5.1: Operaciones y Propiedades

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Este conjunto de ejercicios está diseñado para darle una comprensión de lo que son las “operaciones binarias”, y para darle una comprensión más profunda de las propiedades conmutativas, asociativas y distributivas. Para ello, vamos a definir y trabajar con algunas operaciones sin sentido. Primero, necesitamos tener una buena comprensión de lo que es una operación. Las operaciones binarias con las que está familiarizado son suma, resta, multiplicación y división. Esto significa que estás realizando una regla usando dos números. Por ejemplo, sabemos qué hacer cuando vemos el signo más (+), el signo de resta (—), el signo de multiplicación ($\times$o$\bullet$) o el signo de división ($\div$) entre dos números. Hay una “regla” específica que aplicamos.

Supongamos que se le pidió que computara 5~~) (~~3. No sabrías qué hacer a menos que alguien te dijera qué~~) (~~significaba. Es como pedirle a alguien que nunca haya oído hablar de la adición, o que haya visto una señal de adición (+) que calme 5 + 3. Para hacer un cómputo, se debe definir la operación utilizada. Las operaciones que ya conoces son suma, multiplicación, resta y división. También sabes cómo calcular con exponentes, y cómo comparar números (<, = or >).

Empecemos definiendo qué~~) (~~significa. Esto es solo una operación maquillado que estamos definiendo para ser utilizada en este libro de trabajo, para que tengas una comprensión más profunda de las operaciones binarias. Realmente no existe una operación como la i en el mundo real.

Definir~~) (~~así: M~~) (~~N = 3M + 2N + 8.

Las variables que utilizo para definir esta operación binaria son arbitrarias. Podría usar cualquier letra o símbolo que quiera. O podría explicar cómo realizar la operación binaria~~) (~~, que es mucho más engorrosa.

Así es como podría explicar cómo calcular: Para calcular con~~) (~~, multiplicar el número antes del~~) (~~por 3 y agregar esto al doble del número después del~~) (~~, y luego agregar 8. Como puede ver, es más fácil “explicar” mediante el uso de variables. Aquí hay tres formas más que podría haber definido~~) (~~, sin cambiar el significado de~~) (~~.

a~~) (~~b = 3a + 2b + 8

b~~) (~~a = 3b + 2a + 8

x~~) (~~y = 3x + 2y + 8

Observe que en cada caso, uno multiplica el primer símbolo por 3, lo agrega al doble del segundo símbolo, ¡y luego agrega 8! Es la misma regla, pero elegí distintas variables para “explicar” la regla. Hay que prestar atención cuidadosa a cuál es el significado de la operación, y seguir exactamente la regla. Es como trabajar con funciones en álgebra.

Vamos a calcular y simplificar algunos problemas con~~) (~~:

5~~) (~~3 = 3 (5) + 2 (3) + 8 = 15 + 6 + 8 = 29

3~~) (~~5 = 3 (3) + 2 (5) + 8 = 9 + 10 + 8 = 27

r~~) (~~s = 3r + 2s + 8

La regla para la operación no depende necesariamente de ambas variables utilizadas, y de hecho, puede que no dependa de ninguna de ellas. En la siguiente página, se definen varias operaciones nuevas; algunos cálculos utilizan sólo una de las variables, algunos no usan ninguna. Supongamos que hay ocho nuevas operaciones binarias que se definen de la siguiente manera:

~~) (~~	a~~) (~~b = 3a + 2b + 8
*	a * b = a + 2b
,	a, b =$a^{2} + b^{2}$
!	a! b = 2 (Observe que la respuesta no depende de a o b)
$\oplus$	$a \oplus b$= 3ab
#	a # b = el valor más pequeño de a o b
@	a @ b = 2b (Observe que la respuesta no depende de a)
$\odot$	a$\odot$ b = 2a + 2b
$\boxed{\times}$	a$\boxed{\times}$$b = a^{2} + b$

Recuerda que a y b son solo variables “ficticias”. Cualquier variable podría haber sido utilizada para definir las funciones anteriores. La primera operación, *, podría haberse definido así: m * n = m + 2n. El significado de la definición es exactamente el mismo. Para aplicar la definición de * para obtener la respuesta, dice tomar el primer número y agregarlo al doble del segundo número.

Aquí hay varios ejemplos para que los estudies antes de pasar a la página siguiente

6~~) (~~7 = 3 (6) +2 (7) +8 = 18+14+8 = 40	2$\oplus$ 5 = 3 (2) (5) = 30
7~~) (~~6 = 3 (7) +2 (6) +8 = 21+12+8= 41	r$\oplus$ s = 3rs
4~~) (~~4 = 3 (4) +2 (4) +8 = 12+8+8 = 28	4 # 7 = 4
v~~) (~~z = 3v + 2z + 8	5 # 2 = 2
5 * 3 = 5 + 2 (3) = 5 + 6 = 11	7 #4 = 4
4 * 7 = 4 + 2 (7) = 4 + 14 = 18	c # d = el valor más pequeño de c o d
3 * 5 = 3 + 2 (5) = 3 + 10 = 13	5 @ 6 = 2 (6) = 12
v * z = z + 2z	7 @ 3 = 2 (3) = 6
5, 3 =$5^{2} + 3^{2} = 25 + 9 = 34$	6 @ 5 = 2 (5) = 10
4, 3 =$4^{2} + 3^{2}$ = 16 + 9 = 25	p @ q = 2q
3, 5 =$3^{2} + 5^{2}$ = 9 + 25 = 34	6$\odot$ 3 = 2 (6) + 2 (3) = 12 + 6 = 18
v, z =$v^{2} + z^{2}$	5$\odot$ 8 = 2 (5) + 2 (8) = 10 + 16 = 26
¡5! 3 = 2	3$\odot$ 6 = 2 (3) + 2 (6) = 6 + 12 = 18
¡8! 7 = 2	h$\odot$ k = 2h + 2k
(basura)! (cosas) = 2	4$\boxed{\times}$$7 = 4^{2}$ + 7 = 16 + 7 = 23
w! q = 2	6$\boxed{\times}$$9 = 6^{2}$ + 9 = 36 + 9 = 45
$5 \oplus 2 = 3(5)(2) = 30$	7$\boxed{\times}$$4 = 7^{2}$ + 4 = 49 + 4 = 53
$4 \oplus 7 = 3(4)(7) = 84$	z$\boxed{\times}$$n = z^{2} + n$

Ejercicio 1

Calculo lo siguiente. Mostrar todos los pasos. Si necesitas ayuda, mira los ejemplos de la página anterior

7~~) (~~6 = ______________________	4$\oplus$ 7 = _____________________
4~~) (~~4 = ______________________	2$\oplus$ 5 = _____________________
v~~) (~~z = ______________________	r$\oplus$ s = _____________________
5 * 3 = _____________________	4 # 7 = _____________________
4 * 7 = _____________________	5 # 2 = _____________________
3 * 5 = _____________________	7 # 4 = _____________________
v * z = _____________________	c # d = _____________________
5, 3 = _____________________	5 @ 6 = ____________________
4, 3 = _____________________	7 @ 3 = ____________________
3, 5 = _____________________	6 @ 5 = ____________________
v, z = ______________________	p @ q = ____________________
¡5! 3 = _____________________	6$\odot$ 3 = _____________________
¡8! 7 = _____________________	5$\odot$ 8 = ____________________
(basura)! (cosas) = _____________	3$\odot$ 6 = ____________________
w! q = ____________________	h$\odot$ k = ____________________
$5 \oplus 2$= _____________________	4$\boxed{\times}$ 7 = ____________________
	6$\boxed{\times}$ 9 = ____________________
	7$\boxed{\times}$ 4 = ____________________
	z$\boxed{\times}$ n = ____________________

Los problemas anteriores son los mismos ejemplos que se hicieron en la página anterior. Si necesitas ayuda, vuelve a mirar los ejemplos. No sigas hasta que puedas conseguirlos bien.

Ejercicio 2

Compute y simplifique lo siguiente. Mostrar todos los pasos.

a. 8 * 4

b. 4, 7

c. 79! 88

d. 7$\oplus$ 2

e. 6 # 4

f. 4 @ 9

g. 5$\odot$ 2

h. 6$\boxed{\times}$ 5

i. 2~~) (~~3

Una operación,$\blacklozenge$, es conmutativa si para dos valores cualesquiera, X e Y, X$\blacklozenge$ Y = Y$\blacklozenge$ X.

Nuevamente,$\blacklozenge$ es solo una operación “ficticio” y “X” e “Y” son variables ficticias. Para que una operación en particular sea conmutativa, la ecuación siempre debe ser verdadera sin importar qué valores se usen para X e Y.

Por ejemplo, la operación * es conmutativa solo si m * n = n * m siempre es verdadera sin importar qué valores se pongan para m o n.

Para demostrar que una operación no es conmutativa, todo lo que necesitas hacer es proporcionar un contraejemplo (con valores particulares) que demuestre que la ecuación no es cierta para al menos esos valores particulares. Para demostrar que una operación es conmutativa está más involucrada porque debes demostrar que siempre es verdad sin importar qué valores uses. Tendrías que cambiar el orden de los valores originales (a y b, o X e Y, etc.), y mostrar algebraicamente que ambas expresiones simplifican a lo mismo.

De mis ejemplos después de definir las operaciones y los problemas que trabajó en el ejercicio 2, debería quedar claro cuáles de las ocho operaciones no son conmutativas.

Dejemos que @ se defina de la siguiente manera: m @ n = 2n. ¿El @ es conmutativo?

Solución: Si @ es conmutativo, entonces m @ n = n @ m para todos los valores m y n.

Pero, 5 @ 6 = 12 y 6 @ 5 = 10.

Por lo tanto, @ no es conmutativo ya que 5 @ 6$\neq$ 6 @ 5.

Dejar y definirse de la siguiente manera: m & n = 2mn. ¿Es & conmutativo?

Solución: Si & es conmutativo, entonces m & n = n & m para todos los valores m y n Primero, probaría algunos números para a y b para ver si se me ocurre un contraejemplo. Por ejemplo, 5 y 6 = 2 (5) (6) = 60 y 6 y 5 = 2 (6) (5) = 60. Aquí no hay contraejemplo. Entonces, utilizo álgebra para probar que m & n = n & m. Dado que m & n = 2mn, y n & m = 2nm, la pregunta es: ¿2mn = 2nm? ¡Sí, lo hace! Dado que m & n = n & m para todos m y n, entonces & es conmutativo.

Ejercicio 3

Para cada operación listada, determinar si es conmutativa o no. Si no es conmutativo, da un contraejemplo, como hice para @. Si es conmutativo, demuestre que es conmutativo, como lo hice para & arriba. Comience cada problema indicando qué ecuación debe ser verdadera si la operación listada es conmutativa

a.! se define así: m! n = 2. Determinar si! es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si! es conmutativo: _____________

¡Es! ¿Conmutativo? ________. Si respondiste que sí, ¡prueba! es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

b.$\oplus$ Se define así: m$\oplus$ n = 3mn. Determinar si$\oplus$ es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\oplus$ es conmutativa: ______________

¿Es$\oplus$ conmutativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\oplus$ es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

c. # se define: m # n = el valor menor de m o n. Determinar si # es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si # es conmutativo: ______________

¿Es # conmutativo? ________. Si respondiste que sí, da un ejemplo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo

d.$\odot$ se define así: m$\odot$ n = 2m + 2n. Determinar si$\odot$ es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\odot$ es conmutativa:

¿Es$\odot$ conmutativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\odot$ es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

e.$\boxed{\times}$ se define así: m$\boxed{\times}$$n = m^{2} + n$. Determinar si$\boxed{\times}$ es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\boxed{\times}$ es conmutativa:

¿Es$\boxed{\times}$ conmutativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\boxed{\times}$ es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

f$m , n = m^{2} + n^{2}$. Determinar si o es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si, es conmutativa:

¿Es, conmutativo? ________. Si respondiste que sí, prueba, es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

g. m * n = m + 2n. Determinar si * es conmutativo.

Escribe la ecuación que debe ser verdadera si * es conmutativa:

¿Es * conmutativo? ________. Si contestaste sí, prueba que * es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

h. m~~) (~~n = 3m + 2n + 8. Determinar si~~) (~~es conmutativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si~~) (~~es conmutativa:

¿Es~~) (~~conmutativo? ________. Si contestaste sí, prueba~~) (~~es conmutativo. Si contestaste que no, da un contraejemplo para ilustrar que no es conmutativo.

Antes de pasar a determinar si una operación es asociativa o distributiva, debemos calcular algunos problemas más, que están un poco más involucrados. Asegúrate de seguir el orden de las operaciones mientras trabajas en estos siguientes problemas. Mira primero los ejemplos

Ejemplo 1:

$(2 \oplus 3) \oplus 4$

(primero hacer$2 \oplus 3) \quad 18 \oplus 4$

216

Ejemplo 2:

4, (3, 2)

(primero hacer 3, 2) 4, 13

185

Ejercicio 4

Simplifica cada uno de los siguientes. Hacer el orden de las operaciones (hacer lo que está entre paréntesis primero) y mostrar cada paso.

a. (3 * 5) * 2	b. (3 @ 5) @ 2	c. (¡3! 5)! 7
d. (3$\oplus$ 4)$\oplus$ 2	e. (3$\odot$ 5)$\odot$ 2	f. (3$\boxed{\times}$ 2)$\boxed{\times}$ 4

Ejercicio 5

Calcular lo siguiente, utilizando las definiciones para las operaciones como se muestra arriba. Tenga en cuenta que más de una operación está en algunos de los problemas. Al simplificar, use el orden de las operaciones (haga primero lo que está entre paréntesis) y muestre cada paso.

a. 3$\oplus$ (5$\oplus$ 2)	b. 3$\odot$ (5$\odot$ 2)	c. 3$\boxed{\times}$ (4$\boxed{\times}$ 2)
d. 8 # (9 # 6)	e. (8 # 9) # 6	f. (4, 3), 2
g. 2 @ (3 # 4)	h. (2 @ 3) #4	i. (1$\odot$ 5) # 40

Una operación,$\blacklozenge$, es asociativa si (X$\blacklozenge$ Y)$\blacklozenge$ Z = X$\blacklozenge$ (Y$\blacklozenge$ Z) para valores de X, Y y Z.

Nuevamente,$\blacklozenge$ es solo una operación “ficticio” y “X” e “Y” y “Z” son variables ficticias. Para que una operación en particular sea asociativa, la ecuación siempre debe ser verdadera sin importar qué valores se usen para X, Y y Z.

Por ejemplo, la operación * es asociativa solo si (v * w) * x = v * (w * x) siempre es verdadera sin importar qué valores se pongan para v, w o x.

Para demostrar que una operación no es asociativa, todo lo que necesitas hacer es proporcionar un contraejemplo (usando números reales) que muestre que la ecuación no es cierta para al menos esos números en particular. Para demostrar que una operación es asociativa está más involucrada porque debes demostrar que siempre es verdad sin importar qué valores uses. Tendrías que cambiar los paréntesis, y mostrar algebraicamente que ambas expresiones siempre simplifican a lo mismo.

Ejemplo

Dejemos que @ se defina de la siguiente manera: m @ n = 2n. ¿@ es asociativo?

Si @ es asociativo, entonces (a @ b) @ c = a @ (b @ c) para todos los valores a, b y c. Primero, probaría algunos números para a, b y c para ver si podría llegar a un contraejemplo: (2 @ 3) @ 4 = 6 @ 4 = 8, y 2 @ (3 @ 4) = 2 @ 8 = 16. Esto muestra que @ no es asociativo y nos proporciona un contraejemplo: Ya que$(2 @ 3) @ 4 \neq 2 @ (3 @ 4)$, @ no es asociativo.

Ejemplo

Dejar y definirse de la siguiente manera: m & n = 2mn. ¿Es & asociativo?

Si & es asociativo, entonces (a & b) & c = a & (b & c) para todos los valores a, b y c. Primero, probaría algunos números para a, b y c para ver si podría llegar a un contraejemplo: (2 & 3) & 4 = 12 & 4 = 96, y 2 & (3 & 4) = 2 & 24 = 96. Aquí no hay contraejemplo. Podría querer probar otro ejemplo con números, o puedo ir directamente a usar álgebra para ver si puedo probar que siempre es cierto que (a & b) & c = a & (b & c). Primero, necesitamos simplificar el lado izquierdo: (a & b) & c = 2ab & c = 4abc. Ahora, tenemos que simplificar el lado derecho: a & (b & c) =a &2bc = 4abc. Desde (a &b) & c = a & (b & c), entonces & es asociativo.

Ejercicio 6

Para cada operación listada, determine si es asociativa o no. Si no es asociativo, da un contraejemplo, como hice para @ y~~) (~~. Si es asociativo, demuestre que es asociativo, como lo hice para & arriba. Comience cada problema indicando la ecuación general que es verdadera si la operación listada es asociativa.

a.! se define así: m! n = 2. Determinar si q es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si! es asociativo:

¡Es! ¿asociativo? ________. Si respondiste que sí, ¡prueba! es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo

b.$\oplus$ Se define así: m$\oplus$ n = 3mn. Determinar si$\oplus$ es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\oplus$ es asociativa:

¿Es$\oplus$ asociativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\oplus$ es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

c. m # n = el valor menor de m o n. Determina si # es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si # es asociativo:

¿El # es asociativo? ________. Si respondiste que sí, da un ejemplo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

d.$\odot$ se define así: m$\odot$ n = 2m + 2n. Determinar si$\odot$ es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\odot$ es asociativa:

¿Es$\odot$ asociativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\odot$ es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

e.$\boxed{\times}$ se define así: m$\boxed{\times}$$n = m^{2} + n$. Determinar si$\boxed{\times}$ es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si$\boxed{\times}$ es asociativa:

¿Es$\boxed{\times}$ asociativo? ________. Si respondiste que sí, probar$\boxed{\times}$ es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

f. m,$n = m^{2} + n^{2}$. Determinar si, es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si, es asociativa:

¿Es, asociativo? ________. Si respondiste que sí, prueba, es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

g. a * b = a + 2b. Determinar si * es asociativo.

Escribe la ecuación general que es verdadera si * es asociativo:

¿Es * asociativo? ________. Si contestaste sí, prueba que * es asociativo. Si contestaste que no, proporciona un contraejemplo para ilustrar que no es asociativo.

Una operación,$\blacklozenge$, distribuye sobre otra operación,$\phi$ si para cualquier valor de X, Y y Z:

X$\blacklozenge$ (Y$\phi$ Z) = (X$\blacklozenge$ Y)$\phi$ (X$\blacklozenge$ Z). Esta es una Propiedad Distributiva Izquierda, porque el símbolo de la IZQUIERDA (en este caso una X) se está distribuyendo entre paréntesis a la derecha. La Propiedad Distributiva Derecha establece: Una operación,$\blacklozenge$, distribuye sobre

otra operación,$\phi$ si para cualquier valor de X, Y y Z: (Y$\phi$ Z)$\blacklozenge$ X = (Y$\blacklozenge$ X)$\phi$ (Z$\blacklozenge$ X).

A menos que se indique lo contrario, asuma que la propiedad distributiva se refiere a la Propiedad Distributiva Izquierda.

Recuerda que$\blacklozenge$ y$\phi$ son solo operaciones “ficticias” y “X” e “Y” y “Z” son variables ficticias. Para que una operación particular sea distributiva sobre otra operación, la ecuación

siempre debe ser cierto sin importar qué valores o variables se utilicen para X, Y y Z.

Por ejemplo, la operación * distribuye sobre + solo si v * (w + x) = (v * w) + (v * x) siempre es verdadera sin importar qué valor pongas para v, w y x.

Para demostrar que una operación no distribuye sobre otra operación, solo necesita proporcionar un contraejemplo (usando números reales) que muestre que la ecuación no es cierta para al menos esos números en particular. Para probar que una operación hace distribuir sobre otra operación está más involucrada porque debes demostrar que siempre es cierto sin importar qué valores uses. Primero tendrías que trabajar el lado izquierdo de la ecuación (usando el orden de las operaciones, simplificando primero entre paréntesis), y luego trabajar el lado derecho de la ecuación (usando el orden de las operaciones simplificando primero entre paréntesis), y finalmente necesitarías mostrar algebraicamente que ambos las expresiones siempre simplifican a lo mismo.

Ejercicio 7

Sea definido @ de la siguiente manera: m @ n = 2n. Vamos a determinar si @ distribuye sobre la suma. Escribe la ecuación que sería verdadera si @ se distribuyera sobre suma:

Te ayudaré con el resto de la solución. Si @ distribuye sobre suma, entonces a @ (b + c) = (a @ b) + (a @ c) para todos los valores a, b y c. Primero, probaría algunos números en para a, b y c para ver si podría llegar a un contraejemplo: 5 @ (3 + 4) = 5 @ 7 = 14 y (5 @ 3) + (5 @ 4) = 6 + 8 = 14. Aquí no hay contraejemplo. Puedo probar otro ejemplo con números o intentar probarlo algebraicamente. Primero, simplifica el lado izquierdo usando la definición de @: a @ (b + c) = 2 (b + c) = 2b + 2c. Ahora para simplificar el lado derecho: (a @ b) + (a @ c) = 2b + 2c. Dado que ambas expresiones equivalen a lo mismo (2a + 2b), a @ (b + c) = (a @ b) + (a @ c), y por lo tanto, decimos que SÍ, @ distribuye sobre suma.

Ejercicio 8

Sea definido @ de la siguiente manera: m @ n = 2n. Vamos a determinar si suma distribuye sobre @. Escribe la ecuación que es verdadera si la suma distribuye sobre @:

Te ayudaré con el resto de la solución. Si suma distribuye sobre @, entonces a + (b @ c) = (a + b) @ (a + c) para todos los valores a, b y c. Primero, probaría algunos números en para a, b y c para ver si podría llegar a un contraejemplo: 5 + (3 @ 4) = 5 + 8 = 13 y (5 + 3) @ (5 + 4) = 8 @ 9 = 18. Esto demuestra que la adición no distribuye sobre @ y nos proporciona un contraejemplo.
Ya que$5 + (3 @ 4) \neq (5 + 3) @ (5 + 4)$, adición no distribuye sobre @.

Ejercicio 9

Let & be defined by: m & n = 2mn y let $ be defined by: m $$n = m^{2}$. Vamos a determinar si & distribuye más de $ o si $ distribuye sobre &. Primero, determinemos si & distribuye más de $.

a. Escribe la ecuación que sería verdadera si & distribuido sobre $:

Te ayudaré con el resto de la solución. Si & distribuye sobre $, entonces esta ecuación es verdadera: a & (b $ c) = (a & b) $ (a & c). Vamos a calcular cada lado de la ecuación poniendo algunos valores para a, b y c para ver si encontramos un contraejemplo. Veremos si 2 & (3$ 4) y (2 y 3) $ (2 y 4) son iguales. Ya que 2 & (3$ 4) = 2 & 9 = 36, y
(2 & 3) $ (2 & 4) = 12$ 16 = 144, la ecuación no es cierta y tenemos un contraejemplo. Por lo tanto, & no distribuye más de $.

A continuación, determinaremos si $ distribuye sobre &.

b. Escribe la ecuación que es verdadera si $ distribuye sobre &:

Te ayudaré con el resto de la solución. Si $ distribuye sobre &, entonces esta ecuación es verdadera para todos los valores de a, b y c: a $ (b & c) = (a $ b) & (a $ c). Vamos a calcular cada lado de la ecuación poniendo algunos valores para a, b y c para ver si encontramos un contraejemplo. Veamos si 2$ (3 y 4) y (2$ 3) y (2$ 4) son iguales. Desde 2$ (3 y 4) = 2$ 24 = 4, y (2$ 3) & (2$ 4) = 4 & 4 = 32, la ecuación no es cierta (ya que$4 \neq 32$) y tenemos un contraejemplo. Por lo tanto, $ no distribuye sobre &.

Ejercicio 10

¡Vamos! y$\oplus$ definirse de la siguiente manera: ¡a! b = 2 y$a \oplus b$ = 3ab.

a. Escribe la ecuación general que es verdadera si! distribuye sobre$\oplus$.

b. ¡Lo hace! distribuir sobre$\oplus$? _________

c. ¡Si! reparte$\oplus$, demuéstralo. De lo contrario, ¡da un contraejemplo para ilustrar eso! no distribuye sobre$\oplus$.

Continuación del ejercicio 10 donde un! b = 2 y a$\oplus$ b = 3ab.

d. Escribe la ecuación general que sea verdadera si$\oplus$ distribuye sobre!.

e. ¡$\oplus$Distribuye sobre! ? __________

f. ¡Si$\oplus$ distribuye sobre! , demuéstralo. De lo contrario, proporcionar un contraejemplo para ilustrar que$\oplus$ no distribuye sobre!.

Ejercicio 11

Escribe la ecuación general que sea verdadera si la suma distribuye sobre la multiplicación.
¿La suma distribuye sobre la multiplicación? _________
Si la suma distribuye sobre la multiplicación, demuéstralo. De lo contrario, proporcione un contraejemplo para ilustrar que la adición no distribuye sobre la multiplicación.

Ejercicio 12

Escribe la ecuación general que sea verdadera si la multiplicación distribuye sobre la resta.
¿La multiplicación distribuye sobre la resta? _________
Si la multiplicación distribuye sobre la resta, demuéstralo. De lo contrario, proporcione un contraejemplo para ilustrar que la multiplicación no distribuye sobre la resta.

Ejercicio 13

Dejar, y @ definirse de la siguiente manera: a,$b = a^{2} + b^{2}$ y a @ b = 2b

Escribe la ecuación general que es verdadera si, distribuye sobre @.
¿Distribuye más de @? __________
Si, distribuye sobre @, demuéstralo. De lo contrario, proporcionar un contraejemplo para ilustrar que, no distribuye sobre @.
Escribe la ecuación general que es verdadera si @ distribuye sobre,.
¿@ distribuye sobre,? __________
Si @ distribuye sobre,, probarlo. De lo contrario, proporcionar un contraejemplo para ilustrar que @ no distribuye sobre,.

Ejercicio 14

Conformar y definir dos nuevas operaciones.
Escribe una ecuación general que sea verdadera si una operación distribuye sobre la otra.
Determine si la propiedad distributiva se mantiene para sus operaciones probándola o proporcionando un contraejemplo que ilustre la ecuación en la parte b no es cierto.

Ejercicio 15

Definir$\oint$ y de la$\boxed{\wedge}$ siguiente manera: m$\oint$ n = 2m + 3n y m$\boxed{\wedge}$ n = mn + 2

a. Exponer la ecuación que es verdadera si$\oint$ es conmutativa:

¿Es$\oint$ conmutativo?