8.2: Primes y GCF

Necesitarás: Tiras Centémetros (Material Tarjetas 16A-16L)

Cuadrados de Números Primos (Tarjetas de Material 19A-19B)

Cuadrados de Números Compuestos (Tarjetas de Material 20A-20B)

En estos primeros ejercicios, usarás tiras en C para explorar divisores, factores, números primos y números compuestos.

Ejercicio 1

a. Saque la tira en C Hot Pink (H). Usa tus tiras en C (un color a la vez) para ver si puedes formar un tren compuesto por tiras C del mismo color igual en longitud a la tira C rosa fuerte en otras palabras, mira si puedes hacerlo con todos los blancos (siempre posible para cualquier longitud de tren), o todos los rojos, o todos los verdes claros, etc. deberías poder hacer seis diferentes trenes cada tren se compone de un solo color. Dibuja una imagen de cada uno de estos trenes bajo el Hot Pink que se muestra. He dibujado dos trenes para ti ya uno es simplemente la tira rosa fuerte (un tren que consiste en solo una tira C), y un segundo está compuesto por tres tiras en C moradas.

b. Tome cada tren y configúrelo en un rectángulo. Luego, encuentra una tira en C que se ajuste a lo ancho del rectángulo, que es la parte superior si las tiras en C del tren convertidas en rectángulo se colocan verticalmente. A partir de esto, se debe poder decir a partir de qué problema de multiplicación se formó cada tren. A partir de esta información, escriba una ecuación usando tiras C y luego traduzca a una ecuación con números. Por ejemplo, para el tren 2, primero haría un rectángulo con las tres tiras en C moradas. A continuación, trataría de encontrar una tira en C para que quepa en la parte superior, que sería de color verde claro. Por lo tanto, el tren 2 se formó a partir de la multiplicación\(L \times P\): recuerde que dado que el tren se forma con tiras en C moradas, P es la segunda letra en la multiplicación. Entonces, la ecuación en tiras C es\(L \times P = H\), y el equivalente numérico es\(3 \times 4 = 12\). Siga este mismo procedimiento para los otros cuatro trenes que realizó en la parte a.

Tren 1 ilustra la multiplicación\(W \times H = H\), o\(1 \times 12 = 12\). (Tenga en cuenta que si la tira rosa fuerte se coloca verticalmente, la tira C blanca se ajusta en la parte superior).

Tren 2 ilustra la multiplicación\(L \times P = H\), o\(3 \times 4 = 12\).

El tren 3 ilustra la multiplicación ____\(\times\) ____ = H, o ____\(\times\) ____ = 12.

El tren 4 ilustra la multiplicación ____\(\times\) ____ = H, o ____\(\times\) ____ = _____

El tren 5 ilustra la multiplicación ____\(\times\) ____ = H, o ____\(\times\) ____ = _____

El tren 6 ilustra la multiplicación ____\(\times\) ____ = H, o ____\(\times\) ____ = _____

En la parte 1b del ejercicio, el conjunto de números colocados en los espacios en blanco antes del signo igual en las ecuaciones con números se denominan factores o divisores de 12. Tenga en cuenta que debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, cada factor o divisor se enumeró dos veces.

c. Enumere los números que son factores de 12 (longitud de la tira C rosa fuerte). Solo enumere cada número una vez.

Ejercicio 2

Utilice el mismo procedimiento utilizado en el ejercicio 1 para hacer todos los rectángulos posibles de un tren que tenga cada una de las siguientes longitudes. Use la (s) tira (s) en C que se muestran entre paréntesis para hacer un tren que tenga la longitud dada. Entonces, después de descubrir los posibles rectángulos que se pueden hacer, enumere los factores (los números reales) de cada número. Cada número mayor que 1 tiene al menos dos factores.

a. Factores de 2 (tira C roja): ____

b. Factores de 3 (tira C verde claro): ____

c. Factores de 4 (tira C púrpura): ____

d. Factores de 5 (tira C amarilla): ____

e. Factores de 6 (tira C verde oscuro): ____

f. Factores de 7 (tira C negra): ____

g. Factores de 8 (tira C marrón): ____

h. Factores de 9 (tira C azul): ____

i. Factores de 10 (tira C naranja): ____

j. Factores de 11 (tira C de plata): ____

k. Factores de 13 (marrón+amarillo): ____

l. Factores de 14 (naranja + púrpura): ____

m. Factores de 15 (negro+marrón): ____

n. Factores de 16 (azul + negro): ____

Ejercicio 3

a. Enumere los números del ejercicio 2 que tengan exactamente 2 factores: _____

b. ¿Qué nota de los 2 factores que tiene cada uno de estos números? ¿Hay algún patrón o algo que tengan en común entre sí?

c. Enumere los números del ejercicio 2 que tengan un número impar (3 o 5) de factores: _____

d. ¿Qué tienen en común todos estos números?

Definición: Un número entero que tiene exactamente dos factores diferentes se llama número primo.

Si un número es primo, sus únicos factores son 1 y él mismo. En otras palabras, si un número, p, es primo, sus únicos factores son 1 y p. Si estás usando las tiras C e intentas hacer un rectángulo a partir de un tren que tiene una longitud que es un número primo, la única posibilidad es cuando el ancho es 1 y el largo es el largo del tren original. Eso es porque esos son los únicos factores, y ningún otro número se divide en él.

NOTA: 1 NO es primo ya que no tiene dos factores diferentes solo tiene uno 1.

Definición: Cualquier número entero mayor que 1 que no sea primo se denomina número compuesto.

Los números enteros, 0 y 1, no son primos ni compuestos. Cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto.

Si un número es compuesto, significa que tiene más de 2 factores, y puede escribirse como producto de factores menores que él mismo. Por ejemplo, 12 no es un número primo. Se puede escribir como 2\(\cdot\) 6 o 3\(\cdot\) 4. Esto se llama factoring,\(2 \cdots 6\) y\(3 \cdots 4\) son sólo dos formas de factorizar 12.

Saca tus cuadrados de números primos y cuadrados de números compuestos. Si aún no lo has hecho, colorea los cuadrados de números primos para que cada número primo tenga un color diferente los 2 podrían ser amarillos, los 3 podrían ser azules, los 5 podrían ser verdes, los 7 podrían ser morados, los 11 podrían ser rojos, los 13 podrían ser naranjas, los 17 podrían ser rosados, y así sucesivamente. Todos los cuadrados numéricos compuestos deben permanecer blancos.

Lo que vamos a hacer son números de factores. Cada vez que tenemos un número blanco, sabemos que es compuesto y se puede factorizar aún más. El objetivo final será factorizar los números en un producto de primos, lo que significa que solo habrá cuadrados coloreados para representar cada número.

Empecemos por factorizar 12. Saca un número cuadrado blanco que diga 12, y póngalo frente a ti. Al ser blanco, se puede factorizar en un producto de dos números más pequeños. Alguien podría elegir 3 y 4; otro podría elegir 2 y 6. Reemplaza 12 con los dos cuadrados que elegiste. Para 12, sucede que no importa qué combinación de dos números elijas, uno de los cuadrados que elijas será de color, lo que significa que es primo y no se puede factorizar (o descomponer) más lejos. Pero la otra plaza será blanca. Reemplace el blanco con otros dos cuadrados numéricos usando factores más pequeños. En tu pila, en lugar de un 12, deberías tener tres cuadrados, un 2, un 2 y un 3. No hay orden es solo un grupo de tres cuadrados que si se multiplican juntos representan 12. A continuación se presentan dos caminos que uno podría haber tomado para llegar a la solución final. Las flechas muestran un paso tras otro.

En el primer camino, el 12 fue reemplazado por 3 y 4, y luego el 4 fue reemplazado por dos 2's En el segundo camino, el 12 fue reemplazado por un 6 y un 2, y luego el 6 fue reemplazado por un 2 y un 3. Usando este modelo para factor primo, los números que termines deben ser todos primos, y el entendimiento es que cuando los factores finales (primos) se multiplican juntos, obtenemos el número original que intentamos factorizar. En otras palabras, la factorización prima para 12 es\(3 \cdot 2 \cdot 2\). Debido a las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación, el orden de los factores es insignificante. En ocasiones, por consistencia, los factores se escriben en orden ascendente o descendente, pero esto no es necesario a menos que se le indique que lo escriba en un orden determinado. Si te piden que escribas la factorización prime de 12, podrías escribir\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) (o\(12 = 2^{2} \cdot 3\)). Para verificar, multiplica los factores primos para asegurarte de que el producto realmente es el número que estableces como factor primo. Para números grandes, debe usar una calculadora. Aquí hay otra manera de mostrar en papel el proceso de reemplazo que se está llevando a cabo para factorizar 12 usando los cuadrados numéricos.

Ejemplo: Use los cuadrados numéricos para primos del factor 210, y muestre los pasos individuales.

Nota: Como no hay un número cuadrado para 210, escriba 210 en un cuadrado en blanco para comenzar.

Solución 1:\(210 = 21 \cdots 10 = 3 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 5\)

Solución 2:\(210 = 3 \cdots 70 = 2 \cdots 105 = 2 \cdots 3 \cdots 35 = 2 \cdots 3 \cdots 5 \cdots 7\)

Solución 3:\(210 = 30 \cdots 7 = 5 \cdots 6 \cdots 7 = 5 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 7\)

Hay muchas otras formas en las que uno podría ir factorizando 210, pero al final, hay 4 factores primos que cuando se multiplican juntos equivalen a 210. Debido a las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación,\(3 \cdots 7 \cdots 2 \cdots 5 = 2 \cdots 3 \cdots 5 \cdots 7 = 5 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 7\). Por lo general, los primos se escriben en orden ascendente (desde el factor más pequeño hasta el factor más grande. Escribimos que la factorización primo de 210 es\(2 \cdots 3 \cdots 5 \cdots 7\).

Esto lleva a un teorema muy importante. Se puede pensar en los números primos como bloques de construcción para todos los números enteros mayores que 1. Cada número entero mayor que 1 es primo, o se puede expresar como el producto de factores primos (llamada la descomposición primo). El hecho de que cualquier número compuesto pueda escribirse como un producto único de primos es tan importante que se le llama el Teorema Fundamental de la Aritmética.

El Teorema Fundamental de la Aritmética:

Cada número compuesto tiene exactamente una factorización prima única (excepto por el orden en que escribe los factores).

Obsérvese nuevamente que el orden en que se escriben los factores no importa. Sin embargo, por consistencia, suelen escribirse en orden ascendente (de menor a mayor). Además, se pueden usar exponentes si se repite un factor en la factorización prima. Por ejemplo, la factorización prima de 12 generalmente se escribe como\(2 \cdots 2 \cdots 3\) o\(2^{2} \cdots 3\)

Ejercicio 4

Utilice los cuadrados numéricos para factorizar cada uno de los siguientes números compuestos en un producto de primos. Escribe la factorización prima para que los factores se escriban en orden ascendente (de menor a mayor). Ninguno de estos números es primo. Mostrar cada uno de los pasos individuales uno a la vez, no solo el producto final.

a. 45 = _____

b. 65 = _____

c. 200 = _____

d. 91 = _____

e. 76 = _____

f. 350 = _____

g. 189 = _____

h. 74 = _____

i. 512 = _____

j. 147 = _____

Existen otros métodos comúnmente utilizados para encontrar la factorización principal. Uno usa un ÁRBOL FACTOR, que es similar a lo que hiciste con los cuadrados de números primos y compuestos. La diferencia es que se hace sobre papel, a diferencia de usar manipuladores. El número que estás tratando de factorizar se llama raíz, y está en la parte superior. Entonces, en realidad es un árbol al revés. Si un número no es primo, dibuja dos ramas hacia abajo de ese número y lo factoriza como el producto de dos factores cualesquiera. Al final de cada rama hay un factor menor, que se llama hoja. Si una hoja es primo, enciérrela en un círculo, es uno de los factores en la desintegración del número primo. De lo contrario, ramificar de nuevo. Cuando todas las hojas están envueltas con números primos, ya terminaste. La factorización principal de la raíz es el producto de las hojas. A continuación se muestra una forma en que factorizamos 12, en la página anterior, usando cuadrados.

Aquí están los pasos individuales que muestran cómo se podría usar un árbol de factores para el factor 12, similar a cómo se factorizó usando los cuadrados, a través de la Ruta 1. Tenga en cuenta la similitud.

Paso 1: Factor 12 como 3d4

Paso 2: Círculo 3 ya que es prime

Paso 3 Encierra en círculo los 2s ya que son primos

Paso 4: Encierra en círculo los 2s ya que son primos

Paso 5: La factorización prima de 12 es el producto de las hojas en un círculo 3 d2 d2

A continuación se muestra la otra forma en que factorizamos 12 usando cuadrados.

Aquí están los pasos individuales que muestran cómo se podría usar un árbol de factores para el factor 12, similar a cómo se factorizó usando los cuadrados, a través de Path 2. Nuevamente, anote la similitud.

Paso 1: Facrtor 12 como\(6 \times 2\)

Paso 2: Círculo 2 ya que es prime

Paso 3: Factor 6 como\(2 \times 3\)

Paso 4: Círculo 3 y 2 ya que ambos son primos.

Paso 5: La factorización principal de 12 es el producto de las hojas en un círculo\(3 \cdots 2 \cdots 2\)

Si no estás seguro de si un número es primo o compuesto y no sabes cómo empezar a factorizar, usa las pruebas de divisibilidad. Ve si es posible dividir por 2, 3, 5, 7, 11, etc. Asegúrate de que no hay factores antes de rodearlo y decidir que es primo. Vas a repetir de nuevo el ejercicio 4, pero esta vez, usa un árbol factorial.

Ejercicio 4

Utilice un árbol de factores para factorizar cada uno de los siguientes números compuestos en un producto de primos. Escribe la factorización prima para que los factores se escriban en orden ascendente (de menor a mayor). Ninguno de estos números es primo. Mostrar los pasos individuales. Mostrar el árbol de factores debajo de cada problema.

a. 45 = _____	c. 200 = _____
b. 65 = _____	d. 91 = _____
e. 76 = _____	h. 74 = _____
f. 350 = _____	i. 512 = _____
g. 189 = _____	j. 147 = _____

El problema de tratar de encontrar la factorización prima es que a veces no es obvio si un número que estás tratando de factorizar es primo o no. Por ejemplo, no es inmediatamente obvio si 517 es primo o compuesto o no. Aquí es donde las pruebas de divisibilidad son útiles. En realidad, si quieres encontrar la descomposición primo de 517, solo necesitas comprobar si 517 tiene algún número primo como factores. Tendrás que probar un prime a la vez. Antes de continuar, enumeremos los primeros números primos comenzando con 2. Nota: 2 es el único número primo par. Para hacer una lista, comience con 2, 3, 5 y verifique si el siguiente número impar es primo o no. No es primo si uno de los números primos enumerados anteriormente es un factor.

Ejercicio 5

Enumere todos los números primos menores a 100. Solo necesitas usar las pruebas de divisibilidad para 2, 3, 5 y 7 como máximo para verificar si algún número impar menor a 100 es primo. En otras palabras, cualquier número compuesto menor a 100 tiene como factor 2, 3, 5 o 7. Discutiremos por qué después de este ejercicio.

Considera las posibles formas de factorizar 54 como producto de 2 factores:

\(1 \cdots 54\),\(2 \cdots 27\),\(3 \cdots 18\),\(6 \cdots 9\),,\(9 \cdots 6\),\(18 \cdots 3\),\(27 \cdots 2\),\(54 \cdots 1\)

Tenga en cuenta que si comienza con el factor más pequeño (1) como el factor izquierdo, comienza a repetir a la mitad de la lista. Esta marca “a mitad de camino” ocurre después de llegar a la raíz cuadrada del número que está factorizando. La raíz cuadrada de 54 está entre 7 y 8. Entonces, si enumeras un factor mayor a 7, habría aparecido antes en la lista como un factor menor que 7. Entonces eso significa que si estoy tratando de encontrar la factorización prime de 54, solo necesito verificar números primos hasta e incluyendo como máximo 7.

Entonces, ¿por qué cualquier número compuesto menor a 100 tiene como factor 2, 3, 5 o 7? El siguiente número primo después del 7 es 11. Ya que\(11^{2}\), o 121, es mayor que 100, si hubiera un número primo mayor o igual a 11 que fuera un factor de un número menor a 100, entonces el otro factor tendría que ser menor que 11. Piénsalo. Si ambos factores fueran mayores a 11, ¡el producto sería más de 121! Esta realización hace que encontrar la factorización prima de un número sea mucho más fácil. Así es como funciona.

Ya que\(3^{2} = 9\), cualquier número compuesto < 9 tiene 2 como factor.

Ya que\(5^{2} = 25\), cualquier número compuesto < 25 tiene 2 o 3 como factor.

Ya que\(7^{2} = 49\), cualquier número compuesto < 49 tiene 2, 3 o 5 como factor.

Ya que\(11^{2} = 121\), cualquier número compuesto < 121 tiene como factor 2, 3, 5 o 7.

Ya que\(13^{2} = 169\), cualquier número compuesto < 169 tiene como factor 2, 3, 5, 7 u 11.

Ya que\(17^{2} = 289\), cualquier número compuesto < 289 tiene como factor 2, 3, 5, 7, 11 o 13.

Ya que\(19^{2} = 361\), cualquier número compuesto < 361 tiene como factor 2, 3, 5, 7, 11, 13 o 17.

Ya que\(23^{2} = 529\), cualquier número compuesto < 529 tiene como factor 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 o 19.

Ahora, verificaremos que algunas de las afirmaciones anteriores son ciertas.

Ejemplo

Ya que\(3^{2} = 9\), cualquier número compuesto < 9 tiene 2 como factor.

Esto se puede verificar enumerando los números compuestos menores a 9 y mostrando que 2 es un factor de cada uno de esos números: los únicos números compuestos menores de 9 son 4, 6 y 8. Verifique que 2 sea un factor de cada uno de estos números:\(4 = 2 \cdots 2, 6 = 2 \cdots 3, 8 = 2 \cdots 4\)

Ejemplo

Ya que\(5^{2} = 25\), cualquier número compuesto < 25 tiene 2 o 3 como factor.

El ejemplo anterior verificó que los números compuestos menores a 9 tienen 2 o 3 como factor (ya que hemos demostrado que todos tienen 2 como factor). Por lo que solo necesitamos enumerar y verificar que los números compuestos menores a 25 tengan 2 o 3 como factor. Los únicos números compuestos entre 9 y 25 son 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22 y 24. Verificar mentalmente que 2 o 3 es un factor de cada uno de estos números. Nota: cada número solo necesita tener 2 O 3 como factor, aunque puede tener ambos. Por ejemplo, 2 es un factor de 10, 3 es un factor de 15, y tanto 2 como 3 son factores de 18. Solo tienes que asegurarte de que al menos uno de esos factores sea un factor de cada número compuesto.

Ejercicio 6

Ya que\(7^{2} = 49\), cualquier número compuesto < 49 tiene 2, 3 o 5 como factor. Enumere los números compuestos entre 25 y 49, y verifique mentalmente que 2, 3 o 5 sea un factor de cada uno de estos números.

Ejercicio 7

Ya que\(11^{2} = 121\), cualquier número compuesto < 121 tiene como factor 2, 3, 5 o 7. Enumere los números compuestos entre 49 y 121, y verifique mentalmente que 2, 3, 5 o 7 sea un factor de cada uno de estos números.

Se vuelve tedioso intentar verificar números más grandes, pero el patrón continúa. En otras palabras, si enumeraste todos los números compuestos menores a 361, es decir\(19^{2}\), entonces podrías verificar que cada uno de ellos tenga como factor 2, 3, 5, 7, 11 o 13.

Entonces, para encontrar si 517 es primo o compuesto, ya que 517 es menor que\(23^{2}\), solo necesito verificar si alguno de los siguientes son factores: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 o 19. En lugar de verificar cada número hasta 517, solo estos ocho necesitan ser revisados. Puedes usar pruebas de divisibilidad para los primeros cinco primos, luego usar una calculadora para los últimos tres. Si encuentras un factor desde el principio, no hay necesidad de seguir adelante.

Ejercicio 8

Encuentra la factorización prima de 517. Haga esto usando las pruebas de divisibilidad hasta 11, si es necesario. Si aún no encuentras un factor de 517, usa una calculadora para ver si 13, 17 o 19 es un factor. Escribe aquí la factorización principal:

Debido a que escribí los cuadrados de los primeros números primos varios en la página anterior, sabía que no tenía que verificar ningún primo superior a 19. Una forma de averiguar el número primo más alto que podría tener que verificar es tomar la raíz cuadrada del número que está tratando de hacer un factor primo.

Ejercicio 9

En tu calculadora, encuentra la raíz cuadrada de 517 redondeada a la décima más cercana:

Debió haber conseguido 22.7. Esto nos dice que 517 no es un cuadrado perfecto. A continuación, sabemos que si 517 es compuesto, debe tener un factor primo menor a 22.7. Entonces, necesitamos determinar el número entero más alto que es primo que es menor que 22.7. Comienza con 22 no prime; luego 21 no prime; luego 20 no prime; luego 19 prime! Por lo tanto, como mucho necesitamos revisar los primos hasta las 17:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Cuando en realidad prima factorizó 517, ¿notó que 11 era un factor? ¿Usaste la prueba de divisibilidad para 11?

Entonces,\(517 = 11 \cdots 47\). Entonces, miras el otro factor, 47, y nota que es primo, ¡así que ya terminaste! Por cierto, 5 es el prime más alto que tendrías que verificar para ver si 47 es prime!

Lo que acabamos de describir es un teorema llamado Test de Factor Primo. Esta es la forma formal de afirmar ese teorema.

Prueba de factor primo: Para probar factores primos de un número n, solo es necesario buscar factores primos p de n, donde\(p^{2} \leq n\) (o\(p \leq \sqrt{n}\))

Ejercicio 10

Para cada número, determine el primo más alto que pueda necesitar ser verificado para encontrar la factorización de primos del número. Entonces, encuentra la factorización principal. Si es primo, simplemente escriba el número en sí, ya que esa es la factorización prima.

a. 149 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

b. 273 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

c. 381 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

d. 437 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

e. 509 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

f. 613 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

g. 787 prime más alto para verificar: _____ Factorización de Prime para 149:

Ahora, veamos un rango de números y descubramos cómo determinar cuáles son primos. Por ejemplo, determinemos qué números entre 350 y 370 son primos. En primer lugar, solo los números impares en este rango son primos. Entonces, comience por enumerar los números impares como posibilidades: 351, 353, 355, 357, 359, 361, 363, 365, 367 y 369. A continuación, las notas 355 y 365 no pueden ser prime ya que es divisible por 5. Ahora, podrías usar la prueba de divisibilidad para 3 para tachar 351, 357, 363 y 369 nota que puedes cruzar múltiplos de 3 tachando cada tercer número impar si comienzas en un múltiplo de 3. Ahora, nuestra lista se reduce a estas posibilidades: 353, 359, 361, 367 y 369. El primo más alto que tendrías que verificar es el número primo que es menor que la raíz cuadrada de 369, que es 19. Entonces, simplemente revisa el resto de los números primos (7, 11, 13, 17 y 19 como mucho) en cada uno de estos números para determinar cuáles, si los hay, son primos. 353 es primo; 359 es primo; 361 es 19, 367 es primo. Por tanto, 353, 359 y 367 son los números entre 350 y 370 que son primos. Además, deberías poder escribir la factorización de primos para todos los números entre 350 y 370 que son compuestos.

Ejercicio 11

Encuentra la desfactorización primo de todos los números entre 280 y 295. Si un número es primo, simplemente escriba el número en sí.

a. 280 = ___________________	i. 288 = ___________________
b. 281 = ___________________	j. 289 = ___________________
c. 282 = ___________________	k. 290 = ___________________
d. 283 = ___________________	l. 291 = ___________________
e. 284 = ___________________	m. 292 = ___________________
f. 285 = ___________________	n. 293 = ___________________
g. 286 = ___________________	o. 294 = ___________________
h. 287 = ___________________	p. 295 = ___________________

Los primos gemelos son dos números impares consecutivos que son primos. Por ejemplo, 5 y 7 son primos gemelos, 11 y 13 son primos gemelos, 17 y 19 son primos gemelos. No hay patrón para determinar con qué frecuencia aparecen primos gemelos. Una pregunta sin resolver en matemáticas es si hay un número finito de o infinitamente muchos conjuntos de primos gemelos. Nadie lo sabe.

Ejercicio 12

De su trabajo en el ejercicio 11, enumere cualquier juego de primos gemelos: _____

Ejercicio 13

¿Es posible tener tres números impares seguidos que sean primos? ¿Por qué o por qué no?

Un uso del factor primo de un conjunto de números es para que pueda encontrar el mayor factor común (GCF) y el mínimo común múltiplo (LCM) de un conjunto de números. Muchas personas tienen problemas para distinguir entre el mayor factor común y el múltiplo menos común (LCM) porque no piensan en lo que realmente significan las palabras. El mayor factor común de un número es obviamente un factor, pero el adjetivo común describe que quieres un factor que sea común a todos los números, y el adjetivo mayor describe que quieres el más grande de los factores comunes de los números.

Vamos a explorar formas de encontrar el mayor factor común de dos números, a y b. La notación para expresarlo es GCF (a, b). No importa qué número enumere primero entre paréntesis, no es un par ordenado. El mayor factor común de un conjunto de números es el número más grande que es un factor de cada número.

Vamos a explorar diferentes formas de encontrar el mayor factor común de dos números.

Primero, vamos a explorar una manera de encontrar el mayor factor común de 42 y 72.La notación para expresar esto es GCF (42, 70). Recuerda: no importa qué número enumeres primero entre paréntesis, no es un par ordenado. GCF (42, 70) significa lo mismo que GCF (70, 42). El mayor factor común de 42 y 70 es el mayor número que es un factor tanto de 42 como de 70.

Una forma de hacer esto es enumerar cada factor de cada número y luego elegir el más grande que sea un factor de cada uno.

Ejercicio 14

a. Listar todos los factores de 42 en orden ascendente: ____

b. Listar todos los factores de 70 en orden ascendente: ____

c. Enumere todos los factores que son comunes a los 42 y 70: ____

d. Enumerar el mayor factor común de 42 y 70: ____

e. Rellene el espacio en blanco: GCF (42, 70) = ____

Enumerar todos los factores de un número dado a veces es una tarea difícil. Por ejemplo, es fácil pasar por alto un factor. Un remedio es el factor primo primero del número. Para enumerar todos los factores de 42, uno podría primero factor primo 42 como este:\(2 \cdots 3 \cdots 7\). Para que un número sea un factor de 42, debe estar compuesto por los factores primos enumerados. Por supuesto, 1 es siempre un factor. A continuación, comprobarías 2, y luego 3, que son ambos factores. 4 no es un factor porque si lo fuera, ¡\(2 \cdots 2\)estaría en la factorización prime! Es claro ver 5 no es un factor. 6 es un factor, ya que\(2 \cdots 3\) está en la factorización prima. Continuando, 7 es un factor, pero 8 no porque no\(2 \cdots 2 \cdots 2\) esté en la factorización prima de 42. Tampoco es el 9\((3 \cdots 3), 10 (2 \cdots 5), 11, 12 (2 \cdots 2 \cdots 3)\), ni el 13. Pero 14 es un factor de 42 ya que\(2 \cdots 7\) está en la factorización prime. Puedes usar esta estrategia ya que revisas cada número hasta 42, pero eso sigue siendo un montón de números para verificar. Eventualmente, obtendrías esta lista: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Aquí hay una manera de acortar un poco más el proceso. Comenzando con el factor más pequeño 1, enlista inmediatamente el otro factor que tendrías que multiplicar por ese factor para obtener 42. Entonces, comenzamos con 1, 42. Comprobamos el siguiente número, 2, y notamos que es un factor. Para obtener el otro factor que se empareja con 2, o bien divide 2 en 42, o simplemente mira la factorización prima de 42, con los 2 faltantes. Ahí\(3 \cdots 7\) queda, que es el otro factor. Entonces la lista es ahora 1, 42, 2, 21. Continuando, notamos que 3 es un factor. Para obtener el otro factor, o dividir 42 por 3, o hacerlo de la manera más fácil, que es ver qué factores quedan en la factorización prime de 42 con los 3 faltantes. Ya que hay un 2 y un 7, entonces el número que se empareja con 3 es 14.

La lista es ahora 1, 42, 2, 21, 3, 14. A continuación, observamos 4 y 5 no son factores. 6 es un factor ya que 2 y 3 (\(2 \cdots 3\)) está en la descomposición de primos. 7 es el número que se empareja con 6. Entonces, la lista es ahora: 1, 42, 2, 21, 3, 14, 6, 7. Si tuvieras que continuar, el siguiente número a verificar sería el 7. Desde\(7^{2}\) > 42, puedes parar. Todos los factores que son mayores a 7 ya estarán en la lista porque habría habido un factor menor con el que ya se emparejó. Ahora, pon la lista de factores de 42 en orden ascendente: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

El mismo procedimiento se puede utilizar para enumerar todos los factores de 70. Primero, escribir la factorización prima de 70:\(2 \cdots 5 \cdots 7\). Comenzarías con 1 y 70:1, 70. A continuación, está claro que 2 es un factor que se empareja con 35. La lista es ahora: 1, 70, 2, 35. Siguiente descarte 3 y 4 como factores, y la nota 5 es un factor. Los factores que quedan son 2 y 7, que multiplicados juntos es 14. Entonces la lista es 1, 70, 2, 35, 5, 14. Continuando, la nota 6 no es un factor, y 7 es. 7 empareja arriba con 10. La lista es ahora: 1, 70, 2, 35, 5, 14, 7, 10. Continuando, tenga en cuenta que 8 no es un factor. El siguiente número a verificar sería el 9. Pero\(9^{2}\) > 70, por lo que todos los factores superiores ya están en la lista. Al escribir la lista en orden ascendente, obtenemos: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

Toma nota que en ambos ejemplos, 42 y 70 cada uno tenía exactamente 3 números primos en la factorización primo. Considera la factorización prima de 220:\(2 \cdots 2 \cdots 5 \cdots 11\). Tenga en cuenta que a medida que enumera factores, puede haber uno, dos o tres otros factores para multiplicarse para obtener el par. 2 es un factor; su par es\(2 \cdots 5 \cdots 11\), o 110. 4\((2 \cdots 2\)) es un factor; su par es 5\(\cdots\) 11, o 55. 5 es un factor; su par es\(2 \cdots 2 \cdots 11\), o 44. 10 (\(2 \cdots 5\)) es un factor; su par es es\(2 \cdot 11\), o 22. 11 es un factor; su par es\(2 \cdots 2 \cdots 5\), o 20. Al verificar números mayores a 11, me detengo en 15 desde 152 > 220. Entonces, la lista es: 1, 220, 2, 110, 4, 55, 5, 44, 10, 22, 11, 20. Escribiendo estos en orden ascendente, obtenemos: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220.

Por cierto, es mucho más lento para mí explicar (y para que usted lea) cómo enumerar todos los factores por factoring prime. ¡Pero hacerlo es mucho más fácil! Ahora, haz los siguientes ejercicios. Si lo desea, utilice la factorización de primos para hacer las partes a y b.

Ejercicio 15

El objetivo de este problema es encontrar el mayor factor común de 92 y 115.

a. Listar todos los factores de 92 en orden ascendente:

b. Listar todos los factores de 115 en orden ascendente:

c. Enumere todos los factores que son comunes a 92 y 115:

d. Enumerar el mayor factor común de 92 y 115:

e. Rellene el espacio en blanco: GCF (92, 115) =

Ejercicio 16

El objetivo de este problema es encontrar el mayor factor común de 48, 54 y 63.

a. Listar todos los factores de 48 en orden ascendente:

b. Listar todos los factores de 54 en orden ascendente:

c. Enumere todos los factores de 63 en orden ascendente:

d. enumerar todos los factores que son comunes a 48, 54 y también 63:

e. Enumerar el mayor factor común de 48, 54 y 63:

f. rellenar el espacio en blanco: GCF (48, 54 y 63) =

Como te habrás dado cuenta, los factores de listado pueden ser una forma que consume mucho tiempo para encontrar el mayor factor común, especialmente si los números son muy grandes o tienen muchos factores.

Es hora de volver a sacar tus cuadrados de números primos coloreados y cuadrados de números compuestos blancos. Los usaremos para cebar conjuntos de números, que luego se pueden usar para encontrar el mayor factor común de un conjunto de números. Este método suele ser más rápido que el que acabamos de usar.

El objetivo de este siguiente ejemplo es encontrar el mayor factor común de 42 y 72 usando la factorización de primos con los cuadrados de números primos y compuestos.

Paso 1: Usa los cuadrados para cebar los factores 42 y 72.

\(42 = 2 \cdots 3 \cdots 7\)y\(72 = 2 \cdots 2 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 3\)

Paso 2: Dibuja una línea y pon los factores primos de 42 por encima de ella. Junto a eso, dibuja una línea y pon los factores primos de 72 por encima de ella.

Paso 3: Mira la factorización prima de los números. Mueve todos los factores que tengan en común debajo de la línea. Deben tener los mismos factores exactos debajo de la línea, y no deben tener factores comunes dejados por encima de la línea.

Paso 4: El producto de los factores bajo una línea es el mayor factor común de los números. En este caso, 2\(\cdots\) 3, o 6, es el mayor factor común de 42 y 72.

Paso 5: Usa la notación correcta para escribir la respuesta: GCF (42, 70) = 6.

En este siguiente ejemplo se utilizaron los mismos pasos para encontrar el mayor factor común de 16, 24 y 36.

Paso 1: Usa los cuadrados para cebar los factores 16, 24 y 36.

\(16 = 2 \cdots 2 \cdots 2 \cdots 2, 24 = 2 \cdots 2 \cdots 2 \cdots 3\)y\(36 = 2 \cdots 2 \cdots 3 \cdots 3\)

Paso 2: Dibuja una línea para cada número y coloca los factores primos de cada número por encima de él.

Paso 3: Mira la factorización prima de los números. Mueve todos los factores que los tres números tengan en común. No deberían quedar factores por encima de la línea que los tres números tienen en común.

Paso 4: El producto de los factores bajo una línea es el mayor factor común de los números. En este caso\(2 \cdots 2\), o 4, es el mayor factor común de 16, 24 y 36.

Paso 5: Usa la notación correcta para escribir la respuesta: GCF (16, 24, 36) = 4.

Ejercicio 17

Usa los pasos mostrados en los dos ejemplos anteriores para encontrar el mayor factor común de cada problema. Muestra una imagen de cómo se ve el problema en el paso 3 donde la factorización prima del factor común más grande se muestra debajo de la línea de cada número que primero factorizó.

a. GCF (42, 70) = _____ (Esta respuesta debe estar de acuerdo con el Ejercicio 14e.) Mostrar el trabajo a continuación:

b. GCF (92, 115) = _____ (Esta respuesta debe estar de acuerdo con el Ejercicio 15e.) Mostrar el trabajo a continuación:

c. GCF (48, 54, 63) = _____ (Esta respuesta debe estar de acuerdo con el Ejercicio 16f.) Mostrar el trabajo a continuación:

d. GCF (306, 340) = _____ Mostrar el trabajo a continuación:

e. GCF (125, 275, 400) = _____ Mostrar el trabajo a continuación:

f. GCF (126, 168, 210) = _____ Mostrar el trabajo a continuación:

Ejercicio 18

Digamos que alguien prime factorizó tres números grandes, X, Y y Z así:

\(X = 2^{5} \cdots 3^{4} \cdots 7^{2} \cdots 11^{8} \cdots 13^{3}\)

\(Y = 2^{4} \cdots 3^{5} \cdots 5^{3} \cdots 7^{7} \cdots 13^{2}\)

\(Z = 2^{6} \cdots 3 \cdots 5^{5} \cdots 11^{3} \cdots 13^{4}\)

a. Indique la factorización prima (notación exponencial está bien) del mayor factor común de X, Y y Z. GCF (X, Y, Z) =

b. Explica cómo hiciste la parte a.

Una forma de hacer el ejercicio anterior es comenzar enumerando los factores primos comunes (sin exponentes) de X, Y y Z. son 2, 3 y 13. Entonces, como inicio, escribe 2\(\cdots\) 3\(\cdots\) 13. A continuación, determinar cuántos de cada factor primo son comunes a X, Y y Z. Dado que X tiene 5 factores de 2, Y tiene 4 factores de 2, y Z tiene 6 factores de 2, solo tienen 4 factores de 2 en común. De igual manera, solo tienen un factor de 3 en común y 2 factores de 13 en común. Pon estos exponentes en los factores y tienes el GCF de los tres números: GCF (X, Y, Z) =\(2^{4} \cdots 3 \cdots 13^{2}\)

¿Te diste cuenta que si enumeras los factores que tienen en común sin exponentes, te pones el exponente más pequeño que tienen en común para cada primo?

Ejercicio 19

Escribe la factorización prima del mayor factor común del conjunto de números. Para aquellos que están factorizados con letras, supongamos que cada letra representa un número primo diferente.

a. Si\(X = 2^{4} \cdots 3^{2} \cdots 7^{6} \cdots 11^{3} \cdots 13^{2}\) y\(Y = 2^{5} \cdots 3^{6} \cdots 5^{4} \cdots 7^{6} \cdots 13^{3}\) GCF (X, Y) = _______________________

b. Si\(X = 3^{4} \cdots 5^{2} \cdots 7^{6}\) y\(Y = 2^{5} \cdots 3^{6} \cdots 5^{6} \cdots 7^{3}\) y\(Z = 2^{4} \cdots 3^{5} \cdots 5^{4}\) GCF (X, Y, Z) = _____________________

c. Si\(X = a^{4} \cdots b^{2} \cdots c^{6} \cdots d^{3} \cdots e^{2}\) y\(Y = a^{5} \cdots c^{3} \cdots d^{4} \cdots e^{6} \cdots f^{3}\) GCF (X, Y) = _______________________

d. Si\(X = a^{4} \cdots b \cdots c^{4} \cdots d^{3}\) y\(Y = a^{5} \cdots b^{3} \cdots d^{4} \cdots e^{6}\) y\(Z = a^{2} \cdots c^{3} \cdots d^{7} \cdots f^{3}\) GCF (X, Y, Z) = _____________________

Si dos números no tienen factores en común, se les llama relativamente primos. En otras palabras, si GCF (a, b) = 1, entonces a y b son relativamente primos. Los números, a y b, pueden ser primos, ambos compuestos, o uno podría ser primo y el otro compuesto.

Ejercicio 20

Dé un ejemplo de dos números compuestos que son relativamente primos:

Ejercicio 21

Escribe un número primo y un número compuesto que sean relativamente primos:

Ejercicio 22

Asumir GCF (28, x) = 1

a. Enumere los números primos que no sean factores de x: ________________________

b. Dé tres ejemplos (números) de lo que x podría ser igual: ___________________

Ejercicio 23

Si x e y son números primos diferentes, GCF (x, y) = _____

Ejercicio 24

Si m es un número entero, encuentre lo siguiente:

a. GCF (2m, 3m) = _______	b. GCF (4m, 10m) = ________
c. GCF (m, m) = _______	d. GCF (m, 1) = _______
e. GCF (m, 0) = _______

Tratar de encontrar el mayor factor común de dos números grandes por factorización de primos a veces lleva bastante tiempo. Hay otros dos algoritmos que puedes usar y que usaremos. Uno se llama El método chino antiguo, y el otro es El algoritmo euclidiano. Ambos métodos utilizan un hecho que podemos probar usando lo que sabemos sobre la divisibilidad. Primero, veamos algunos ejemplos.

Ejercicio 25

Calcular cada uno de los siguientes:

a. Enumerar los factores comunes de 42 y 72: _______

b. Enumerar los factores comunes de 42 y 30 (que es 72 — 42): _______

c. Enumerar los factores comunes de 30 y 12 (que es 42 — 30): _______

d. Enumerar los factores comunes de 12 y 18 (que es 30 — 12): _______

e. Enumerar los factores comunes de 12 y 6 (que es 18 — 12): _______

f. enumerar los factores comunes de 6 y 6 (que es 12 — 6): _______

g. Enumerar los factores comunes de 6 y 0 (que es 6 — 6): _______

Ejercicio 26

De tu trabajo en el ejercicio 25, computa lo siguiente:

a. GCF (42, 72) = ____	b. GCF (42, 30) = ____
c. GCF (30, 12) = ____	d. GCF (12, 18) = ____
e. GCF (12, 6) = ____	f. GCF (6, 6) = ____
g. GCF (6, 0) = ____

Los dos ejercicios anteriores ilustran que el mayor factor común de dos números es igual al mayor factor común del número menor, y la diferencia de los dos números originales; es decir, si x\(\boldsymbol{\geq}\) y, entonces GCF (x, y) = GCF (y, x — y).

Demostrar el siguiente teorema: Dejar a\(\boldsymbol{\geq}\) b. Si c|a y c|b, entonces c| (a — b).

Solución: Si c|a, entonces cn=a para algún número entero, n. Si c|b, entonces cm=b para algún número entero, m. Usando estas sustituciones para a y b, obtenemos que c| (a — b) es verdadero si c| (cn — cm) que es verdadero si c es un factor de cn — cm. Factor: cn — cm = c (n — m). Esto demuestra claramente que c es efectivamente un factor de cn — cm. Por lo tanto, si c|a y c|b, entonces c| (a — b).

Este teorema se puede utilizar para mostrar que si a\(\boldsymbol{\geq}\) b, entonces GCF (a, b) = GCF (b, a — b). El teorema anterior establece que si c es un factor de dos números, entonces también es un factor de su diferencia. De ahí que si c es un factor común de a y b, donde a\(\geq\) b, entonces c es también un factor común de b y a — b. Dado que cada factor común de a y b es también un factor común de ba y a — b, los pares (a, b) y (b, a — b) tienen los mismos factores comunes. Entonces, el GCF (a, b) y el GCF (b, a — b) también deben ser el mismo número.

El método chino antiguo emplea el hecho de que GCF (a, b) = GCF (b, a — b).

Tenga en cuenta tres propiedades más:

GCF (x, x) = x: GCF (x, x) establece que el mayor factor común de los mismos dos números es en sí mismo. Eso debería quedar claro ya que x es el mayor factor de cada número, por lo que cada uno tiene x como el mayor factor común.

GCF (x, 0) = x: GCF (x, 0) = x, es cierto ya que cada número es un factor de cero. Entonces, dado que x es el mayor factor de x, entonces x es el mayor factor común de x y 0.

GCF (x, 1) = 1: GCF (x, 1) = 1 es verdadero ya que 1 es un factor de cada número, incluyendo x, y 1 es el único factor de 1. Por lo tanto, 1 debe ser el mayor factor común de 1 y x.

Chino antiguo Método de encontrar el mayor factor común de dos números:

Escriba el GCF de los dos números entre paréntesis (recuerde que el orden de los números es irrelevante). Que eso sea igual al GCF del menor de los dos números, y la diferencia de los dos números originales. Si los números entre paréntesis son los mismos, ese número es el GCF; si uno los nuevos números son 1, 1 es el GCF. De lo contrario, repita el proceso hasta que los dos números sean iguales, o 1 sea uno de los números. A continuación se muestra un ejemplo. A la derecha hay una explicación de cómo obtuve los dos nuevos números entre paréntesis. Los nuevos números están subrayados en la explicación. No hace falta que lo escribas.

Ejemplo

GCF (546, 390)	= GCF (390, 156)	(390 es menor que 546, 390 = 546 — 390)
	= GCF (156, 234)	(156 es menor que 390, 234 = 390 — 156)
	= GCF (156, 78)	(156 es menor que 234, 78 = 234 — 156)
	= GCF (78, 78)	(78 es menor que 156, 78 = 156 — 78)
	= 78	78 es el GCF (78, 78); ¡La respuesta es un número!

Por lo tanto, GCF (546, 390) = 78.

Verifique: Primero, asegúrese de que 78 es un factor de 546 y 390:\(546 = 78 \cdots 7\) y\(390 = 78 \cdots 5\). Segundo, verifique para asegurarse de que los otros factores de cada uno (7 y 5) sean relativamente primos. Si es así, entonces 78 no es sólo un factor de 546 y 390, sino que de hecho es el factor más común de cada uno ya que no tienen otros factores comunes (porque 7 y 5 no tienen factores comunes).

A continuación se muestra otro ejemplo. A la derecha hay una explicación de cómo obtuve los dos nuevos números (subrayados) entre paréntesis. No hace falta que lo escribas.

Ejemplo

GCF (1200, 504)	= GCF (504, 696)	(504 es menor que 1200, 696 = 1200 — 504)
	= GCF (504, 192)	(504 es menor que 696, 192 = 696 — 504)
	= GCF (192, 312)	(192 es menor que 504, 312 = 504 — 192)
	= GCF (192, 120)	(192 es menor que 312, 120 = 312 — 192)
	= GCF (120, 72)	(120 es menor que 192, 72 = 192 — 120)
	= GCF (72, 48)	(72 es menor que 120, 48 = 120 — 72)
	= GCF (48, 24)	(48 es menor que 72, 24 = 72 — 48)
	= GCF (24, 24)	(24 es menor que 48, 24 = 48 — 24)
	= 24	24 es el GCF (24, 24); ¡La respuesta es un número!

Por lo tanto, GCF (1200, 504) = 24.

Verifique: Primero, asegúrese de que 24 es un factor de 1200 y 504:1200 =\(24 \cdots 50\) y\(502 = 24 \cdots 21\). Segundo, verifique para asegurarse de que los otros factores de cada uno (25 y 21) sean relativamente primos. Si es así, entonces 24 no es sólo un factor de 1200 y 504, sino que de hecho es el factor más común de cada uno ya que no tienen otros factores comunes (porque 25 y 21 no tienen factores comunes).

Aquí hay un ejemplo más:

Ejemplo

GCF (667, 437)	= GCF (437, 230)
	= GCF (230, 207)
	= GCF (207, 23)
	= GCF (23, 184)
	= GCF (23, 161)
	= GCF (23, 138)
	= GCF (23, 115)
	= GCF (23, 92)
	= GCF (23, 69)
	= GCF (23, 46)
	= GCF (23, 23)
	= 23	Recuerda: ¡La respuesta es un número!

Por lo tanto, GCF (667, 437) = 23.

Verifique: Primero, asegúrese de que 23 es un factor de 667 y 437:\(667 = 23 \cdots 29\) y\(437 = 23 \cdots 19\). Segundo, verifique para asegurarse de que los otros factores de cada uno (29 y 19) sean relativamente primos. Si es así, entonces 23 no es sólo un factor de 667 y 437, sino que de hecho es el factor más común de cada uno ya que no tienen otros factores comunes (porque 29 y 19 no tienen factores comunes).

Un comentario: Podrías haber obtenido el mayor factor común de los tres ejemplos anteriores por factoring primo. A menudo, este es un proceso largo para grandes números que parecen ser primos, como en el último ejemplo. Por lo tanto, el Chino Antiguo proporciona una forma alternativa de obtener el mayor factor común. Después de hacer algunos usando este método, exploraremos otro método alternativo, llamado Algoritmo Euclideano, que está relacionado con, pero generalmente toma menos pasos que, el Método Chino Antiguo.

Ejercicio 27

Utilice el Método Chino Antiguo para calcular el mayor factor común de los números dados. Usa la notación correcta y muestra cada paso. Exponga la respuesta. Entonces, muestra cómo revisas tu respuesta. Utilice el ejemplo anterior como modelo para hacer estos problemas.

a. GCF (143, 91) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = _____

b. GCF (468, 378) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = _____

c. GCF (504, 180) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = _____

Usar el Método Chino podría ser bastante tedioso. Echa un vistazo al siguiente ejemplo:

Ejemplo

GCF (1200, 504)	= GCF (504, 696)	(504 es menor que 1200, 696 = 1200 — 504)
	= GCF (504, 192)	(504 es menor que 696, 192 = 696 — 504)
	= GCF (192, 312)	(192 es menor que 504, 312 = 504 — 192)
	= GCF (192, 120)	(192 es menor que 312, 120 = 312 — 192)
	= GCF (120, 72)	(120 es menor que 192, 72 = 192 — 120)
	= GCF (72, 48)	(72 es menor que 120, 48 = 120 — 72)
	= GCF (48, 24)	(48 es menor que 72, 24 = 72 — 48)
	= GCF (24, 24)	(24 es menor que 48, 24 = 48 — 24)
	= 24	24 es el GCF (24, 24); ¡La respuesta es un número!

Al inicio de este ejemplo, GCF (1200, 504), tuvimos que restar 504 dos veces hasta que obtuvimos GCF (504, 192). Entonces, note una vez que escribimos GCF (504, 192), tuvimos que restar 192 dos veces hasta que obtuvimos GCF (192, 120). Básicamente, hacemos resta repetida hasta que obtenemos un número menor que el que estamos restando. La resta repetida es en realidad división. Obsérvese ese\(1200 \div 504 = 2\) resto 192. En el segundo paso, vemos GCF (504, 192), que tiene el menor de los números en los paréntesis originales (504), y el resto después de dividir el número mayor (1200) por el número menor (504). Obsérvese ese\(504 \div 192 = 2\) resto 120. Mira el cuarto paso: vemos GCF (192, 120), que tiene el menor de los números en GCF (504, 192), y el resto después de dividir el número mayor (504) por el número menor (192). El Algoritmo Euclideano utiliza la división en lugar de la resta repetida para acortar los pasos.

Cómo utilizar el Algoritmo Euclidiana para encontrar el mayor factor común de dos números:

Escriba el GCF de los dos números entre paréntesis (recuerde que el orden de los números es irrelevante). El menor de los dos números será uno de los números en los siguientes paréntesis. Para obtener el otro número, divida el número mayor por el número menor, y ponga el resto entre paréntesis. Si el número menor es un factor del número mayor, eso significa que se dividirá de manera uniforme, por lo que no habrá resto. Eso significa que el resto es 0. ¡Recuerda poner el resto entre paréntesis, no el cociente! Si uno de los nuevos números entre paréntesis es cero, el otro número es el GCF; si uno los nuevos números son 1, 1 es el GCF. De lo contrario, repita el proceso hasta que uno de los dos números sea 0 o 1. A continuación se muestra un ejemplo. Este es el primer ejemplo que hicimos usando el Método Chino Antiguo. Es posible que desee mirar hacia atrás y comparar. A la derecha hay una explicación de cómo obtuve los dos nuevos números entre paréntesis.

Ejemplo

GCF (546, 390)	= GCF (390, 156)	(390 es menor que 546,\(546 \div 390\) = 1 r 156)
	= GCF (156, 78)	(156 es menor que 390,\(390 \div 156\) = 2 r 78)
	= GCF (78, 0)	(78 es menor que 156,\(156 \div 78\) = 2 r 0)
	= 78	¡Pon el resto (0), NO 2, entre paréntesis!
		78 es el GCF (78, 78); ¡La respuesta es un número!

Por lo tanto, GCF (546, 390) = 78

Verifique: Primero, asegúrese de que 78 es un factor de 546 y 390:\(546 = 78 \= \cdots 7\) y\(390 = 78 \cdots 5\). Segundo, verifique para asegurarse de que los otros factores de cada uno (7 y 5) sean relativamente primos. Si es así, entonces 78 no es sólo un factor de 546 y 390, sino que de hecho es el mayor factor común de cada uno ya que no tienen otros factores comunes (porque 7 y 5 no tienen factores comunes

A continuación se muestra otro ejemplo: lo hicimos antes usando el Método Chino Antiguo. A la derecha hay una explicación de cómo obtuve los dos nuevos números entre paréntesis. No hace falta que lo escribas.

Ejemplo

GCF (667, 437)	= GCF (437, 230)	(437 es menor que 667,\(667 \div 437 = 1\) r 230)
	= GCF (230, 207)	(230 es menor que 437,\(437 \div 230 = 1\) r 207)
	= GCF (207, 23)	(207 es menor que 230,\(230 \div 207\) = 1 r 23)
	= GCF (23, 0)	(23 es menor que 207,\(207 \div 23\) = 9 r 0)
	= 23	¡Pon el resto (0), NO 9, entre paréntesis!
		Recuerda: ¡La respuesta es un número!

Por lo tanto, GCF (667, 437) = 23

Verifique: Primero, asegúrese de que 23 es un factor de 667 y 437:667 =\(23 \cdots 29\) y\(437 = 23 \cdots 19\). Segundo, verifique para asegurarse de que los otros factores de cada uno (29 y 19) sean relativamente primos. Si es así, entonces 23 no es sólo un factor de 667 y 437, sino que de hecho es el factor más común de cada uno ya que no tienen otros factores comunes (porque 29 y 19 no tienen factores comunes).

Un comentario: Podrías haber obtenido el mayor factor común de los tres ejemplos anteriores por factoring primo, el Método Chino Antiguo o el Algoritmo Euclideano.

PRECAUCIÓN: EL FALLO MÁS COMÚN QUE LAS PERSONAS COMETEN CUANDO USAN EL ALGORITMO EUCLIDANO ES EN EL ÚLTIMO PASO, CUANDO EL NÚMERO MENOR SE DIVIDE NO IMPORTA CUÁL ES EL COCIENTE — ES EL RESTANDO LO QUE IMPORTA — 0 VA ENTRE PARENTESIS!!! Además, cero no es un factor de ningún número excepto cero, por lo que el GCF no puede ser cero. Por otro lado, cada número es un factor de cero. Entonces, cuando cero es uno de los números entre paréntesis, el otro número es el GCF. RECUERDE COMPROBAR SIEMPRE TU Respuesta!

Antes de continuar, te voy a recordar una manera rápida y fácil de averiguar el cociente y el resto usando una calculadora simple al hacer estos problemas de división, donde necesitas encontrar el resto. Si ya puedes hacerlo fácilmente o tu calculadora lo calcula por ti, salta al Ejercicio 29. Digamos que querías dividir\(5263 \div 360\). Cuando haces esto en tu calculadora, aparece algo así como 14.619444. Esto indica que hay 14 360's en 5263, pero el resto no es evidente. Al menos, ya sabes 14 es el cociente. Para encontrar el resto en tu calculadora, ingresa\(14 \times 360\) - 5263 y el número que muestra es el resto si ignoras el signo negativo! En este caso, el resto es 223. Recuerda que el resto debe ser menor de lo que originalmente dividiste — menos de 360 en este caso. Piensa por qué funciona este proceso y pruébalo en los siguientes problemas.

Ejercicio 28

Use una calculadora para encontrar el cociente y el resto para estos problemas de división.

a.\(9876 \div 255\) =	b.\(1509 \div 164\) =
c.\(333 \div 46\) =	d.\(4657 \div 579\) =

Ejercicio 29

Utilice el Algoritmo Euclidiana para calcular el mayor factor común de los números dados. Usa la notación correcta y muestra cada paso. Exponga la respuesta. Entonces, muestra cómo revisas tu respuesta. Utilice el ejemplo anterior como modelo para hacer estos problemas. Estos son los mismos ejercicios que hiciste usando el Método Chino Antiguo en el ejercicio 27. Es posible que desee comparar los dos métodos cuando haya terminado. Por supuesto, la respuesta debería ser la misma.

a. GCF (143, 91) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = _____

b. GCF (468, 378) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = _____

c. GCF (504, 180) = GCF (,) Mostrar el cheque aquí: = GCF (,) = GCF (,) = GCF (,) = _____

Ejercicio 30

Encuentre GCF (418, 88) usando los tres métodos discutidos:

a) por factorización prima;

b) por el método chino antiguo;

c) por el Algoritmo Euclidiana

d) Escribir la respuesta, y mostrar cómo verificar la respuesta.

a. Usar factorización prima	c. Utilizar el Algoritmo Euclidiana
b. Utilizar el método chino antiguo	d. respuesta: GCF (418, 88) = _______ Comprueba tu respuesta

Ejercicio 31

Encuentre GCF (527, 465) usando los tres métodos discutidos:

a) por factorización prima;

b) por el método chino antiguo;

c) por el Algoritmo Euclidiana

d) Escribir la respuesta, y mostrar cómo verificar la respuesta.

a. Usar factorización prima	c. Utilizar el Algoritmo Euclidiana
b. Utilizar el método chino antiguo	d. respuesta: GCF (527, 465) = _______ Comprueba tu respuesta

Ejercicio 32

Encuentre GCF (353, 213) usando los tres métodos discutidos:

a) por factorización prima;

b) por el método chino antiguo;

c) por el Algoritmo Euclidiana

d) Escribir la respuesta, y mostrar cómo verificar la respuesta.

a. Usar factorización prima	c. Utilizar el Algoritmo Euclidiana
b. Utilizar el método chino antiguo	d. respuesta: GCF (353, 213) = _______ Comprueba tu respuesta

Ahora que hemos cubierto mucho sobre números primos y factorización, vamos a volver a visitar las pruebas de divisibilidad una vez más.

Ejercicio 33

Obsérvese que la prueba de divisibilidad para 6 utilizó otras dos pruebas de divisibilidad, la de 2 y la de 3. Además, tenga en cuenta que la prueba de divisibilidad para 15 utilizó otras dos pruebas de divisibilidad, la de 5 y 3. ¿Por qué crees que eso funciona? ¿Cuál es el procedimiento para averiguar qué pruebas usar?

Hecho: Si cada primo en la descomposición de un número compuesto, c, se enumera sólo una vez, la prueba de divisibilidad para ese número compuesto es la siguiente: c|n si cada uno de los factores primos de c divide n.

La factorización principal para 6 es\(2 \cdot 3\). Dado que ambos primos solo se enumeran una vez, la prueba de divisibilidad para 6 es la unión de las pruebas de divisibilidad para 2 y 3.

La factorización principal para 15 es\(5 \cdot 3\). Dado que ambos primos solo se enumeran una vez, la prueba de divisibilidad para 15 es la unión de las pruebas de divisibilidad para 5 y 3.

Ejercicio 34

Escribe la prueba de divisibilidad para 14:

Ejercicio 35

Utilice la prueba de divisibilidad para 14 para ver cuál de las siguientes opciones es verdadera. Mostrar trabajo.

a. 14|742

b. 14|968

c. 14|483

Ejercicio 36

La factorización principal para 20 es\(2 \cdots 2 \cdots 5\). La prueba de divisibilidad para 2, 2 y 5 no funciona ya que 20|70 es falsa aunque 2|70 y 2|70 y 5|70. ¿Por qué no funciona?

Ejercicio 37

Esta es la prueba de divisibilidad para 20:20|n si 4|n y 5|n. ¿Por qué crees que esto funciona?

Ejercicio 38

Intente escribir las pruebas de divisibilidad para cada uno de los siguientes números:

a. 12|n si

b. 18|n si

Prueba de divisibilidad para un número compuesto: Supongamos\(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\),... son todos números primos diferentes. (Se puede pensar en\(P_{1}\) como el primer primo (2),\(P_{2}\) como el segundo primo (3),\(P_{3}\) como el tercer primo (5),\(P_{4}\) como el cuarto primo (7),\(P_{5}\) como el quinto primo (11), etc. Supongamos la factorización de primos de un número, c, es\((P_{a})^{x} \cdots (P_{b})^{y} \cdots ... \cdots (P_{c})^{z}\) donde\(P_{a} \neq P_{b} \neq P_{c}\), etc. entonces, c|n si\((P_{a})^{x}\) |n Y\((P_{b})^{y}\) |n Y\((P_{c})^{z}\) |n, etc.

Ejemplo

La prueba de divisibilidad para los siguientes números se realiza factorizándolos primero.

1) Prueba de divisibilidad para 26: Desde 26 =\(2 \cdots 13\): 26|n si 2|n y 13|n.

2) Prueba de divisibilidad para 12: Desde 12 =\(2^{2} \cdots 3\): 12|n si 4|n y 3|n.

3) Prueba de divisibilidad para 24: Desde 24 =\(2^{3} \cdots 3\): 24|n si 8|n y 3|n.

4) Prueba de divisibilidad para 45: Desde 45 =\(3^{2} \cdots 5\): 45|n si 9|n y 5|n.

5) Prueba de divisibilidad para un número, c, cuya factorización prima es\(2^{3} \cdots 3^{2} \cdots 5^{2} \cdots 11\): c|n si 8|n Y 9|n y 25|n y 11|n

7) Prueba de divisibilidad para un número, b, cuya factorización prima es\(3^{2} \cdots 5 \cdots 7^{2} \cdots 11^{2}\): b|n si 9|n Y 5|n y 49|n y 121|n

Ejercicio 39

Escriba la prueba de divisibilidad para los siguientes números:

a. 35: ____

b. 28: ____

c. 75: ____

d. 56: ____

e. Un número, c, cuya descomposición primo es\(2^{2} \cdots 3^{3} \cdots 5^{2} \cdots 11\): ____

f. Un número, d, cuya descomposición primo es\(2^{4} \cdots 3 \cdots 5 \cdots 11\): ____

Ejercicio 40

Este ejercicio es para que pienses en lo que harías si alguien te pidiera que encontraras el factor MENOS común de un conjunto de números, en lugar del mayor factor común.

a. Encontrar el factor menos común de 55 y 66: ____

b. Encontrar el factor menos común de 10 y 12: ____

c. Encontrar el factor menos común de 1 y 8: ____

d. Encontrar el factor menos común de 3, 6 y 9: ____

e. Encontrar el factor menos común de m y n: ____

f. ¿Crees que es una pregunta útil encontrar el factor menos común de un conjunto de números? ¿Por qué o por qué no? Explica tu respuesta.

g. ¿Cuál es el factor menos común de cualquier conjunto de números? ____