1.6: Trigonometría y Radianes

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 108191

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

1.6.1: Regla sinusoidal

Los libros de texto escolares tienden a enunciar la Regla Sinusoidal para un triángulo$ABC$ sin preocuparse por qué es cierto. Por lo que a menudo no logran dar el resultado en su forma completa:

Teorema$\PageIndex{1}$

Si$R$ es el radio del círculo circunscrito del triángulo$ABC$, entonces

$\dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}} = 2R$

Esta forma completa explica que las tres proporciones

$\dfrac{a}{\sin{A}}, \dfrac{b}{\sin{B}}, \dfrac{c}{\sin{C}}$

son todos iguales porque todos son iguales al diámetro$2R$ del circuncírculo de$\triangle ABC$ — una observación adicional que bien puede sugerir cómo probar el resultado (ver Problema 32).

Problema 32

Dado cualquier triángulo$ABC$, construir los bisectores perpendiculares de los dos lados$AB$ y$BC$. Que estos dos bisectores perpendiculares se reúnan en$O$.

a) Explique por qué$OA = OB = OC$.

(b) Dibujar el círculo con centro$O$ y con radio$OA$. Hay tres posibilidades:

(i) El centro$O$ se encuentra en uno de los lados del triángulo$ABC$.

(ii) El centro$O$ se encuentra dentro del triángulo$ABC$.

(iii) El centro$O$ se encuentra fuera del triángulo$ABC$.

El caso (i) conduce directamente a la Regla Sinusoidal para un triángulo en ángulo recto$ABC$ (recordando eso$\sin{90} = 1$). Abordamos el caso (ii) y dejamos el caso (iii) al lector.

(ii) Extender la línea$BO$ para encontrarse de nuevo con el círculo en el punto$A^{\prime}$. Explique por qué$\angle BA^{\prime}C = \angle BAC = \angle A$, y por qué$\angle A^{\prime}CB$ es un ángulo recto. Concluir que

$\sin{A} = \dfrac{BC}{A^{\prime}B} = \dfrac{a}{2R}$

y de ahí que

$\dfrac{a}{\sin{A}} = 2R \ \ \ \ \left( = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}}\right) $

Problema 33

Vamos$\triangle = \text{area}(\triangle ABC)$.

a) Demostrar que

$\Delta=\dfrac{1}{2} \cdot a b \cdot \sin C$

b) Demostrarlo$4R\triangle = abc$.

1.6.2: Radianes y triángulos esféricos

No hay una unidad dada por Dios para medir la distancia; diferentes opciones de unidad dan lugar a respuestas que están relacionadas por escala. Sin embargo, la situación es diferente para los ángulos. En primaria y secundaria medimos el giro en grados —donde está medio giro$180^{\circ}$, un ángulo recto es$90^{\circ}$, y un giro completo es$360^{\circ}$. Esta unidad angular data de los antiguos babilonios (~ 2000 a.C.). No estamos seguros de por qué eligieron$360$ unidades en turno completo, pero parece estar relacionado con el número aproximado de días en un año (el tiempo requerido para que los cielos hagan una rotación completa en el cielo nocturno), y con el hecho de que escribieron sus números en “base$60$”. Sin embargo, la elección no es más objetivamente matemática que medir la distancia en pulgadas o en centímetros.

Después de crecer con la idea de que los ángulos se miden en grados, descubrimos hacia el final de la secundaria que:

hay otra unidad de medida para los ángulos, es decir, los radianes.

Puede que al principio no quede claro que se trata de una unidad totalmente natural, dada por Dios. El tamaño o la cantidad de giro de un ángulo en el punto se$A$ puede capturar de manera absoluta dibujando un círculo de radio$r$ centrado en el punto$A$ y midiendo la longitud del arco que el ángulo corta en este círculo. El tamaño del ángulo (en radianes) del ángulo a$A$ se define entonces como la relación

$\dfrac{\text{arc length}}{\text{radius}}$.

Es decir,

$\text{size of angle at the point} \ A = \text{arc length cut off on a circle of radius 1 centred at the apex} \ A$

De ahí que un ángulo recto sea de tamaño$\dfrac{\pi}{2}$ radianes; media vuelta es igual a$\pi$ (radianes); un giro completo es igual a$2\pi$ (radianes); cada ángulo en un triángulo equilátero es igual a$\dfrac{\pi}{3}$ (radianes); los tres ángulos de un triángulo tienen suma$\pi$; y los ángulos de un polígono con $n$los lados tienen suma$(n - 2)\pi$ (ver Problema 230 en el Capítulo 6).

Por un tiempo después de la introducción de radianes seguimos enfatizando la palabra radianes cada vez que damos la medida de un ángulo para enfatizar que ya no estamos usando grados. Pero esto no es realmente un cambio a una nueva unidad: esta nueva forma de medir ángulos es en cierto sentido objetiva —así que pronto dejamos caer toda mención de la palabra “radianes” y simplemente nos referimos al tamaño de un ángulo (en radianes) como si se tratara de un número puro.

Este interruptor afecta el significado de las funciones trigonométricas familiares. Y aunque seguimos usando los mismos nombres ($\sin, \cos, \tan$, etc.), se vuelven ligeramente diferentes como funciones, ya que ahora siempre se supone que las entradas están en radianes.

El verdadero beneficio por hacer este cambio proviene de la forma en que reconoce la conexión entre ángulos y círculos. Esto ciertamente facilita el cálculo de longitudes de arco circular y áreas de sectores (un arco con ángulo$\theta$ en un círculo de radio$r$ ahora tiene longitud$\theta r$; y un sector circular con ángulo$2\theta$ ahora tiene área$\theta r^{2}$). Pero el principal beneficio —que se espera que todos los estudiantes aprecien eventualmente— es que este cambio de perspectiva resalta el vínculo fundamental entre$\sin{x}, \cos{x}$, y$e^{x}$:

“$\cos{x}$" se convierte en el derivado de$\sin{x}$
“$-\sin{x}$" se convierte en el derivado de$\cos{x}$, y
las tres funciones están relacionadas por la identidad totalmente inesperada

$e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$

El siguiente problema llama la atención sobre un hermoso resultado que revela, en un precálculo, un ajuste numérico precomplejo, una hermosa consecuencia de pensar en ángulos en términos de radianes. El objetivo es descubrir una fórmula para el área de un triángulo esférico en términos de sus ángulos y$\pi$, que vincule la fórmula para la circunferencia de un círculo con la de la superficie de una esfera.

Supongamos que deseamos hacer geometría en la esfera. No hay problema para decidir cómo dar sentido a los puntos. Pero es menos claro a qué nos referimos con líneas (rectas), o segmentos de línea.

Antes de tener debidamente en cuenta los vientos y las mareas, un piloto de aerolínea y un capitán de barco necesitan saber encontrar el camino más corto uniendo dos puntos dados$A$,$B$ en una esfera. Si ambos puntos se encuentran en el ecuador, es plausible (y correcto) que la ruta más corta sea viajar de$A$ a$B$ lo largo del ecuador. Si pensamos que el ecuador está en un plano horizontal a través$O$ del centro de la esfera, entonces podemos notar que podemos cambiar el ecuador en un círculo de longitud girando la esfera para que el plano “horizontal” (a través$O$) se convierta en un plano “vertical” (a través de $O$). Entonces podemos ver dos puntos$A$ y$B$ que ambos se encuentran en el mismo círculo de longitud que se encuentran en un “ecuador vertical” que pasa por$A$,$B$ y los polos Norte y Sur: la distancia más corta de a, por lo tanto,$B$ debe estar$A$ a lo largo de ese círculo de longitud.

Si ahora giramos la esfera por algún otro ángulo, obtenemos un “ecuador inclinado” que pasa por las imágenes de los puntos (adecuadamente inclinados)$A$ y$B$: estos “ecuador inclinados” se llaman grandes círculos. Cada gran círculo es la intersección de la esfera con un plano que atraviesa el centro$O$ de la esfera.

Entonces

para encontrar el camino más corto de$A$ a$B$:

tomar el plano determinado por los puntos$A$,$B$ y el centro de la esfera$O$;
encontrar el gran círculo donde este plano corta la esfera;
luego seguir el arco de$A$ a$B$ lo largo de este gran círculo.

Una vez que tenemos puntos y segmentos de línea (es decir, arcos de grandes círculos) en la esfera, podemos pensar en triángulos, y en los ángulos en tal triángulo. En un triángulo$ABC$ sobre la esfera, los lados$AB$ y$AC$ son arcos de grandes círculos que se encuentran en$A$. Al girar la esfera podemos imaginar$A$ como estando en el polo Norte; así los dos lados$AB$ y$AC$ se comportan igual que arcos de dos círculos de longitud que emanan del polo Norte. En particular, podemos medir el ángulo entre ellos (así es exactamente como medimos la longitud): los dos arcos$AB$,$AC$ de círculos de longitud que parten del polo Norte$A$ en diferentes direcciones horizontales antes de curvarse hacia el sur, y el ángulo entre ellos es el ángulo entre estas dos direcciones horizontales iniciales (es decir, el ángulo entre el plano determinado por$O$$A$,$B$ y el plano determinado por$O$,$A$,$C$).

Problema 34

Imagina un triángulo$ABC$ en la esfera unitaria (con radio$r = 1$), con ángulo$\alpha$ entre$AB$ y$AC$, ángulo$\beta$ entre$BC$ y$BA$, y ángulo$\gamma$ entre$CA$ y$CB$. Ahora está en condiciones de derivar la fórmula notable para el área de tal triángulo esférico.

$Screen Shot 2019-09-15 a las 4.28.00 PM.png$

Figura$\PageIndex{1}$: Ángulos sobre una esfera

(a) Que los dos grandes círculos que contienen los lados$AB$ y se$AC$ reúnan de nuevo en$A^{\prime}$. Si imaginamos$A$ como estar en el polo Norte, entonces$A^{\prime}$ será en el polo Sur, y el ángulo entre los dos grandes círculos en también$A^{\prime}$ lo será$\alpha$. La rebanada contenida entre estos dos grandes círculos se llama lune con ángulo$\alpha$.

(i) ¿Qué fracción de la superficie de toda la esfera está contenida en esta lune de ángulo$\alpha$? Escribe una expresión para el área real de este lune.

(ii) Si los lados$AB$ y$AC$ se extienden hacia atrás$A$, estas extensiones hacia atrás definen otra lune con el mismo ángulo$\alpha$, y la misma superficie. Anota el área total de estos dos lunes con ángulo$\alpha$.

b) i) Repetir la parte a) para las dos partes$BA$,$BC$ reunidas en el vértice$B$, para encontrar la superficie total de la reunión de dos lunes en$B$ y$B^{\prime}$ con ángulo$\beta$.

ii) Hacer lo mismo para las dos partes$CA$,$CB$ reunidas en el vértice$C$, para encontrar la superficie total de los dos lunes reunidos en$C$ y$C^{\prime}$ con ángulo$\gamma$.

c) i) Sumar las áreas de estos seis lunes (dos con ángulo$\alpha$, dos con ángulo$\beta$ y dos con ángulo$\gamma$). Comprueba que este total incluya cada parte de la esfera al menos una vez.

ii) ¿Qué partes de la esfera se han cubierto más de una vez? ¿Cuántas veces has cubierto el área del triángulo original$ABC$? Y ¿cuántas veces has cubierto el área de su triángulo hermano$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$?

iii) Por lo tanto, encontrar una fórmula para el área del triángulo$ABC$ en términos de sus ángulos:$\alpha$ en$A$,$\beta$ en$B$, y$\gamma$ en$C$

1.6.3: Forma polar y pecado (A +B)

El siguiente problema es menos elemental que la mayor parte del Capítulo 1, pero se incluye aquí para llamar la atención sobre la facilidad con que las fórmulas de adición en trigonometría pueden ser reconstruidas una vez que se conoce la representación de forma polar de un número complejo. Aquellos que aún no están familiarizados con este material pueden saltarse el problema, pero tal vez deberían recordar el mensaje subyacente (es decir, que una vez que uno está familiarizado con este material, no hay necesidad de confundirse nunca más sobre las fórmulas de adición trigonométrica).

Problema 35

(a) Usted puede saber que cualquier número complejo$z = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ de módulo$1$ (es decir, que se encuentra en el círculo unitario centrado en el origen) puede escribirse en la forma de módulo$z = e^{i\theta}$. Usa este hecho para reconstruir en tu cabeza las identidades trigonométricas para$\sin{(A + B)}$ y para$\cos{(A + B)}$. Utilízalas para derivar la identidad para$\tan{(A + B)}$.

b) Al elegir de$X, Y$ manera que$A = \dfrac{X + Y}{2}$, y$B = \dfrac{X-Y}{2}$, utilizar la parte (a) para reconstruir las identidades trigonométricas estándar para

$\sin{X} + \sin{Y}, \sin{X} - \sin{Y}, \cos{X} + \cos{Y}, \cos{X} - \cos{Y}$

(ii) Verifique su respuesta a (b)$\cos{X} - \cos{Y}$ por sustituyendo$X = 60^{\circ}$, y$Y = 0^{\circ}$.

d) i) Si$A + B + C + D = \pi$, probar que

$\sin{A}\sin{B} + \sin{C}\sin{D} = \sin{(B+ C)}\sin{(B+D)}$

(ii) Dado un cuadrilátero cíclico$WXYZ$, con$\lt XWY = A$,,$\lt WXZ = B$,$\lt YXZ = C$$\lt WYX = D$, deducir el Teorema de Tolomeo:

$WX \times YZ + WZ \times XY = WY \times XZ$

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Problema 32

Problema 33

Problema 34

Problema 35