6: Infinito - Recursión, Inducción, Descenso Infinito

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La inducción matemática —es decir, prueba por recurrencia— se... nos impone, porque es... la afirmación de una propiedad de la mente misma.

Henri Poincaré (1854—1912)

Allez en avant, et la foi vous viendra. (Presiona adelante, y la comprensión seguirá.)

Jean le Rond D'alembert (1717—1783)

A las matemáticas se le ha llamado “la ciencia del infinito”. Sin embargo, el infinito es una noción resbaladiza, y muchas de las técnicas que son características de las matemáticas modernas se desarrollaron precisamente para domar esta resbaladiza. Este capítulo introduce algunas de las ideas y técnicas relevantes.

Hay aspectos de la historia del infinito en las matemáticas que no abordaremos. Por ejemplo, los astrónomos que estudian el cielo nocturno y los movimientos de los planetas y las estrellas pronto notan su inmensidad, y su naturaleza aparentemente 'fractal', donde aumentar el detalle o la ampliación revela más o menos el mismo nivel de complejidad en diferentes escalas. Y es difícil entonces evitar la cuestión de si el universo estelar es finito o infinito.

En el universo mental de las matemáticas, una vez contando, y el proceso de halving, se convierten rutinariamente en procesos iterativos, las preguntas sobre el infinito y los infinitesimales son casi inevitables. Sin embargo, la matemática reconoce el abismo conceptual entre lo finito y lo infinito (o infinitesimal), y rechaza el uso perezoso del “infinito” como metáfora de lo que simplemente es “muy grande”. Los grandes números finitos siguen siendo números; y las sumas finitas largas son conceptualmente muy diferentes de las sumas que “continúan para siempre”. De hecho, en el siglo III a.C., Arquímedes (c. 287-212 a.C.) escribió un pequeño folleto llamado The Sand Reckoner, dedicado al rey Gelón, en el que introdujo la aritmética de los poderes (aunque los antiguos griegos no tenían notación conveniente para escribir tales números), con el fin de demostrar que — contrario a lo que algunas personas habían reclamado —el número de granos de arena en el universo conocido debe ser finito (derivó un límite superior de aproximadamente 8×10 ⁶³ La influencia que ejercen las ideas del infinito en las matemáticas ha sido profunda, aunque ahora veamos algunas de estas ideas como vuelos de fantasía—

de Zenón de Elea (c. 495 a.C. — c. 430 a.C.), quien presentó sus paradojas para resaltar los peligros inherentes al razonamiento descuidadamente con el infinito,
a través de Giordano Bruno (1548—1600), quien declaró que había infinitamente muchos universos habitados, y que fue quemado en la hoguera cuando se negó a retraer esta y otras “herejías”,
a Georg Cantor (1845—1918) cuya labor pionera en el desarrollo de una verdadera “matemática del infinito” estaba inextricablemente ligada a sus creencias religiosas.

En contraste, nos centramos aquí en los placeres de las matemáticas, y en particular en cómo se puede forjar una entrada inicial hacia las “ideas del infinito” a partir de un razonamiento cuidadoso con entidades finitas. Los lectores que quieran explorar lo que pasamos por alto en silencio podrían hacer peor que comenzar con el ensayo sobre “infinito” en el archivo de Historia de las Matemáticas de MActutor:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Infinity.html.

Los procesos infinitos más simples comienzan con la recursión —un proceso en el que repetimos exactamente la misma operación una y otra vez (en principio, continuando para siempre). Por ejemplo, podemos comenzar con 0, y repetir la operación “agregar 1”, para generar la secuencia:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...

O podemos comenzar con 2 ⁰ = 1 y repetir la operación “multiplicar por 2”, para generar:

$\begin{matrix} 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... \end{matrix}$

O podemos comenzar con 1.000000, y repetir los pasos involucrados en “dividir por 7” para generar el decimal infinito para $\frac{1}{7}$ :

$\begin{matrix} \frac{1}{7} = 0.1428571428571428571 \dots . \end{matrix}$

Entonces podemos variar esta idea de “recursión” permitiendo que cada operación sea “esencialmente” (en lugar de exactamente) la misma, como cuando definimos números triangulares “sumando n” en la ^etapa n para generar la secuencia:

$\begin{matrix} 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... \end{matrix}$

En otras palabras, la secuencia de números triangulares se define por una relación de recurrencia:

$T_{0} = 0;$ y

cuando $n \geq 1,$ $T_{n} =$ Tn-1+n.

Podemos variar esta idea más al permitir relaciones de recurrencia más complicadas, como la que define los números de Fibonacci:

$F_{0} = 0,$ $F_{1} = 1;$ y
cuando $n \geq 1$ $F_{n + 1} = F_{n} +$ Fn-1.

Todas estas “imágenes del infinito” se remontan al familiar conteo de números.

Sabemos cómo comienzan los números de conteo (con 0, o con 1); y
sabemos que podemos “sumar 1” una y otra vez para obtener números de conteo cada vez mayores.

La intuición de que este proceso es, en principio, interminable (así que nunca se completa en realidad), pero de alguna manera logra contar todos los enteros positivos, es lo que Poincaré llamó una “propiedad de la mente misma”: es decir, la idea de que podemos definir una secuencia infinita, o proceso, o cadena de deducciones (que implican dígitos, o números, u objetos, o declaraciones, o verdades) por

especificando cómo comienza, y para entonces
especificando de manera uniforme “cómo construir el siguiente término”, o “cómo realizar el siguiente paso”.

Esta idea es lo que se esconde detrás de la “prueba por inducción matemática”, donde demostramos que alguna aserción P (n) sostiene para todos $n \geq 1$ — demostrando así infinitamente muchas declaraciones separadas de un solo golpe. La validez de este método de prueba depende de una propiedad fundamental de los enteros positivos, o de la secuencia de conteo

$\begin{matrix} “1, 2, 3, 4, 5,...”, \end{matrix}$

a saber:

El Principio de Inducción Matemática: Si un subconjunto S de los enteros positivos

contiene el entero “1”,
y tiene la propiedad que
cada vez que un entero k está en el conjunto S, entonces el siguiente entero $k + 1$ siempre está en S también,

entonces S contiene todos los enteros positivos.