9.3: Datos sobre la comparación de fracciones
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Supongamos que a y c son números enteros, y b y d son números de conteo.
Dos fracciones, a/b y c/d, son equivalentes si y sólo si ad = bc. En otras palabras,
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc \nonumber \]
Nota:\(\Leftrightarrow\) significa “si y solo si”, así que si ad = bc, entonces las dos fracciones a/b y c/d son equivalentes, y viceversa. El uso de este método para determinar si dos fracciones son equivalentes se llama comparar productos cruzados.
Ejemplos: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas comparando productos cruzados. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no.
6/8 = 9/12
Solución
Desde 6\(\cdot\) 12 = 8\(\cdot\) 9, la afirmación es verdadera. Por lo tanto, 3/4 y 9/12 son fracciones equivalentes.
15/24 = 10/18
Solución
Desde el 15\(\cdot\) 18\(\neq\) 24\(\cdot\) 10, la declaración es falsa. Por lo tanto, 15/24 y 10/18 no son fracciones equivalentes.
Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas comparando productos cruzados. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no. Muestra tu trabajo y razonamiento.
a. 14/25 = 28/50
b. 25/35 = 10/14
c. 12/16 = 25/40
La Ley Fundamental de las Fracciones:
Para cualquier número racional, a/b y cualquier entero c, a/b = ac/bc. Las fracciones a/b y ac/bc se denominan fracciones equivalentes.
Escribe cinco fracciones equivalentes para cada fracción dada:
a. 2/3: __________________________________________________________
b. 5/7: __________________________________________________________
c. 3/8: __________________________________________________________
Dos fracciones, a/b y c/d, son equivalentes si y sólo si los numeradores son iguales después de escribir cada fracción con un denominador común.
Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no.
6/8 = 9/12
Solución
Escribe cada fracción con un denominador común de 24 aplicando la ley fundamental de fracciones: 6/8 = 18/24, y 9/12 = 18/24. Dado que los numeradores son iguales cuando cada fracción se escribe con un denominador común, 6/8 y 9/12 son equivalentes.
15/24 = 10/18
Solución
Escribe cada fracción con un denominador común de 72 aplicando la ley fundamental de fracciones: 15/24 = 45/72, y 10/18 = 40/72. Dado que los numeradores no son iguales cuando cada fracción se escribe con un denominador común, 15/24 y 10/18 no son equivalentes.
Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas escribiendo cada fracción con un denominador común. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no. Muestra tu trabajo y razonamiento.
a. 14/25 = 28/50
b. 25/35 = 10/14
c. 12/16 = 25/40
Una fracción, a/b, está en forma más simple (reducida) si GCF (a, b) = 1.
Una forma de simplificar las fracciones es factorizar el numerador y el denominador, y luego “cancelar” cualquier factor común. Otra forma es
(1) encontrar el GCF del numerador y denominador,
(2) reescribir tanto el numerador como el denominador como el producto del GCF (a, b) y otro factor, y luego
(3) “cancelar” cualquier factor común. Cuando cancelas todo ya sea desde el numerador y/o denominador, siempre hay un factor de 1 que sigue ahí.
Escribe 315/350 en forma más simple usando cada uno de los dos métodos que acabamos de describir.
Método 1: Factorización de Prime:\[\frac{315}{350} = \frac{3 \times 3 \times 5 \times 7}{2 \times 5 \times 5 \times 7} = \frac{9}{10} \nonumber \]
Método 2: GCF (315, 350) = 35:\[\frac{315}{350} = \frac{9 \times 35}{10 \times 35} = \frac{9}{10} \nonumber \]
Escribe cada fracción en la forma más simple usando cada uno de los dos métodos:
(1) desfactorización de primos y
(2) encontrar GCF como se muestra en el ejemplo anterior.
Mostrar la factorización real para cada método, y luego reducir a los términos más bajos.
a. Método 1:\(\frac{378}{675}\)
Método 2:\(\frac{378}{675}\)
b. Método 1:\(\frac{247}{323}\)
Método 2:\(\frac{247}{323}\)
Dos fracciones, a/b y c/d, son equivalentes si las dos fracciones son iguales cuando ambas están escritas en la forma más simple.
Ejemplos: Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no.
6/8 = 9/12
Solución
En la forma más simple, 6/8 = 3/4, y 9/12 = 3/4. Por lo tanto, 6/8 y 9/12 son equivalentes.
15/24 = 10/18
Solución
En la forma más simple, 15/24 = 5/8, y 10/18 = 5/9. Por lo tanto, 15/24 y 10/18 no son equivalentes.
35. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas escribiendo cada fracción en la forma más simple. Declarar si el par de fracciones es equivalente o no. Muestra tu trabajo y razonamiento.
a. 14/25 = 28/50
b. 25/35 = 10/14
c. 12/16 = 25/40
A continuación se muestra una manera de comparar dos fracciones que son desiguales mediante el uso de productos cruzados.
\[ \begin{aligned} \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad < bc && \text{ and } && \frac{a}{b} > \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad > bc \end{aligned} \nonumber \]
Al escribir las fracciones, a/b < c/d, a es el primer número escrito y d es el último número escrito. a y d se llaman los extremos (números externos cuando se escriben como a/b < c/d), y su producto se escribe a la izquierda del signo de desigualdad cuando tomas los productos cruzados. Los otros dos números, b y c, se llaman las medias (cuando se escriben como a/b < c/d, estos son los números internos), y su producto se escribe a la derecha del signo de desigualdad cuando tomas los productos cruzados. Solo hay tres casos posibles al comparar dos fracciones, a/b y c/d. O bien la primera fracción (a/b) es igual a la segunda (c/d), en cuyo caso ad = bc; la primera (a/b) es menor que la segunda (c/d), en cuyo caso ad < bc; or the first (a/b) is more than the second (c/d), in which case ad > bc.
Compara 2/5 y 3/7 usando productos cruzados.
Solución
Multiplicar los extremos (2 y 7) y poner a la izquierda. Multiplicar las medias (5 y 3) y poner a la derecha. Compara los productos.
Desde 2\(\cdot\) 7 < 5\(\cdot\) 3, luego 2/5 < 3/7.
Compara 6/7 y 5/6 usando productos cruzados.
Solución
Multiplique los números exteriores (6 y 6) y póngalos a la izquierda. Multiplique los números interiores (7 y 5) y póngalos a la derecha. Compara los productos.
Desde 6\(\cdot\) 6 > 7\(\cdot\) 5, luego 6/7 > 5/6.
Utilice productos cruzados para comparar cada una de las siguientes fracciones. Uso < or >.
| a. 4/5 y 5/8 | b. 12/35 y 11/18 | c. 13/15 y 14/17 |
Al comienzo de este conjunto de ejercicios, comparó varias fracciones usando los círculos de fracciones y la matriz de fracciones. Un problema fue comparar 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/8, 1/9, 1/10 y 1/12, y ponerlos en orden de menor a mayor usando el símbolo menor que.
La respuesta fue: 1/12 < 1/10 < 1/9 < 1/8 < 1/6 < 1/5 < 1/4 < 1/3 < 1/2
Esto se puede verificar fácilmente usando productos cruzados. Se puede verificar uno a la vez: 1/12 < 1/10 desde 10 < 12, y 1/10 < 1/9 porque 9 < 10, etc.
Comprueba la validez de la respuesta que obtuviste para el ejercicio 9a. Escribe la respuesta. Luego verifique usando productos cruzados.
Comprueba la validez de la respuesta que obtuviste para el ejercicio 9b. Escribe la respuesta. Luego verifique usando productos cruzados.
Sumando y restando fracciones
Para sumar o restar fracciones, las fracciones deben tener un denominador común. A continuación se muestra la regla para sumar o restar fracciones que tienen un denominador común.
\[ \begin{aligned} \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} && \text{ and } && \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} \end{aligned} \nonumber \]
Para sumar fracciones que no tengan un denominador común, primero debes reescribir cada fracción como una fracción equivalente para que ambas fracciones tengan un denominador común, O puedes usar la siguiente regla para la suma de fracciones.
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \nonumber \]
Nota: Si vas a sumar fracciones reescribiendo cada fracción con un denominador común, suele ser preferible encontrar el mínimo denominador común, que es el múltiplo menos común de los dos denominadores. Ya sea que hagas esto o no, siempre debes escribir la respuesta en la forma más simple después de sumar o restar.
Multiplicar dos fracciones
La regla para multiplicar dos fracciones es multiplicar los numeradores juntos para obtener el nuevo numerador, y multiplicar los denominadores juntos para obtener el nuevo denominador.
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \nonumber \]
Es más fácil primero “cancelar” cualquier factor común antes de multiplicarse. Esto se puede hacer factorizando primero primero los numeradores y denominadores, y escribiendo todos los factores del numerador en el numerador de la fracción, y todos los factores del denominador en el denominador de la fracción. Entonces, cancele cualquier factor común antes de multiplicar. Si haces esto, la fracción ya estará en la forma más simple.
Dividiendo dos fracciones
Para entender la regla para dividir dos fracciones, vea si puede seguir el razonamiento a continuación.
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \cdot \frac{\frac{d}{c}}{\frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \nonumber \]
La regla para dividir dos fracciones es la siguiente: Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el recíproco de esa fracción. Entonces, usa la regla para multiplicar como se acaba de explicar.
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \nonumber \]
Calcular cada una de las siguientes usando el orden de las operaciones. Escribe cada respuesta en términos más simples. Mostrar todo el trabajo.
a.\[ \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} - \frac{5}{6} \div \frac{7}{3} \nonumber \]
b.\[\frac{5}{6} \div \frac{4}{5} + \frac{5}{6} \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{5}\right) \nonumber \]
A diferencia de los enteros, hay infinitamente muchos números racionales entre dos números racionales cualesquiera. No tiene sentido hablar de dos números racionales consecutivos. Por ejemplo, entre 4/9 y 5/9, hay infinitamente muchos números racionales. Una manera fácil de enumerar algunas es escribir fracciones equivalentes para 7/9 y 8/9. Un simple denominador común sería 90, así que mira 70/90 y 80/90. Es fácil ver estos números racionales entre 70/90 y 80/90:71/90, 72/90, 73/90, 74/90, 75/90, 76/90, 77/90, 78/90, 79/90. Por supuesto, si hubiera elegido fracciones equivalentes con un denominador mayor (900 o 900,000, etc.), fácilmente podrías enumerar muchos más números racionales entre 7/9 y 8/9.
Si quisieras enumerar solo un número racional entre 7/9 y 8/9, podrías elegir uno de los de la lista anterior, o simplemente podrías encontrar el punto medio (o promedio) de los dos. Para encontrar el promedio de dos números cualesquiera, sumar y dividir por 2. Ya que dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por la mitad, sumar y multiplicar por la mitad. Obsérvese que el promedio de 7/9 y 8/9 es 1/2 (7/9 + 8/9) = 1/2 (15/9) = 15/18 o 5/6.
Encuentra 5 números racionales, escritos con un denominador común, entre 2/5 y 3/5.
Encuentra el promedio de 5/11 y 6/11.
Encuentra el promedio de 3/7 y 4/7
Si se le pide encontrar varios números racionales entre dos números racionales que no tienen un denominador común, primero debe reescribir cada fracción como fracciones equivalentes que tengan un denominador común. Por ejemplo, para encontrar 4 números racionales entre 4/7 y 5/6, primero reescribe 4/7 y 5/6 con un denominador común de 42:24/42 y 35/42. En este caso, es fácil encontrar 4 números racionales entre 4/7 y 5/6:25/42, 26/42, 27/42, etc.
Aquí hay otro: Encuentra 5 números racionales entre 3/4 y 4/5. Primero, reescribe 3/4 y 4/5 con un denominador común de 20:15/20 y 16/20. Entonces, encontrar fracciones equivalentes con un denominador mayor que 20:150/200 y 160/200 son opciones fáciles, aunque podrías haber elegido 90/120 y 96/120. En cualquier caso, hay infinitamente muchas opciones. Probablemente elegiría 151/200, 152/200, 153/200, 154/200 y 155/200.
Encuentra 3 números racionales, escritos con un denominador común, entre 1/3 y 2/5.
Encuentra 3 números racionales, escritos con un denominador común, entre 1/2 y 1/3. (Cuidado: ¿Qué número es menor y cuál es mayor?)
Encuentra 5 números racionales, escritos con un denominador común, entre 5/6 y 4/5.
(Cuidado: ¿Qué número es menor y cuál es mayor?)
Encuentra el promedio de 5/8 y 6/7.
Encuentra el promedio de 5/7 y 5/8.
Ahora, trabajaremos en algunos problemas de palabras donde podamos usar el significado de fracciones para resolver fácilmente los problemas. Usaremos los círculos de fracciones como manipuladores.
Problema: Un día, 24 de mis alumnos se presentaron a clase. Esto sólo representaba 3/4 de mis alumnos. ¿Cuántos alumnos se inscribieron en la clase? ¿Cuántos estuvieron ausentes?
Solución: Sabemos que 24 es 3/4 del total de alumnos en la clase. Eso significa que 4/4 conforma a todos los alumnos. Saca el círculo de fracciones donde 4 partes iguales conforman un todo. Sabes que tres de esas partes representan a 24 alumnos. Si 3 de esas partes representan 24 alumnos, entonces cada una de las partes iguales representa a 8 alumnos. Ya que 4 partes iguales representan toda la clase, entonces debe haber 8 · 4, o 32 alumnos matriculados. Una de las partes iguales representa a los estudiantes ausentes, por lo que 8 estudiantes están ausentes.
También podrías mostrar esto pictóricamente — ves círculos en lugar de los círculos de fracción.
| Paso 1:4 partes iguales conforman un todo. |
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| Paso 2:3 partes iguales, o 3/4, representa 24 alumnos. La parte sobrante representa 1/4 de los alumnos. |
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| Paso 3: Si esos tres círculos representan 24, entonces 8 deben estar en cada círculo. Ahora está claro que hay 32 alumnos en la clase, y 8 están ausentes. |
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La imagen en el Paso 3 es cómo se ve la imagen final.
Aquí hay otro ejemplo. 14 maestros estuvieron ausentes un día. Esto representa a 2/11 de los maestros que trabajan en la escuela. ¿Cuántos profesores trabajan en la escuela? Dado que 11 partes iguales conforman un todo, y 2 de esas partes representan 14, entonces cada una de las 11 partes iguales representa a 7 maestros. Entonces, 11 de las partes iguales representan a 77 maestros.
Aquí hay un ejemplo más:
Un día, 7/9 de las personas de un negocio local acudieron a trabajar. Allí trabajaban 36 personas. ¿Cuántas personas vinieron a trabajar?
Primero, ya que 9 partes iguales conforman un todo, dibuja 9 círculos. Usted sabe que 7 de esos representan 7/9 y 2 de ellos representan 2/9. También sabes, el total es igual a 36, lo que significa que 4 va a cada parte igual. Por lo tanto, 28 llegaron a trabajar, y 8 no. Aquí está la imagen:
Para cada uno de los siguientes problemas de palabras, dibuje modelo similar a los dos ejemplos anteriores para resolver el problema. Es posible que también quieras usar círculos de fracciones.
66 alumnos de mi clase pasaron la primera prueba. Eso representa 11/12 de mis alumnos. ¿Cuántos alumnos no pasaron?
Un día 36 alumnos de primer grado trajeron una lonchera a la escuela. Esto fue 3/7 de los alumnos de primer grado. ¿Cuántos no compraron el almuerzo?
Tengo 120 alumnos este semestre. 5/8 de mis alumnos son de sexo femenino. ¿Cuántas son mujeres y cuántas son masculinas?
Informar un problema de palabras para resolver usando fracciones. Asegúrate de hacer una pregunta. Entonces resuelve el problema usando modelos. Explicar cómo funciona el modelo.
Escribe aquí el problema de la palabra:
Resuelve el problema usando modelos aquí: