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7.1: El significado de la división

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    Necesitarás: Tiras Centémetros (Tarjetas de Material 16A-16L) y Bloques Base (Tarjetas de Material 3 - 15)

    En estos primeros ejercicios, estarás usando tiras en C para explorar la división.

    Ejercicio 1

    En este primer ejercicio, dividiremos\(H \div Y\). H, la parte anterior al signo de división, se llama DIVIDENDO, e Y, la parte posterior al signo de división, se llama DIVISOR. Una forma de hacer esta división es encontrar el número máximo de veces que el divisor (Y) puede restarse del dividendo (H). Saque una tira en C de color rosa intenso (H). Para averiguar cuántas tiras en C amarillas podrían restarse, haga un tren que consista en tantas tiras en C amarillas (Y) como sea posible de tal manera que el tren que hagas sea más corto o igual a la longitud de H, y si agregaras una tira en C amarilla más, el tren sería más largo que la tira en c rosa intenso.

    a. ¿Cuántas tiras en C amarillas usaste? ______

    A este número se le llama el COCIENTE.

    El cociente es el número máximo de veces que el divisor puede restarse del dividendo.

    b. Si el tren que hiciste es más corto que H, ¿qué color de tira C
    podrías agregar a ese tren para que sea igual en longitud a la tira en C rosa intenso? ______

    Esta pieza, que debe ser más corta que el divisor, se llama RESTANDO.

    Pon la tira rosa fuerte junto al tren que formaste. Debería verse así:

    Screen Shot 2021-05-30 a las 2.38.27 PM.png

    Para calcular\(H \div Y\), necesitamos averiguar qué va en los espacios en blanco para hacer que la ecuación en la parte c, abajo, sea verdadera. La primera pieza en blanco debe contener la tira C más grande posible que haga que la ecuación sea verdadera, y la segunda pieza en blanco debe ser más corta que la tira en C amarilla. Hicimos un tren de amarillos, con como máximo una pieza extra para formar la longitud de H. Observe que este es un tren de amarillos (que se puede conformar en un rectángulo) más una pieza extra. Forma las dos tiras amarillas en un rectángulo y encuentra la tira en C que cruza el ancho. Esa tira en C va en la primera pieza en blanco, y la pieza extra (R) va en la segunda pieza en blanco. Rellene los espacios en blanco de la siguiente ecuación. Esta ecuación debería tener sentido al mirar la imagen de arriba que muestra H y el tren son de la misma longitud.

    c. H = ____\(\cdots Y\) + ____

    El COCIENTE está en negrita, y el RESTANDO está subrayado.

    Ahora podemos concluir que:\(H \div Y\) =\(\mathbf{R}\) resto\(\underline{R}\), ya que\(H = \mathbf{R} \cdots Y\) +\(\underline{R}\)

    Esto se puede escribir como una declaración sobre los números traduciendo cada tira c a un número.

    Usando números en la ecuación anterior,\(12 \div 5\) =\(\mathbf{2}\) resto\(\underline{2}\), ya que 12 =\(\mathbf{2} \cdots 5\) +\(\underline{2}\)

    Ejercicio 2

    Para a - e, haz la división usando las tiras c para hacer un tren de tantos de los divisor como sea posible de tal manera que la longitud del tren que hagas sea menor o igual a la longitud del dividendo, y si tuvieras que agregar uno más del divisor al tren, sería más largo que el dividendo. Si el tren termina siendo de la misma longitud que el dividendo, no habrá resto y el segundo en blanco estará vacío. Dibuja un diagrama que muestre la tira c que es el dividendo y debajo de ella, dibuja el tren que formaste. Haz esto de la misma manera que lo hicimos para el ejercicio 1. Sigue el ejemplo a continuación.

    Ejemplo:\(H \div Y\)

    \(H \div Y\)=\(\mathbf{R}\) resto\(\underline{R}\), ya que H =\(\mathbf{R}\)\(\cdots\) Y +\(\underline{R}\)

    \(12 \div 5\)=\(\mathbf{2}\) resto\(\underline{2}\), ya que 12 =\(\mathbf{2}\)\(\cdots\) 5 +\(\underline{2}\)

    Mostrar diagrama a continuación:

    Screen Shot 2021-05-31 at 5.08.57 PM.png

    a.\(B \div R:\)

    \( B \div R\)= __ resto __ ya que B = __\(\cdots\) R + __

    __\(\div\) __ = __ resto __ ya que __ = __\(\cdots\) __ + __

    Mostrar diagrama a continuación:

    b. S\(\div\) L:

    S\(\div\) L = __ resto __ ya que S = __\(\cdots\) L + __

    __\(\div\) __ = __ resto __ ya que __ = __\(\cdots\) __ + __

    Mostrar diagrama a continuación:

    c.\(N \div P:\)

    \( N \div P\)= __ resto __ ya que N = __\(\cdots\) P + __

    __\(\div\) __ = __ resto __ ya que __ = __\(\cdots\) __ + __

    Mostrar diagrama a continuación:

    d.\(K \div P:\)

    \( K \div P\)= __ resto __ ya que K = __\(\cdots\) P + __

    __\(\div\) __ = __ resto __ ya que __ = __\(\cdots\) __ + __

    Mostrar diagrama a continuación:

    e.\(D \div L:\)

    \( D \div L\)= __ resto __ desde D = __\(\cdots\) L + __

    __\(\div\) __ = __ resto __ ya que __ = __\(\cdots\) __ + __

    Mostrar diagrama a continuación:

    Ejercicio 3

    Cuenta 36 bloques de unidades. ¿Cómo dividirías las 36 cuadras por 2? Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste. ¿Cuál es la respuesta?

    Ejercicio 4

    Saca tu base cuatro cuadras ahora y comercia 36 unidades por un número en la base cuatro.

    a. Escribe 36 como un número base cuatro: _____________

    Decide cómo dividir esto por 2 usando cuatro bloques base.

    b. Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste.

    c. ¿Cuál es la respuesta en la base cuatro? _________

    d. Escriba el problema de división y el cociente (respuesta) en la base cuatro: ____________\( \div 2_{\text{four}}\) = ____________

    Ejercicio 5

    Saca tu base tres cuadras ahora y comercia 36 unidades por un número en la base tres.

    a. Escribe 36 como un número base tres: _____________

    Decide cómo dividir esto por 2 usando tres bloques base.

    b. Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste.

    c. ¿Cuál es la respuesta en la base tres? _________

    d. Escriba el problema de división y el cociente (respuesta) en la base tres: ____________\( \div 2_{\text{three}}\) = ____________

    Ejercicio 6

    Cuenta 36 bloques de unidades. ¿Cómo dividirías las 36 cuadras por 3? Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste. ¿Cuál es la respuesta?

    Ejercicio 7

    Saca tu base cuatro cuadras ahora y comercia 36 unidades por un número en la base cuatro.

    a. Escribe 36 como un número base cuatro: _____________

    Decide cómo dividir esto por 3 usando cuatro bloques base.

    b. Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste.

    c. ¿Cuál es la respuesta en la base cuatro? _________

    d. Escriba el problema de división y el cociente (respuesta) en la base cuatro: ____________\( \div 3_{\text{four}}\) = ____________

    Ejercicio 8

    Cuenta 48 bloques de unidades. ¿Cómo dividirías las 48 cuadras por 16? Explica cómo lo harías y muestra una imagen de lo que hiciste. ¿Cuál es la respuesta?

    Hay dos formas básicas de pensar sobre la división. Los problemas de dos palabras a continuación ambos requieren la división\(18 \div 3\), pero los problemas son realmente bastante diferentes.

    Problema A de la Palabra:

    Si tienes 18 galletas y quieres dividir las galletas por igual entre tus tres hijos, ¿cuántas galletas deberías darle a cada niño?

    Problema de palabras B:

    Si tienes 18 galletas y quieres hacer bolsitas teniendo tres galletas en cada una para poner en loncheras, ¿cuántas bolsitas podrás hacer?

    Ambos requieren el problema de división\(18 \div 3\), y la respuesta a cada problema es 6. Pero el panorama utilizado para resolver cada uno es muy diferente.

    En Word Problem A, se le dice cuántos niños hay, y se le pide que avergüence cuántas cookies se le debe dar a cada niño. Imagina 3 niños frente a ti. Necesitas desembolsar las cookies entre los 3 niños para que cada uno reciba el mismo número de cookies. Para comenzar, podrías dibujar un modelo para representar a tres niños. Podría verse algo como esto:

    Screen Shot 2021-05-31 at 5.53.28 PM.png

    Sabes que hay 3 niños y a cada uno se le dará el mismo número de cookies para que el número total de cookies que todos tienen sea 18. Después de desembolsar, podrías mostrar la imagen así:

    Screen Shot 2021-05-31 at 5.53.48 PM.png

    Esta es una forma de ilustrar que cada uno de los 3 niños tiene 6 galletas. Si lo prefieres, en realidad puedes dibujar 6 puntos o 6 galletas en cada círculo. Depende de ti.

    Tenga en cuenta que si nos fijamos en el modelo dibujado, es simplemente el problema de multiplicación 3\(\cdots\) 6, ya que hay 3 juegos de 6 agregados juntos. La interpretación de la división Palabra Problema A representa se llama:

    Particionar en subconjuntos (iguales)

    En esta interpretación, el divisor es el número de subconjuntos en los que desembolsar algo. El dividendo, 18, debe dividirse entre 3 subconjuntos iguales (3 es el divisor). El cociente (respuesta al problema de división) será el número de elementos (6) colocados en cada subconjunto (los niños, en este caso). La tarea es particionar 18 cookies en 3 subconjuntos iguales. En esta interpretación, se te da cuántos subconjuntos hay (de leer el problema en este caso, cada niño representa un subconjunto), pero no cuántos hay en cada subconjunto (esa es la pregunta que se hace en este caso, cuántas cookies debe recibir cada niño). Haces la división para averiguar cuántos elementos terminarán en cada subconjunto. Después de hacer la división, el número de elementos EN cada subconjunto es la respuesta al problema.

    Una manera de distinguir que un problema está sugiriendo esta interpretación es considerar si la información en el problema le proporciona el número de subconjuntos. Si lo hace, como en Word Problema A, entonces es la partición en la interpretación de subconjuntos iguales.

    Bien, veamos el Problema de Word B ahora.

    Problema de palabras B:

    Si tienes 18 galletas y quieres hacer bolsitas teniendo tres galletas en cada una para después ponerlas en loncheras, ¿cuántas bolsitas podrás hacer?

    En Word Problem B, no se sabe cuántos subconjuntos habrá. De hecho, se le está preguntando cuántos subconjuntos podrá hacer, por lo que no se aplicaría la interpretación de particionar en subconjuntos.

    Lo que sabes es cuántos de algo habrá en cada subconjunto. Colocarías tres galletas en una bolsita, luego 3 más en otra bolsita, y así sucesivamente. No sabrás cuántos subconjuntos tendrás hasta que termines de desembolsar las cookies. Te llevabas tres galletas a la vez y las metías en una bolsita, hasta que te quedaste sin galletas. Después de hacer esto, una imagen que podrías dibujar para ilustrar este procedimiento podría verse así:

    Screen Shot 2021-05-31 at 6.07.02 PM.png

    Nuevamente, si prefieres mostrar tres puntos en cada círculo, a diferencia de solo escribir el numeral 3, en cada círculo, eso está perfectamente bien. De cualquier manera, debe quedar claro del dibujo qué procedimiento se utilizó.

    Después de desembolsar todas las galletas, contarías hasta cuántas bolsitas pudiste hacer, y eso te daría la respuesta. Tenga en cuenta que la respuesta es 6, en este caso. El modelo mostrado representa la multiplicación\(6 \cdots 3\), ya que hay 6 bolsitas de 3 galletas cada una.

    La interpretación de la división Palabra Problema B representa se llama:

    Resta repetida

    En esta interpretación, el divisor es el número de elementos que irán dentro de cada subconjunto. Cada vez que se resta el divisor (3) del dividendo (18), se forma un subconjunto. Después de que se hayan desembolsado todos los elementos, el cociente (respuesta) se encuentra contando cuántos subconjuntos se formaron. Esta interpretación se usa cuando se le da cuántos elementos hay en cada subconjunto, y se está tratando de averiguar cuántos subconjuntos se pueden hacer (esa es la pregunta que se hace). Usted hace la división (usando resta repetida) para averiguar cuántos subconjuntos se pueden hacer. Después de hacer la división, el número de subconjuntos que hiciste es la respuesta al problema.

    Una forma de distinguir que un problema está sugiriendo esta interpretación es considerar si la información del problema le proporciona cuántos elementos entran en un subconjunto. Si es así, como en Word Problem B, entonces es la interpretación repetida de la resta.

    Los problemas de palabras que requieren división generalmente caen dentro de la categoría de resta repetida o partición en subconjuntos. Después de leer un problema de palabras, deberías poder analizarlo e interpretarlo como un problema que requiere Particionar en subconjuntos o resta repetida para resolver el problema, y luego poder dibujar una imagen usando esa interpretación. Además, para cualquier problema de división dado, debe ser capaz de escribir dos problemas de palabras distintas, uno para cada interpretación, y dibujar una imagen para cada interpretación, y poder explicar y mostrar todos los pasos necesarios para resolver el problema.

    Ejercicio 9

    Terry quería dividir 100 canicas entre sus tres mejores amigos y él mismo. ¿Cuántas canicas obtendría cada una de ellas?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.
    5. Escribe el problema de multiplicación que muestra la imagen:
    6. Explica cómo usas la imagen para encontrar la respuesta al problema. Ser específico.
    7. ¿Cuál es la respuesta a este problema? ______

    Ejercicio 10

    Jordan hizo 80 onzas de jello, y quiso ponerlas en contenedores de 8 onzas. ¿Cuántos contenedores puede llenar?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.
    5. Escribe el problema de multiplicación que muestra la imagen:
    6. Explica cómo usas la imagen para encontrar la respuesta al problema. Ser específico.
    7. ¿Cuál es la respuesta a este problema? ______

    Ejercicio 11

    Angie tenía 144 páginas de papel en blanco. Estaba haciendo copias de un cuento de 16 páginas que escribió para enviar a revistas. ¿Cuántas copias completas podría hacer?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.
    5. Escribe el problema de multiplicación que muestra la imagen:
    6. Explica cómo usas la imagen para encontrar la respuesta al problema. Ser específico.
    7. ¿Cuál es la respuesta a este problema? ______

    Ejercicio 12

    Un grupo de cuatro amigos juntó su dinero para algunos boletos de lotería y ganó $500. ¿Cuánto recibe cada persona de las ganancias?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.

    Ejercicio 13

    Sheila quería hacer tantos pasteles de una receta que requiriera 1\(\frac{1}{3}\) tazas de harina por cada pastel. Tomó 8 tazas de harina. ¿Cuántos pasteles podría hacer?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.
    5. Escribe el problema de multiplicación que muestra la imagen:
    6. Explica cómo usas la imagen para encontrar la respuesta al problema. Ser específico.
    7. ¿Cuál es la respuesta a este problema? ______

    Ejercicio 14

    Tom ganó 65 pelotas de béisbol y decidió dividirlas equitativamente entre los 13 chicos de su equipo de béisbol. ¿Cuántas pelusas recibirá cada niño?

    1. ¿Qué problema de división necesitas hacer para encontrar la respuesta?
    2. ¿Qué interpretación de división representa esta palabra problema?
    3. Explique cómo utilizar la interpretación correcta para dibujar una imagen y encontrar la respuesta.
    4. Dibuja un dibujo usando la interpretación correcta para ayudar a encontrar la respuesta.
    5. Escribe el problema de multiplicación que muestra la imagen:
    6. Explica cómo usas la imagen para encontrar la respuesta al problema. Ser específico.
    7. ¿Cuál es la respuesta a este problema? ______

    Si no se le presenta un problema de palabras, sino que simplemente se le da un problema de división, puede utilizar cualquiera de las dos interpretaciones para pensar y resolver el problema. Muchas veces, es más fácil usar una interpretación sobre otra, sobre todo si necesitas dibujar un cuadro para mostrar cómo resolviste el problema.

    Considera el siguiente problema de división:\(26 \div 2\). Digamos que los 26 representaron 2 centavos. ¿Sería más fácil dividir 26 centavos en 2 pilas y contar cuántos hay en cada pila; o sería más fácil hacer varios subconjuntos iguales que contengan 2 centavos cada uno de los 26 centavos, y luego contar cuántos subconjuntos hay? El cuadro que dibujas para representar cada interpretación es bastante diferente. Mira la diferencia:

    Screen Shot 2021-05-31 a las 6.19.10 PM.png

    Se muestra un pictu re usando la interpretación Particionado en Subconjuntos:

    A continuación se muestra una imagen que utiliza la interpretación de la resta repetida:

    Screen Shot 2021-05-31 at 6.22.40 PM.png

    Ejercicio 15

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\(\bf 48 \div 12\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil de usar.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(48 \div 12\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Dibuja un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos:
    5. La multiplicación para la imagen mostrada en la parte d es: ____________________
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(48 \div 12\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Haz un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida:
    8. La multiplicación para la imagen mostrada en la parte g es: ____________________

    Ejercicio 16

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\(\bf 200 \div 4\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil para resolver este problema de división. Contraste con la otra interpretación.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(200 \div 4\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Dibuja un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos:
    5. La multiplicación para la imagen usando Particionado en Subconjuntos es: ________
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(200 \div 4\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Explica lo que tendrías que hacer si tuvieras que dibujar un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida. En realidad, no dibuje el cuadro — solo explique.
    8. La multiplicación para una imagen usando la resta repetida sería:

    Ejercicio 17

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\( 150 \div 50\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil para resolver este problema de división. Contraste con la otra interpretación.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(150 \div 50\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Explica lo que tendrías que hacer si tuvieras que dibujar una imagen para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos. En realidad no dibujes el cuadro — ¡solo explícalo!
    5. La multiplicación para una imagen usando Particionamiento en Subconjuntos sería: ____
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(150 \div 50\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Haz un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida:
    8. La multiplicación para la imagen usando la resta repetida es: ___________

    Ejercicio 18

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\(\bf 140 \div 35\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil para resolver este problema de división. Contraste con la otra interpretación.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(140 \div 35\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Explica lo que tendrías que hacer si tuvieras que dibujar una imagen para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos. En realidad no dibujes el cuadro — ¡solo explícalo!
    5. La multiplicación para una imagen usando Particionamiento en Subconjuntos sería: ____
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(140 \div 35\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Haz un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida:
    8. La multiplicación para la imagen usando la resta repetida es:

    Ejercicio 19

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\(\bf 95 \div 5\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil para resolver este problema de división. Contraste con la otra interpretación.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(95 \div 5\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Dibuja un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos:
    5. La multiplicación para la imagen usando Particionado en Subconjuntos es: ________
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(95 \div 5\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Explica lo que tendrías que hacer si tuvieras que dibujar un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida. En realidad no dibujes el cuadro — ¡solo explícalo!
    8. La multiplicación para una imagen usando la resta repetida sería: ______

    Ejercicio 20

    Para las partes a - h de este ejercicio, considere el problema de división:\(\bf 800 \div 160\).

    1. ¿Qué interpretación crees que sería más fácil de usar si necesitabas dibujar un cuadro?
    2. Explique por qué la interpretación que eligió en parte a sería más fácil para resolver este problema de división. Contraste con la otra interpretación.
    3. Conformar un problema verbal que requiera la división\(800 \div 160\), de tal manera que se utilice la interpretación del particionamiento en subconjuntos. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    4. Explica lo que tendrías que hacer si tuvieras que dibujar una imagen para resolver tu problema usando la interpretación Particionado en Subconjuntos. En realidad no dibujes el cuadro — ¡solo explícalo!
    5. La multiplicación para una imagen usando Particionamiento en Subconjuntos sería: ____
    6. Formar un problema verbal que requiera la división\(800 \div 160\), de tal manera que se utilice la interpretación de resta repetida. ¡Asegúrate de que tu problema haga una pregunta!
    7. Haz un dibujo para resolver tu problema usando la interpretación de la resta repetida:
    8. La multiplicación para la imagen usando la resta repetida es:

    Ejercicio 21

    Para cada problema de división, se muestra una imagen. Con base en el cuadro, indicar qué interpretación de división se utilizó.

    a. 84 + 21

    Interpretación: _______

    Screen Shot 2021-05-31 at 6.56.46 PM.png

    b. 85 + 5

    Interpretación: _______

    Screen Shot 2021-05-31 a las 7.00.11 PM.png

    c. 30 + 5

    Interpretación: _______

    Screen Shot 2021-05-31 at 7.01.23 PM.png

    d. 30 + 6

    Interpretación: _______

    Screen Shot 2021-05-31 at 7.01.23 PM.png

    Ejercicio 22

    Para cada imagen, se utilizó una interpretación particular de la división para resolver un problema de división. A partir de la interpretación y la imagen, decidir cuál era el problema de división original, y rodear la correcta de las dos opciones dadas.

    a. Sustracción repetida

    Screen Shot 2021-06-01 a las 12.26.22 AM.png

    Circular el problema de división correcta: 56 + 8 o 56 + 7

    a. Sustracción repetida

    Screen Shot 2021-06-01 a las 12.26.42 AM.png

    Circular el problema de división correcta: 56 + 8 o 56 + 7

    Ejercicio 23

    Para cada imagen, se utilizó una interpretación particular de la división para resolver un problema de división. A partir de esa interpretación e imagen, exponer el problema original de la división.

    a. Partición en subconjuntos

    Screen Shot 2021-06-01 a las 12.28.51 AM.png

    Si se utilizó la partición en subconjuntos, indíquele el problema de división: ___________

    b. Sustracción repetida

    Screen Shot 2021-06-01 at 12.32.34 AM.png

    Si se utilizó resta repetida, indicar el problema de división: ___________

    Ejercicio 24

    Si dibujó una imagen para el problema de multiplicación, ¿a\(\cdots\) b, qué letra representa cómo se hacen los subconjuntos y qué letra representa cuántos hay en cada subconjunto?

    División es la operación que deshace la multiplicación. Los estudiantes pueden confiar en este hecho para aprender hechos básicos de división. Por ejemplo, desde 6\(\cdots\) 7 = 42, entonces\(42 \div 6 = 7\) y\(42 \div 7 = 6\). A continuación se muestra una definición formal de división

    Definición: a\(\div\) b se define como el número único, c, bajo las siguientes condiciones:\(a \div b = c\) si y solo si a = b\(\cdots\) c. If there is no number, c, that exists, or if there is more than one unique number that can be put in for c, then \(a \div b\) se dice que no está definido.

    En lugar de escribir c, a veces es más fácil escribir un espacio en blanco o una caja en las ecuaciones para ver si existe una solución única. Si puedes poner una solución única en el blanco al problema de multiplicación, entonces puedes volver atrás y rellenar la solución al problema de división.

    Ejemplo

    Utilice la definición de división para encontrar la respuesta a\(\bf 21 \div 3\).

    Primero, tenga en cuenta que\(21 \div 3\) = ____ significa 21 = 3\(\cdots\) _____ Segundo, intente rellenar el espacio en blanco en el problema de multiplicación con un número único para hacer la ecuación, 21 = 3\(\cdots\) _____, true: 21 = 3\(\cdots \underline{7}\). Si el número rellenado es la única solución posible (única), entonces esa es la respuesta al problema de división. Por lo tanto,\(21 \div 3\) =\(\underline{7}\). No es necesario escribir este párrafo para su solución. A continuación se muestra cómo escribir la solución.

    Solución

    Desde\(21 = 3 \cdots \underline{7}\) entonces\( 21 \div 3 = \underline{7}\).

    Ejercicio 25

    Usa la definición de división para encontrar los siguientes cocientes:

    a.\(32 \div 8\)
    b.\(56 \div 8\)
    c.\(32 \div 2\)
    d.\(0 \div 13\)
    e.\(12 \div 1\)
    f.\(X \div 1\) (Supongamos que X es cualquier número.)
    g.\(0 \div Y\) (Supongamos que Y es cualquier número distinto de cero.

    El ejercicio 25f ilustra que cualquier número dividido por 1 es en sí mismo.

    En otras palabras,\(\bf a \div 1 = a\) para todos los valores de a.

    El ejercicio 25g ilustra que el cero dividido por cualquier número entero distinto de cero es 0.

    En otras palabras,\(\bf 0 \div a = 0\), para todos los valores distintos de cero de a.

    En el problema anterior, todas las respuestas fueron números enteros. Si se le pidiera que usara la definición para encontrar solo soluciones de números enteros, entonces algunas divisiones estarían indefinidas bajo números enteros. Puede haber, sin embargo, soluciones racionales o irracionales dependiendo del problema.

    Ejemplo

    Usa la definición de división para encontrar si\(\bf 21 \div 5\) se define bajo números enteros. Mostrar la solución si está definida, o explicar por qué no si no está definida.

    Primero, tenga en cuenta que\(21 \div 5\) = ____ significa 21 = 5\(\cdots\) _____ En segundo lugar, intente rellenar el espacio en blanco en el problema de multiplicación con un número entero único para hacer la ecuación, 21 = 5\(\cdots\) _____, verdadera. No hay un número entero que se pueda poner en blanco para que esa ecuación sea cierta. Por lo tanto, no\(21 \div 5\) se define bajo números enteros. Así es como mostrarías la respuesta.

    Solución

    Ya que no hay solución de números enteros para hacer la ecuación, 21 = 5\(\cdots\) ____ true, no\( 21 \div 5\) se define bajo números enteros.

    Ejercicio 26

    Utilice la definición de división para encontrar cuáles de los siguientes cocientes se definen bajo números enteros. Mostrar la solución si está definida, o explicar por qué no si no está definida. Las partes a y b están hechas para ti. Utilízelos como ejemplos.

    a.\(45 \div 5\)

    Solución: Desde\( 45 = 5 \cdots \underline{9}\) entonces\(45 \div 5 = \underline{9}\).

    b.\(42 \div 9\)

    Solución: Como no hay una solución de números enteros para hacer la ecuación,

    42 = 9\(\cdots\) ___ true, no\(42 \div 9\) se define bajo números enteros. (¡Sí, deberías escribir todo esto!)

    c.\(48 \div 6\)

    Solución:

    d.\(35 \div 4\)

    Solución:

    e.\(48 \div 1\)

    Solución:

    f.\(55 \div 7\)

    Solución:

    g.\(0 \div 8\)

    Solución:

    Exploremos lo que sucede cuando nos dividimos por cero.

    Ejemplo

    Utilice la definición de división para encontrar el cociente:\(\bf 8 \div 0\).

    Primero, tenga en cuenta que\(8 \div 0\) = ____ significa 8 = 0\(\cdots\) _____ En segundo lugar, intente rellenar el espacio en blanco en el problema de multiplicación con un número único para hacer la ecuación, 8 = 0\(\cdots\) _____, verdadera. No hay ningún número que se pueda poner en blanco para que esa ecuación sea verdadera ya que cualquier número por 0 es 0, y nunca será igual a 8. Así es como podrías escribir la solución:

    Solución

    No hay número que haga verdadera la ecuación, 8 = 0\(\cdots\) ____, ya que cualquier número que se ponga en el blanco hará que el lado derecho de la ecuación sea cero, lo que nunca podrá igualar al lado izquierdo de la ecuación, que es 8. Por lo tanto, no\( 8 \div 0\) se define.

    Ejercicio 27

    Use la definición de división para mostrar que los siguientes cocientes no están definidos:

    a.\(6 \div 0\)

    b.\(18 \div 0\)

    c.\(M \div 0\) (Asumir\(M \neq 0\))

    En el ejercicio 27, demostró que dividir un número distinto de cero por 0 estaba indefinido. Ahora, vamos a explorar qué pasa si dividimos cero por cero.

    Ejemplo

    Utilice la definición de división para encontrar el cociente:\(0 \div 0\).

    Primero, tenga en cuenta que\(0 \div 0\) = ____ significa 0 = 0\(\cdots\) _____ En segundo lugar, intente rellenar el espacio en blanco en el problema de multiplicación con un número único para hacer la ecuación, 0 = 0\(\cdots\) _____, verdadera. No hay un número único que se pueda poner en el blanco para que esa ecuación sea cierta ya que cualquier número que se ponga en el blanco hará que la ecuación sea verdadera, y por lo tanto no hay un número único que funcione. Así es como podrías escribir la solución:

    Solución

    No hay un número único que se pueda poner en blanco para hacer verdadera la ecuación 0 = 0\(\cdots\) ____, ya que cualquier número la hará verdadera. Por lo tanto,\(0 \div 0\) se llama indeterminado.

    En el ejercicio 27, demostró que un número distinto de cero dividido por cero no está definido. El siguiente ejemplo mostró que el cero dividido por cero es indeterminado.

    Para probar que la división por cero es indefinida, se deben mostrar dos casos. A continuación se muestra una prueba completa para mostrar que la división por cero no está definida.

    Problema: Demostrar que la división por cero es indefinida

    Solución: El objetivo es mostrar que\(a \div 0\) es indefinido para todos los valores de a. Hay dos casos a considerar Caso 1:\(a \neq 0\); Caso 2: a = 0.

    Caso 1: Vamos\(a \neq 0\). No hay un número único que pueda ponerse en el blanco para hacer la ecuación, a = 0\(\cdot\) ____, verdadera porque el lado izquierdo de la ecuación no es cero (ya que\(a \neq 0\)), y cualquier número puesto en el blanco hará que el lado derecho de la ecuación sea cero. Por lo tanto\(a \neq 0\), cuando, no\(a \div 0\) está definido.

    Caso 2: Dejar a = 0. No hay un número único que se pueda poner en blanco para hacer verdadera la ecuación 0 = 0\(\cdot\) ____, ya que cualquier número la hará verdadera. Por lo tanto,\(0 \div 0\) es indeterminado.

    Se necesita práctica escribir esta prueba. Necesitarás practicar escribiéndolo varias veces para dominar el problema. Una opción es memorizar la prueba que se muestra arriba escribiéndola varias veces hasta que realmente tengas la idea. Esto sería una buena pregunta de examen.

    Ejercicio 28

    Demostrar que la división por cero es indefinida.


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