa de la multiplicación. En otras palabras, utilice el método de duplación para calcular:\(17 \times 26\). Esta vez, en la columna de la izquierda, marcas números que suman 17 es una coincidencia que tuve que duplicar a 16 de nuevo y parar. En la columna de la derecha, comienza con 26 y doble distancia.

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.32.39 PM.png

    Aquí hay dos ejemplos más para que los estudies. Voy a hacer\(15 \times 35\) y\(35 \times 15\).

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.52.56 PM.png

    Por supuesto, por la propiedad conmutativa de la multiplicación, la respuesta es 525, no importa de qué manera lo hagas. ¿Estás listo para probar un par de problemas de duplación propios? Bueno, listos o no, ¡aquí vienen!

    Ejercicio 2

    Multiplicar\(13 \times 29\) usando duplación. Después, multiplicar\(29 \times 13\) usando duplación. Muestra todo tu trabajo. Que quede claro lo que se suma para cada problema.

    Ejercicio 3

    Usa duplación para multiplicar 27 por 14, y luego 14 por 27. Muestra tu trabajo.

    Aquí hay un ejemplo de cómo los egipcios se multiplicaron mediante duplación.

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.54.02 PM.png

    Ejercicio 4

    Usa duplación para multiplicarScreen Shot 2021-06-21 a las 4.24.31 PM.png.

    Hacer el problema enteramente en egipcio.

    Screen Shot 2021-05-09 a las 10.50.43 PM.png

    Vas a aprender una manera genial y fácil de multiplicar números juntos. Pero primero, te voy a mostrar cómo multiplicar 2 dígitos individuales juntos. Hacer un cuadrado con una diagonal en él. Poner un número encima y el otro a la derecha de la plaza. Multiplica los dos dígitos juntos y pon la respuesta en la casilla con la diagonal. Mira los ejemplos a la derecha.

    Screen Shot 2021-05-09 a las 10.52.31 PM.png

    El método que ahora vas a aprender se llama MÉTODO DE ENrejado y podría usarse para multiplicar números de 2 o 3 dígitos o incluso más grandes juntos. El ejemplo bien hacer es\(47 \times 32\).

    Screen Shot 2021-05-10 en 1.33.19 PM.png

    PASO 1: Para comenzar, ponga uno de los números en la parte superior (47) de un rectángulo (que tenga un espacio para cada dígito en el número) y el otro número a lo largo del lado (32) del mismo rectángulo (que tenga un espacio para cada dígito). En este caso, necesitamos un rectángulo que tenga dos espacios en la parte superior y 2 espacios a lo largo del costado. Entonces, haces diagonales. Mira a la derecha.

    Screen Shot 2021-05-10 en 1.33.28 PM.png

    PASO 2: Multiplica cada uno de los dígitos en la parte superior por cada uno de los dígitos a lo largo del costado, y pon la respuesta donde se encontrarían. Por ejemplo, mira a dónde va el 12 cuando multiplicas 4 por 3.

    Screen Shot 2021-05-10 en 1.33.36 PM.png

    PASO 3: Hay otras tres multiplicaciones por hacer: 7 veces 3, 4 veces 2 y 7 veces 2. ¿Ves cómo se rellenan todas las respuestas? No importa cuáles multipliques y pongas primero.

    PASO 4: Hay cuatro diagonales (compuestas por triángulos pequeños) inclinadas hacia la derecha dentro del rectángulo. Empezando por el de la esquina inferior derecha, sumar los dígitos dentro de cada diagonal y rellenar poner la suma en la “copa” debajo de su diagonal. En la primera diagonal es 4, por lo que 4 se pone en la “copa” debajo de su diagonal (abajo a la derecha del rectángulo). En la siguiente diagonal se encuentran tres dígitos un 1, 1 y 8 los cuales suman 10, así que ponen un 0 en la copa debajo de esa diagonal (en la parte inferior a la izquierda) y un 1 (para el acarreo) en uno de los triángulos a la izquierda. La siguiente diagonal tiene un 2, 2, 0 y 1, que suma 5, y va en la “copa” debajo de su diagonal (izquierda, abajo). En la última diagonal, solo hay un 1, por lo que un 1 se pone en la “copa” debajo de su diagonal (izquierda, arriba). Mira cómo llené los números uno a la vez.

    Screen Shot 2021-05-10 en 1.41.45 PM.png

    PASO 5: Los números que rellenaste debajo de cada diagonal en las “copas” (fuera del rectángulo) forman la respuesta. Se lee comenzando en la parte superior izquierda y leyendo hacia abajo y luego por la parte inferior. En este caso, la respuesta es 1504. ¿No es genial? ¡Eso es todo lo que hay que hacer!

    A la mayoría de mis alumnos les encanta este método de multiplicación de Celosía muy antiguo. Funciona tan fácilmente para números pequeños como para números grandes. Primero, simplemente haces una serie de multiplicaciones simples de un solo dígito, y luego agregas, con acarreo. En realidad podrías usar el método de adición de izquierda a derecha (con subrayado para llevar) para el último paso. La principal desventaja es que hay que dibujar una celosía, que es un pequeño precio a pagar para que la multiplicación sea más fácil y menos complicada. Lo más probable es que lleve menos tiempo que usar el algoritmo estándar con acarreo, porque hay menos posibilidades de error y confusión con todo ese multiplicar y llevar, etc. propongo que todos los alumnos aprendan la multiplicación de esta manera primero, y que se queden con ella si les gusta. ¿Quién necesita acortarlo y hacerlo más complicado de lo que realmente es? Ah, bueno, me imagino que consigues mi punto.

    Ejercicio 5

    Utilice las celosías proporcionadas en a - d para multiplicar los números dados. Después escribe la respuesta en el espacio provisto. Para e, dibuja tu propia celosía para calcular la multiplicación. Por cierto, no tienes que dibujar las pequeñas tazas. Ese fue mi propio pequeño invento así que sería fácil identificar la respuesta. Hay dos problemas más (f y g) en la página siguiente. Consulta tus respuestas con una calculadora

    a.\(63 \times 57\) = ____

    Screen Shot 2021-05-10 a las 2.06.20 PM.png

    b.\(342 \times 85\) = ____

    Screen Shot 2021-05-10 a las 2.06.25 PM.png

    c. Informar un problema:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 2.06.20 PM.png

    d. Informar un problema:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 2.06.25 PM.png
    e.\(58 \times 67\) = ____ Dibuja tu propia celosía.

    Ejercicio 6

    a. Saca tu Base Cuatro Bloques. Toma 41 unidades e intercambialas usando tus bloques Base Cuatro. Deberías tener algunos pisos, largos y unidades que puedes escribir como numeral en Base Cuatro.

    Escribe aquí el número Base Cuatro:

    b. Si quisieras multiplicar 2 veces ese número, necesitarías hacer dos pilas que representen ese número, unir las dos pilas iguales (ya que la multiplicación se repite suma) y luego tomar la nueva pila y hacer intercambios. Haz dos pilas iguales con los bloques, donde cada pila es la misma que la que formaste a partir de intercambios en la parte a.Dibuja una imagen de cómo se ven las dos pilas.

    c. Unir las dos pilas y hacer intercambios para obtener una nueva base de cuatro números. Escribe aquí este número Base Cuatro:

    d. Rellenar el primer espacio en blanco con lo que obtuviste para la parte a y el segundo en blanco con lo que obtuviste para la parte c. ¡Acabas de hacer un problema de multiplicación en Base Cuatro usando suma repetida!

    \(2_{\text{four}} \times\)_____\(_{\text{four}} = \) _____\(_{\text{four}}\)

    Ejercicio 7

    a. Escribe aquí el número Base Cuatro del 6a:

    b. Si quisieras multiplicar 3 veces ese número, necesitarías hacer tres pilas que representen ese número, unir las tres pilas iguales (ya que la multiplicación se repite suma) y luego tomar la nueva pila y hacer intercambios. Haz tres pilas iguales con los bloques, donde cada pila es la misma que la que formaste a partir de intercambios en la parte a Dibuja una imagen de cómo se ven las tres pilas.

    c. Unir las tres pilas y hacer intercambios para obtener una nueva base de cuatro números. ¿Qué número de Base Cuatro obtuviste?

    d. Rellenar el primer espacio en blanco con lo que obtuviste para la parte a y el segundo en blanco con lo que obtuviste para la parte c. ¡Acabas de hacer otro problema de multiplicación en Base Cuatro usando suma repetida!

    \(3_{\text{four}} \times\)_______\(_{\text{four}} =\) _____\(_{\text{four}}\)

    Ejercicio 8

    Usando el mismo procedimiento que en 6 y 7, saca tu base tres bloques y haz la siguiente multiplicación:\(2_{\text{three}} \times 221_{\text{three}}\). Explica tu trabajo, y muestra fotos.

    Ejercicio 9

    Si quisieras hacerlo\(10_{\text{three}} \times 221_{\text{three}}\), necesitarías cambiar el long (\(10_{\text{three}}\)) por tres unidades, hacer tres pilas usando Base tres bloques representando\(221_{\text{three}}\), y hacer lo mismo que hiciste en el ejercicio 7. Explica cómo haces esto y muestra fotos.

    Este método de adición repetida con los bloques sería demasiado engorroso si estuviéramos trabajando con números más altos. Por ejemplo, si estuvieras tratando de usar este método para multiplicar\(321_{\text{four}} \times 312_{\text{four}}\), el primer número cuando se divide en unidades individuales consistiría en más de 50 unidades, ¡y eso sería demasiadas pilas para hacer! En cambio, pensaremos y descubriremos qué significa multiplicar usando bloques más grandes que unidades. Por ejemplo, ¡averiguaremos qué es un piso por tiempos largos, o qué largos tiempos es un piso en cualquier base! Usaremos estas abreviaturas: U para unidad, L para largo, F para plano, B para bloque, LB para bloque largo, FB para bloque plano y BB para bloque.

    Ejercicio 10

    a. Saca tu base a tres cuadras. Vas a encontrar el producto de un largo y otro largo similar a como lo hiciste los productos con las Tiras en C en Set de Ejercicio 1. \(L \times L\)se obtiene poniendo uno largo en posición horizontal y el segundo largo en posición vertical, debajo y perpendicular al primer largo. Después formar un rectángulo de largos por debajo. Tome el rectángulo (no incluya la horizontal superior larga) e intercambie en la base tres, si es posible. ¿Cuál es el producto de largo y un largo en base tres?

    b. Saca tu base a cuatro cuadras. Encuentra el producto de largo y un largo en base cuatro utilizando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de largo y un largo en base cuatro?

    c. Saca tu base cinco cuadras. Encuentra el producto de largo y un largo en base cinco utilizando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de largo y un largo en base cinco?

    d. En cualquier base, ¿cuál es el producto de un largo y otro largo? \(L \times L =\)

    Ejercicio 11

    a. Saca tu base a tres cuadras. Vas a encontrar el producto de un piso y un largo ahora. Primero, necesitamos convertir el piso en largos para que podamos hacer un tren horizontal a través de la parte superior de la T. Haz esto. Después, poner un largo en la posición vertical, por debajo y perpendicular al largo tren de largos haciendo la parte superior de la T. Luego formar un rectángulo de largos debajo. Tome el rectángulo (no incluya ningún largo de la parte horizontal superior de la T) e intercambie en la base tres, si es posible. ¿Cuál es el producto de plano y un largo en base tres?

    b. Saca tu base a cuatro cuadras. Encuentra el producto de plano y un largo en base cuatro utilizando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de plano y un largo en base cuatro?

    c. Saca tu base seis cuadras. Encuentra el producto de plano y un largo en base seis utilizando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de plano y un largo en base seis?

    d. En cualquier base, ¿cuál es el producto de un piso y un largo? \(F \times L =\)

    Ejercicio 12

    a. Saca tu base a tres cuadras. Vas a encontrar el producto de un bloque y un largo ahora. Primero, necesitamos convertir el bloque en pisos, y luego el plano a largos para que podamos hacer un tren horizontal a través de la parte superior de la T. Haz esto. Después, poner un largo en la posición vertical, por debajo y perpendicular al largo tren de largos haciendo la parte superior de la T. Luego formar un rectángulo de largos debajo. Tome el rectángulo (no incluya ningún largo de la parte horizontal superior de la T) e intercambie en la base tres, si es posible. ¿Cuál es el producto del bloque y un largo en base tres?

    b. Saca tu base a cuatro cuadras. Encuentra el producto de bloque y un largo en base cuatro usando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de bloque y un largo en base cuatro?

    c. Saca tu base dos cuadras. Encuentra el producto de bloque y un largo en base dos usando el método explicado en la parte a. ¿Cuál es el producto de bloque y un largo en base dos?

    d. En cualquier base, ¿cuál es el producto de un bloque y un largo? \(B \times L =\)

    Ejercicio 13

    Resumir los resultados de la parte d de los ejercicios 10, 11 y 12.

    a.\(L \times L =\) _______

    b.\(L \times F =\) _______

    c.\(L \times B =\) ________

    Utilice la propiedad conmutativa de multiplicación para calcular lo siguiente:

    d.\(F \times L =\) ________

    e.\(B \times L =\) ________

    Ejercicio 14

    En sus propias palabras, ¿qué sucede cuando algo se multiplica por un largo?

    ¿Notaste que cuando algo se multiplica por un largo, sube al siguiente valor posicional? Esto es análogo a multiplicar por 10 en base 10, ya que 10 es un largo en base diez. Por ejemplo, en base 10, 347 representa 3 cientos, 4 decenas y 7 unos; cuando multiplicas\(347 \times 10\), obtienes 3470, 3 miles, 4 cientos y 7 decenas, el valor posicional para cada dígito subió un valor posicional.

    Ejercicio 15

    Considera multiplicar\(312_{\text{four}} \times 10_{\text{four}}\). Esto significa que estás multiplicando un número en la base cuatro por un largo en la base cuatro. Saca tu base cuatro cuadras y representa el número\(312_{\text{four}}\).

    a. tiene ____ pisos, _____ largos y _____ unidades.

    b. Si multiplicas cada uno de estos por el largo, ahora ¿cuántos de cada tipo de bloque de valor posicional tienes en la base cuatro?

    Para multiplicar un número de dos dígitos, X, en una base por algún número, Y, en esa base, se puede utilizar la idea de suma repetida. Por ejemplo, si representamos el número con bloques base, vamos a querer crear una “pila de respuestas” donde colocamos los bloques que representan el producto a medida que multiplicamos por el número de dos dígitos. Cada unidad en X multiplicada por Y nos da un conjunto de bloques base contenidos en Y en la pila de respuestas. Cada largo en X multiplicado por Y nos da el siguiente valor posicional para cada uno de los bloques base contenidos en Y. Esto es mucho más complicado de explicar que de hacer con los bloques. Entonces, hagamos un ejemplo.

    Saca tu Base Cuatro Bloques. Vamos a multiplicar\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\). Con tus bloques, representa esto como un problema de multiplicación. Debería verse algo así:

    Screen Shot 2021-05-09 a las 11.54.25 PM.png

    Recordemos que cada largo en la parte inferior multiplicado por la parte superior hace que cada pieza superior se mueva hacia arriba al siguiente bloque de mayor valor posicional. Entonces, cuando el primer largo inferior se multiplica por el número superior, 2 pisos y 3 largos entran en la pila de respuestas. Cuando el segundo largo inferior se multiplica por el número superior, otros 2 pisos y 3 largos entran en la pila de respuestas. Cuando el tercer largo inferior se multiplica por el número superior, otros 2 pisos y 3 largos entran en la pila de respuestas. Cuando hago esto con los bloques, suelo mover cada parte del multiplicador (número inferior) que he hecho hasta ahora a la derecha o fuera del camino. En cualquier caso, en tu pila de respuestas, ahora deberías tener 6 pisos y 9 largos en la pila de respuestas. Todavía tenemos que multiplicar por cada una de las dos unidades. Cada unidad multiplicada por el número superior da un conjunto del número superior; es como multiplicar por 1. Entonces, cuando la primera unidad inferior se multiplica por el número superior, 2 largos y 3 unidades entran en la pila de respuestas. Cuando la segunda unidad inferior se multiplica por el número superior, otros 2 largos y 3 unidades entran en la pila de respuestas. Crea un lugar para la pila de respuestas y haz esto con tus bloques. Pruébalo tú mismo, luego revisa en la página siguiente.

    Mostraré la pila de respuestas a continuación: cada fila muestra lo que obtuve al multiplicar cada pieza inferior (3 largos y 2 unidades) por la parte superior. Por cierto, podrías haber multiplicado primero por las unidades y luego por los largos lo haré así para el siguiente ejemplo. Todo simplemente acaba finalmente en la pila de respuestas y todos los intercambios tienen que hacerse al final, para que puedas escribirlo en Base Cuatro. Esto es\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\):

    Screen Shot 2021-05-09 a las 11.54.25 PM.png

    A continuación se muestra la pila de respuestas:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.04.17 AM.png

    Ahora, haz todos tus intercambios con estas piezas. Se debe terminar con 2 cuadras, 1 plano, 2 largos y 2 unidades, que es el número\(2122_{\text{four}}\), escrito en base cuatro.

    A continuación, vamos a multiplicar\(132_{\text{four}} \times 23_{\text{four}}\). Con tus bloques, representa esto como un problema de multiplicación. Debería verse algo así:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 3.38.03 PM.png

    Cada unidad multiplicada por el número superior da un conjunto del número superior es como multiplicar por 1. Entonces, cuando la primera unidad inferior se multiplica por el número superior, un piso, 3 largos y 2 unidades entran en la pila de respuestas. Cuando la segunda unidad inferior se multiplica por el número superior, otra plana, 3 largos y 2 unidades entran en la pila de respuestas. Cuando la tercera unidad inferior se multiplica por el número superior, otro piso más, 3 largos y 2 unidades entran en la pila de respuestas. Crea un lugar para la pila de respuestas y haz esto con tus bloques. Cuando hago esto con los bloques, suelo mover cada parte del multiplicador que he hecho hasta ahora a la derecha o fuera del camino. En cualquier caso, en tu pila de respuestas, ahora deberías tener 3 pisos, 9 largos y 6 unidades en la pila de respuestas. Todavía tenemos que multiplicar por cada uno de los dos largos. Recordemos que cada largo multiplicado por la parte superior hace que cada pieza superior se mueva hasta el siguiente bloque de mayor valor posicional. Entonces, cuando el primer largo inferior se multiplica por el número superior, un bloque, 3 pisos y 2 largos entran en la pila de respuestas. Cuando el segundo largo inferior se multiplica por el número superior, otro bloque, 3 pisos y 2 largos entran en la pila de respuestas. Mostraré la pila de respuestas a continuación: cada fila muestra lo que obtuve al multiplicar cada pieza inferior (3 unidades y 2 largos) por la parte superior. Por cierto, podrías haber multiplicado primero por los largos y luego por las unidades. Todo simplemente acaba finalmente en la pila de respuestas y todos los intercambios tienen que hacerse al final, para que puedas escribirlo en Base Cuatro. Esto es\(132_{\text{four}} \times 23_{\text{four}}\):

    Screen Shot 2021-05-10 a las 3.36.40 PM.png

    A continuación se muestra la pila de respuestas:

    Screen Shot 2021-05-10 a las 3.37.07 PM.png

    Ahora, haz todos tus intercambios con estas piezas. Debes terminar con 1 bloque largo, 1 bloque, 2 largos y 2 unidades, que es el número\(11022_{\text{four}}\), escrito en base cuatro. Asegúrate de hacer y entender estos dos últimos problemas antes de continuar.

    Ejercicio 16

    Multiplica cada uno de los siguientes usando bloques base. Después explique y dibuje los pasos en el espacio de abajo como se hizo en los dos ejemplos anteriores.

    a. Usa bloques Base Cuatro para multiplicar\(12_{\text{four}} \times 31_{\text{four}}\)

    b. Utilizar bloques Base Tres para multiplicar\(112_{\text{three}} \times 21_{\text{three}}\)

    Ejercicio 17

    a. Saca tu base a tres cuadras. Ahora vas a encontrar el producto de un piso y un piso. Tenemos que convertir el primer piso en largos, hacer un tren, y poner este tren horizontal en la parte superior de la T. Haz esto. Después, convertir el segundo plano a largos, hacer un tren, poner este tren en la posición vertical, debajo y perpendicular al tren largo de largos haciendo la parte superior de la T. Luego formar un rectángulo de un montón de largos debajo. Tome el rectángulo (no incluya ningún largo de la parte horizontal superior de la T) e intercambie lo más posible en la base tres, si es posible. ¿Cuál es el producto de plano y un plano en base tres?

    b. Aquí hay otra manera de encontrar el producto de un piso y otro plano en base tres. Por cada unidad en el primer piso, pon un piso en una pila de respuestas. Toma todos esos pisos en la pila de respuestas y cámbialos para ver qué obtienes. ¿Cuál es el producto de plano y un plano en base tres?

    c. Saca tu base dos cuadras. Encuentra el producto de plano y uno plano en base dos usando el método explicado en la parte a o b. ¿Cuál es el producto de plano y uno plano en base dos?

    d. Completar lo siguiente: En cualquier base,\(F \times F =\) _____

    Otra forma de pensar lo que sucede cuando te multiplicas por un piso es pensar en un piso como largas veces por largo. Digamos que estás multiplicando algo por un piso. Primero, multiplíquelo por un largo, lo que significa que sube un valor posicional, y luego multiplique esa respuesta por una larga una vez más, lo que significa que sube un valor posicional más. Entonces, cualquier cosa multiplicada por un largo sube un valor posicional, y cualquier cosa multiplicada por un piso sube dos valores posicionados. Multiplicar por un plano es análogo a multiplicar por 100 en base diez. 100b en cualquier base b representa un plano. Piensa en lo que sucede cuando un bloque se multiplica por cualquier cosa.

    Ejercicio 18

    Complete lo siguiente:

    a.\(U \times U =\) ____ f.\(F \times U = \) _______
    b.\(U \times L = \) _____ g.\(B \times U = \) _______
    c.\(U \times F = \) _____ h.\(L \times L = \) _______
    d.\(U \times B = \) _____ i.\(L \times F = \) _______
    e.\(L \times U = \) _____ j.\(L \times B = \) _______

    Ejercicio 19

    Usa seis bloques base para multiplicar lo siguiente. \(105_{\text{six}} \times 123_{\text{six}}\). Si tienes problemas, pasa a la página siguiente, donde se explica y luego inténtalo de nuevo. Mostrar los pasos y el diagrama.

    Si tuviste problemas con #19, a continuación se muestra una imagen abreviada de los pasos. La multiplicación que se muestra a la izquierda es\(105_{\text{six}} \times 123_{\text{six}}\) y la multiplicación que se muestra a la derecha es\(123_{\text{six}} \times 105_{\text{six}}\) En ambos casos, comencé a multiplicar con el bloque más grande en la parte inferior y me moví de izquierda a derecha. En ambos casos, el resultado final es el mismo, y después de que se hayan realizado todos los intercambios, hay 1 bloque largo, 3 bloques, 4 pisos y 3 unidades, que es\(13403_{\text{six}}\), escrito en base seis. Se necesita mucha práctica para hacer esto realmente con los bloques. ¡Pero es divertido una vez que lo consigues!

    Screen Shot 2021-05-10 a las 12.31.08 AM.png

    Ejercicio 20

    Usa base tres bloques para multiplicar\(102_{\text{three}} \times 120_{\text{three}}\). Mostrar pasos como los realizados en el ejemplo que se muestra arriba.

    Podemos acortar aún más este proceso de multiplicar con los bloques. En el ejercicio 18, mostraste los productos obtenidos al multiplicar dos bloques base juntos. Lo interesante es que un piso veces un largo es una cuadra, no importa en qué base te encuentres. De hecho, puedes hacer un gráfico de multiplicación para usar bloques.

    Ejercicio 21

    Completa el resto de la tabla de multiplicación a continuación.

    \(\times\) U L F B
    U
    L L B
    F FB
    B LB

    En nuestro primer ejemplo con los bloques, calculamos\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\). Ya que estamos multiplicando 2 largos y 3 unidades por 3 largos y 2 unidades, la multiplicación se puede escribir como\((2L + 3U) \times (3L + 2U)\). Aplicando la propiedad distributiva (o FOIL), obtenemos

    \((2L + 3U) \times (3L + 2U)\)

    =\(2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U\)

    =\(\bf (2 \times 3)(L \times L) + (2 \times 2)(L \times U) + (3 \times 3)(L \times U) + (3 \times 2)(U \times U)\)

    = 6F + 4L + 9L + 6U

    = 6F + 13L + 6U **

    En este punto hay que hacer intercambios. En la Base Cuatro,

    6F = 1B + 2F, 13L = 3F + 1L y 6U = 1L + 2U

    = 1B + 2F + 3F + 1L + 1L + 2U

    = 1B + 5F + 2L + 2U

    Los 5 pisos ahora se intercambian por un bloque y un piso

    = 1B + 1B + 1F + 2L + 2U

    = 2B + 1F + 2L + 2U

    que está escrito como\(2122_{\text{four}}\) en la base cuatro. Esta es la misma respuesta que obtuvimos antes.

    **Si estuviera haciendo\(23 \times 32\) en una base diferente, todos los pasos hasta este punto son exactamente los mismos. Por ejemplo, en la página siguiente, el mismo problema básico se hace en la base seis. Todos los pasos son iguales, pero fíjense que una vez que se realizan los intercambios, se hacen con base seis bloques en mente.

    Además, no es necesario escribir el paso que está en negrita. Esa es una aplicación de las propiedades conmutativas y asociativas, y quería mostrar ese paso para aclaración.

    Aquí está el mismo problema básico hecho en Base Seis.

    \( \begin{aligned} & 23_{\text{six}} \times 32_{\text{six}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= (2 \times 3)(L \times L) + (2 \times 2)(L \times U) + (3 \times 3)(L \times U) + (3 \times 2)(U \times U) \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 1B + 2F + 1L + 1L \\ &= 1B + 2F + 2L \\ &= 1220_{\text{six}} \end{aligned} \)

    Aquí está el mismo problema básico hecho en Base Nueve.

    \( \begin{aligned} & 23_{\text{nine}} \times 32_{\text{nine}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times U 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 6F + 1F + 4L + 6U \\ &= 7F + 4L + 6U \\ &= 746_{\text{nine}} \end{aligned}\)

    Ejercicio 22

    Muestra los pasos usando los bloques como se muestra en los ejemplos anteriores para multiplicar los siguientes.

    a.\(23_{\text{five}} \times 32_{\text{five}}\)

    b.\(42_{\text{eight}} \times 53_{\text{eight}}\)

    Aquí hay un ejemplo del uso de este método para números con más de dos dígitos cada uno. Todavía usas la propiedad distributiva. Cada término en el primer paréntesis se multiplica por cada término en el segundo paréntesis.

    \(\begin{aligned} & 212_{\text{five}} \times 102_{\text{five}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 1B + 1B + 1F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 2B + 1F + 2L + 4U \\ &= 22124_{\text{five}} \end{aligned} \)

    \(\begin{aligned} & 212_{\text{eight}} \times 102_{\text{eight}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 21624_{\text{eight}} \end{aligned} \)

    En este último ejemplo, nos escapamos sin tener que hacer ningún intercambio. No tenemos tanta suerte en este siguiente ejemplo, que está en la base tres. La Base Tres es más difícil de trabajar ya que solo se necesitan tres de algo antes de que tengas que hacer un intercambio. A veces

    parece que todo lo que estás haciendo es intercambiar!

    \( \begin{aligned} & 212_{\text{three}} \times 102_{\text{three}} = (2F + 1L + 2U) \times (1F + 2U) \\ &= 2F \times 1F + 2F \times 2U + 1L \times 1F + 1L \times 2U + 2U \times 1F + 2U \times 2U \\ &= 2LB + 4F + 1B + 2L + 2F + 4U \\ &= 2LB + 1B + 6F + 2L + 4U \\ &= 2LB + 1B + 2B + 2L + 1L + 1U \\ &= 2LB + 3B + 3L + 1U \\ &= 2LB + 1LB + 1F + 1U \\ &= 3LB + 1F + 1U \\ &= 1FB + 1F + 1U \\ &= 100101_{\text{three}} \end{aligned}\)

    Ejercicio 23

    Muestra los pasos usando los bloques como se muestra en los ejemplos anteriores para multiplicar:

    \(212_{\text{four}} \times 102_{\text{four}}\)

    Ejercicio 24

    Muestra los pasos usando los bloques como se muestra en los ejemplos anteriores para multiplicar:

    a.\(361_{\text{nine}} \times 15_{\text{nine}}\)

    b.\(111_{\text{two}} \times 11_{\text{two}}\)

    Otra forma de multiplicar con los bloques es mediante el uso de un gráfico. Esto es similar a como lo hicimos para sumar. En realidad es muy similar a hacerlo usando el algoritmo de multiplicación regular, excepto que no tenemos que escribir el acarreo a medida que avanzamos. Simplemente multiplica cada dígito de un número por cada dígito en el otro número, y lo pones en la columna adecuada. Entonces, agregas los términos similares, y aún haces intercambios. Aquí hay un ejemplo escribiéndolo con la propiedad distributiva. A continuación, contraste con el método usando un gráfico.

    \( \begin{aligned} & 23_{\text{six}} \times 32_{\text{six}} = (2L + 3U) \times (3L + 2U) \\ &= 2L \times 3L + 2L \times 2U + 3U \times 3L + 3U \times 2U \\ &= 6F + 4L + 9L + 6U \\ &= 6F + 13L + 6U \\ &= 1B + 2F + 1L + 1L \\ &= 1B + 2F + 2L \\ &= 1220_{\text{six}} \end{aligned}\)

    En el paso uno, se realizan las multiplicaciones individuales. Si obtienes un número de 2 dígitos, solo escríbalo. No es necesario llevar. En el paso 2, se agregan los términos similares. Entonces, se hacen intercambios. Yo hice los intercambios intercambiando primero las unidades. En el paso 3, Cuando se intercambiaron 6 unidades, tenía 0 unidades y 1 más de largo, así que taché las 13 y puse 14 en la siguiente columna a la izquierda. En el paso 4, intercambié 14 largos por 2 pisos y 2 largos, así que taché 6 en la columna plana, y agregué 2 más para obtener 8, y taché 14 en la columna larga ya que solo quedaban 2. En el último paso se intercambian 8 pisos por 1 cuadra y 2 pisos. He mostrado los pasos individuales, todo el trabajo se muestra en el Paso 5. Eso es todo el espacio que se necesita.

    Screen Shot 2021-05-10 at 11.09.40 AM.png

    Aquí hay tres ejemplos más de usar los gráficos para multiplicar con los bloques.

    \(36_{\text{eight}} \times 45_{\text{eight}}\) \(23_{\text{five}} \times 14_{\text{five}}\) \(212_{\text{three}} \times 22_{\text{three}}\)
    Screen Shot 2021-05-16 a las 2.46.05 PM.png
    Screen Shot 2021-05-16 en 2.47.44 PM.png
    Screen Shot 2021-05-16 en 2.47.54 PM.png
    =\(2126_{\text{eight}}\) =\(432_{\text{five}}\) =\(12222_{\text{three}}\)

    Ejercicio 25

    Utilice los gráficos de bloques base, escribiendo los números en términos de bloques base reales al principio, como se muestra en los ejemplos anteriores, para calcular lo siguiente. Muestra todo tu trabajo y pasos a continuación.

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    a.\(34_{\text{six}} \times 25_{\text{six}}\) =

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    b.\(32_{\text{eleven}} \times 4T_{\text{eleven}}\) =

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    c.\(111_{\text{two}} \times 101_{\text{two}}\) =

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    d.\(1E_{\text{twelve}} \times 53_{\text{twelve}}\) =

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    e.\(212_{\text{three}} \times 22_{\text{three}}\) =

    Screen Shot 2021-05-16 en 3.02.21 PM.png

    f.\(23_{\text{four}} \times 32_{\text{four}}\) =

    Finalmente, sería bueno poder hacer las multiplicaciones sin tener que pensar en términos de los bloques reales. Se podría utilizar el algoritmo tradicional. Para ello, hay que asegurarse de convertir inmediatamente a la base dada antes de escribir la respuesta. Por ejemplo,\(4_{\text{five}} \times 4_{\text{five}} = 31_{\text{five}}\) debido a que 4 unidades por 4 unidades es 16 unidades, que en base cinco se convierte en 3 largos y 1 unidad, que se escribe como\(31_{\text{five}}\) en base cinco. Un buen comienzo es componer algunas tablas de multiplicación en otras bases. En la página siguiente se muestra una tabla de multiplicación base siete. Ten en cuenta que hay siete dígitos en la base siete, por lo que tendrás una tabla para rellenar que es de 7 filas por 7 columnas. Debido a la propiedad conmutativa, hay simetría en la tabla, lo que significa que muchas respuestas se duplican. Además, multiplicar por 0 o 1 es trivial. En la parte superior de la tabla, indicaremos que está en la base siete, para luego dejar de escribir la base a la derecha y debajo de cada numeral.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Tabla de Multiplicación Base Siete

    \(\times\) 0 1 2 3 4 5 6
    0 0 0 0 0 0 0 0
    1 0 1 2 3 4 5 6
    2 0 2 4 6 11 13 15
    3 0 3 6 12 15 21 24
    4 0 4 11 15 31 26 33
    5 0 5 13 21 26 34 42
    6 0 6 15 24 33 42 51

    Asegúrate de no leer estos como números base diez. 26 significa “dos seis, base siete”, que es 2 largos y 6 unidades, ¡o 20 unidades base diez! Una manera fácil de empezar es hacer las dos filas y dos columnas donde se multiplica por 0 y 1, luego, bajar la diagonal, de arriba izquierda a abajo derecha. Después, rellena los números por encima de la diagonal. Usando la propiedad conmutativa, rellene la parte inferior de la diagonal.

    Ejercicio 26

    Conformar una tabla de multiplicación por cada base indicada.

    a. Tabla de Multiplicación Base Dos b. Tabla de Multiplicación Base Tres
    c. Tabla de Multiplicación Base Seis d. Tabla de Multiplicación Base Ocho
    e. Tabla de multiplicación Base Doce

    Si puedes averiguar rápidamente la respuesta a multiplicar dos dígitos individuales en cualquier base dada, ahora puedes usar una celosía o el algoritmo estándar para hacer multiplicación en diferentes bases. Aquí hay algunos ejemplos de multiplicar números en diferentes bases usando el método de celosía.

    \(54_{\text{six}} \times 23_{\text{six}} = 2210_{\text{six}}\)

    Screen Shot 2021-05-16 a las 3.17.30 PM.png

    \(42_{\text{twelve}} \times 58_{\text{twelve}} = 1E74_{\text{twelve}}\)

    Screen Shot 2021-05-16 a las 3.32.30 PM.png

    \(202_{\text{three}} \times 21_{\text{three}} = 12012_{\text{three}}\)

    Screen Shot 2021-05-16 a las 3.33.32 PM.png

    \(111_{\text{two}} \times 11_{\text{two}} = 10101_{\text{two}}\)

    Screen Shot 2021-05-16 a las 3.34.09 PM.png

    Ejercicio 27

    Usa una celosía para multiplicar cada uno de los números en la base dada.

    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.41.44 AM.png
    a.\(32_{\text{five}} \times 14_{\text{five}}\) =
    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.41.44 AM.png
    b.\(93_{\text{thirteen}} \times 27_{\text{thirteen}}\) =
    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.41.44 AM.png
    c.\(12_{\text{three}} \times 21_{\text{three}}\) =
    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.42.28 AM.png
    d.\(524_{\text{seven}} \times 23_{\text{seven}}\) =
    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.42.54 AM.png
    e.\(23_{\text{seven}} \times 524_{\text{seven}}\) =
    Screen Shot 2021-05-16 a las 11.43.05 AM.png
    f.\(212_{\text{four}} \times 132_{\text{four}}\) =

    Finalmente, podrías usar el algoritmo de multiplicación estándar con acarreo. Este es el algoritmo más corto en términos de espacio en el papel, pero hay que ser bastante hábil en los cálculos mentales, lo que no nos viene de forma natural a la mayoría de nosotros cuando trabajamos en otras bases.

    Antes de pasar al algoritmo de multiplicación estándar, necesitamos notar algunas cosas más. Ante todo, ¿recuerdas cuando estábamos trabajando con los bloques para averiguar una\(L \times L\), etc.? Cuando algo se multiplicaba por un largo, todo subió un valor posicional. En base diez, cuando multiplicas un número entero por 10, el efecto es que la respuesta es el número original con un cero clavado al final. Es decir, cada dígito subió un valor posicional. Esto es cierto en todas las bases. Por ejemplo,\(524_{\text{seven}} \times 10_{\text{seven}} = 5240_{\text{seven}}\) y\(1T6_{\text{twelve}} \times 10_{\text{twelve}} = 1T60_{\text{twelve}}\). Si estás multiplicando por 100 en cualquier base, se clavan dos ceros hasta el final, y así sucesivamente. Este principio se puede utilizar para multiplicar\(2000 \times 400\) aprovechando las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación como se muestra a continuación:

    \(2000 \times 400 = 2 \times 1000 \times 4 \times 100 = 2 \times 4 \times 1000 \times 100 = 8 \times 100000 = 800000\).

    Por supuesto, no hay necesidad de escribir todos los pasos hacia fuera. Simplemente multiplique 2 por 4 y tacle en cinco ceros. Aquí hay uno en la base ocho:\(3000_{\text{eight}} \times 500_{\text{eight}} = 1700000_{\text{eight}}\).

    El Algoritmo de Productos Parciales utiliza el hecho anterior. Hacer el algoritmo de productos parciales es similar a como usamos la propiedad distributiva para multiplicar con los bloques (de vuelta en el ejercicio 22). Por ejemplo, para multiplicar, reescribe el problema así:

    \(\begin{aligned} & 346 \times 72 = (300 + 40 + 6) \times (70 + 2) \\ &= (300 + 40 + 6) \times 70 + (300 + 40 + 6) \times 2 \\ &= 300 \times 70 + 40 \times 70 + 6 \times 70 + 300 \times 2 + 40 \times 2 + 6 \times 2 \\ &= 21000 + 2800 + 420 + 600 + 80 + 12 \\ &= 24912 \end{aligned}\)

    Los productos parciales se muestran en la tercera línea en el ejemplo anterior. Ellos son:

    \(300 \times 70, 40 \times 70, 6 \times 70, 300 \times 2, 40 \times 2 \text{ and } 6 \times 2\)

    Es más fácil escribir esto en formato vertical. Voy a mostrar este problema de dos maneras. No importa qué productos parciales multipliques primero. La segunda forma en que se muestra es más similar a nuestro algoritmo estándar, donde comenzamos con el valor de la unidad del número inferior y finalmente trabajamos hasta los valores posicionales más grandes.

    \(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 21000 && (300 \times 70) \\ 2800 && (40 \times 70) \\ 420 && (6 \times 70) \\ 600 && (300 \times 2) \\ 80 && (40 \times 2) \\ \underline{12} && (6 \times 2) \\ 24912 \end{aligned}\) \(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 12 && (2 \times 6) \\ 80 && (2 \times 40) \\ 600 && (2 \times 300) \\ 420 && (70 \times 6) \\ 2800 && (70 \times 40) \\ \underline{21000} && (70 \times 300) \\ 24912 \end{aligned}\)

    A la izquierda están los tres primeros productos parciales\(346 \times 70\) y los tres segundos son los productos parciales\(346 \times 2\). A la derecha, los tres primeros productos parciales son\(2 \times 346\) y los segundos tres productos parciales son\(70 \times 346\).

    Nuestro algoritmo estándar es simplemente un acortamiento del algoritmo de productos parciales. No escribimos todos los ceros y nosotros haciendo el transporte involucrado con agregar más de un producto parcial a la vez en nuestra cabeza. Claro, es más corto, pero es más fácil cometer errores.

    \(\begin{aligned} 346 \\ \times \underline{ 72} \\ 692 && (2 \times 346) \\ \underline{24220} && (70 \times 346) \\ 24912 \end{aligned}\)

    Por lo general, simplemente nos movemos sobre un lugar a la izquierda para dar cuenta del cero en el lugar del uno y no escribimos el cero en 24220. Nosotros “pensamos” 7 veces 346.

    Ejercicio 28

    Para cada problema, escribe los productos parciales en un formato vertical para multiplicar los números juntos. Muestra tu trabajo, identificando la multiplicación por cada producto parcial como se muestra en el ejemplo en la parte inferior de la página anterior.

    a.\(\begin{aligned} 538 \\ \times \underline{34} \end{aligned}\) b.\(\begin{aligned} 257 \\ \times \underline{941} \end{aligned}\)

    Por último, voy a proporcionar algunos ejemplos de cómo se ve la multiplicación cuando se usa el algoritmo estándar para multiplicar números en diferentes bases. Tienes que acordarte de anotar el número y todos los acargas en la base en la que estás trabajando. Tendemos a poner siempre el numeral con más dígitos en la parte superior, pero esto no es necesario. Aquí hay tres formas de multiplicarse\(563_{\text{eight}} \times 24_{\text{eight}}\).

    NOTA IMPORTANTE:

    Cada numeral de abajo está en la base ocho, aunque el “ocho” no esté escrito en cada paso intermedio. Por ejemplo,\(4 \times 3\) en la primera multiplicación a continuación, se realiza en base 8; por lo tanto\(4 \times 3 = 14\).

    \(\begin{aligned} 563&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 24}&_{\text{eight}} \\ 2714 \\ \underline{13460} \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\) \(\begin{aligned} 24&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 563}&_{\text{eight}} \\ 74 \\ 1700 \\ \underline{14400} \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\) \(\begin{aligned} 563&_{\text{eight}} \\ \times \underline{ 24}&_{\text{eight}} \\ 14 && (4 \times 2) \\ 300 && (4 \times 60) \\ 2400 && (4 \times 500) \\ 60 && (20 \times 3) \\ 1400 && (20 \times 60) \\ \underline{12000} && (20 \times 500) \\ 16374&_{\text{eight}} \end{aligned}\)

    Multiplique los siguientes números juntos usando dos algoritmos diferentes (o cambiando el orden de los números como se muestra arriba). Muestra tu trabajo. No lo hagas convirtiendo cada número a base diez, multiplicándolos juntos, y luego convertirlos de nuevo a la base dada. Utilizar cada algoritmo al menos una vez; celosía, productos parciales, algoritmo estándar, usando los bloques con gráficos, usando la propiedad distributiva con o sin los bloques. Tienes muchas opciones, pero siempre ten en cuenta en qué base estás trabajando. Necesitas conocer todos los algoritmos para el examen así que asegúrate de probarlos todos. Bien, ¡que te diviertas!

    Ejercicio 29

    \(23_{\text{five}} \times 43_{\text{five}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 30

    \(612_{\text{seven}} \times 35_{\text{seven}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 31

    \(1011_{\text{two}} \times 1101_{\text{two}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 32

    \(2121_{\text{three}} \times 202_{\text{three}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 33

    \(4T1_{\text{tweleve}} \times 27_{\text{tweleve}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 34

    \(423_{text{six}} \times 145_{\text{six}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 35

    \(2212_{\text{three}} \times 210_{\text{three}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 36

    \(5421_{\text{six}} \times 44_{\text{six}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 37

    \(10110_{\text{two}} \times 1111_{\text{two}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 38

    \(E4T_{\text{twelve}} \times E2_{\text{twelve}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 39

    \(6661_{\text{eight}} \times 72_{\text{eight}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 40

    \(1212_{\text{four}} \times 302_{\text{four}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

    Ejercicio 41

    \(4234_{\text{five}} \times 244_{\text{five}}\)

    Primera forma: Segunda manera:

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