3: Problemas verbales

Toda la evidencia sugiere que las formas de la realidad son matemáticas.

George Steiner (1929—)

El capítulo anterior se centró en aspectos de la aritmética de los números puros, en su mayoría sin ningún contexto circundante. Sin embargo, nuestra experiencia matemática no comienza con números puros. A nivel escolar, los conceptos matemáticos, y el razonamiento que aportamos para entenderlos y utilizarlos, tienen sus raíces en el lenguaje. Y en la vida real, cada aplicación de las matemáticas comienza con una situación que se describe con palabras, y que tiene que ser reformulada matemáticamente antes de que podamos comenzar a calcular, y sacar conclusiones matemáticas significativas. Los problemas verbales juegan un papel importante, aunque limitado, para ayudar a los estudiantes a apreciar y manejar las sutilezas involucradas en

el arte de usar las matemáticas que conocemos
para resolver problemas dados en palabras.

Este arte de usar las matemáticas implica dos procesos distintos -pero interactuando-, a los que nos referimos aquí como “simplificar” y “reconocer la estructura”.

• Para identificar el corazón matemático de un problema que surge en el mundo real, primero uno puede tener que simplificar, es decir, dejar de lado los detalles que parecen poco importantes o irrelevantes, y luego simplificar tanto como sea posible sin cambiar el problema subyacente (por ejemplo, reemplazando algunos incómodos característica por una cantidad diferente que es más fácil de medir, o por una aproximación con la que es más fácil trabajar).

Esta etapa “simplificadora” está bien ilustrada por el título irónico del clásico libro de texto Considera una vaca esférica... de John Harte (1985):

La producción de leche en una granja lechera era baja, por lo que [...] se ensambló un equipo multidisciplinario de profesores. [... Después de] dos semanas de intensa investigación in situ [...] el agricultor recibió la escritura, y la abrió para leer [...] “Considera una vaca esférica.”.

El punto a destacar aquí es que los juicios necesarios a la hora de “simplificar” son sutiles, dependen de una comprensión de la situación particular que se modela, y pueden conducir a un modelo que a primera vista parece ser contradictorio, pero que puede no ser tan tonto como parece -y que por lo tanto necesita ser explicó con sensibilidad a los no matemáticos.

En contraste, los problemas verbales pasan por alto la etapa de “simplificación” y se centran en cambio en “reconocer la estructura”: presentan al solucionador un problema que ya es esencialmente matemático, pero donde la estructura interna se contextualiza, y se describe con palabras. Todo lo que tiene que hacer el solucionador es interpretar la descripción verbal de una manera que extraiga la estructura justo debajo de la superficie, y traducirla en una forma matemática familiar. Es decir, los problemas verbales están diseñados para desarrollar facilidad con el proceso de “reconocer la estructura”, evitando al mismo tiempo la complicación de esperar que los estudiantes hagan juicios de modelización del tipo que requiere el proceso más sutil de “simplificación”.

Debido a que los problemas verbales se centran en el segundo proceso de “reconocer la estructura”, tienden a incorporar isomorficamente la estructura matemática relevante. La estructura subyacente aún necesita ser identificada e interpretada, pero es probable que las interpretaciones sean estándar, sin necesidad de suposiciones imaginativas y simplificaciones antes de poder discernir la estructura. Por ejemplo, si un problema en la escuela primaria se refiere a un número desconocido de “dulces” para ser “compartidos” entre seis niños, entonces la colección de “dulces” es isomórfica a un número puro (el número de dulces); y el acto de “compartir” es una referencia apenas velada a la división numérica.

La historia en un problema de palabras puede ser un problema puramente matemático disfrazado. Pero el arte de identificar la correspondencia entre

los datos dados en la historia, y

las entidades matemáticas a las que corresponden y

y entre

las acciones en la historia, y

las operaciones matemáticas correspondientes en esas entidades matemáticas

no es trivial, y tiene que aprenderse por las malas. El primer problema a continuación ilustra la notable variedad de instancias incluso de la resta o diferencia más simple.

Al igual que en los capítulos 1 y 2 la “esencia de las matemáticas” se encuentra en los propios problemas. Alguna discusión de esta “esencia” se presenta en el texto entre los problemas; pero la mayoría de las observaciones relevantes se encuentran en las soluciones (o en las Notas que siguen a muchas de las soluciones), o bien se dejan para que los lectores las extraigan por sí mismos.