2.4: Expresiones algebraicas (Las piezas del rompecabezas)

Si eres como la mayoría de los canadienses, tu empleador te paga quincenalmente. Supongamos que gana $12.00 por hora. ¿Cómo calculas tu cheque de pago en cada periodo de pago? Sus ganancias se calculan de la siguiente manera:

\[\$ 12.00 \times \text{(Hours worked during the biweekly pay period)}\nonumber \]

Las horas trabajadas durante el periodo de pago quincenal es la variable desconocida. Observe que la expresión aparece larga cuando escribe la explicación de la variable. El álgebra es una forma de hacer que tales expresiones sean más convenientes de manipular. Para acortar la expresión, haciéndola más fácil de leer, álgebra asigna una letra o grupo de letras para representar la variable. En este caso, podría elegir h para representar “horas trabajadas durante el periodo de pago quincenal”. Esto reescribe la expresión anterior de la siguiente manera:

\[\$ 12.00 \times h \text { or } \$ 12 h \nonumber \]

Desafortunadamente, la palabra álgebra hace que los ojos de muchas personas se glaseen. Pero recuerda que el álgebra es solo una forma de resolver un problema numérico. Demuestra cómo encajan las piezas de un rompecabezas para llegar a una solución.

Por ejemplo, has usado tus habilidades algebraicas si alguna vez has programado una fórmula en Microsoft Excel. Le dijiste a Excel que había una relación entre celdas en tu hoja de cálculo. Quizás su cálculo requirió que la celda A3 se dividiera por la celda B6 y luego se multiplicara por la celda F2. Esta es una ecuación algebraica. Excel luego tomó su ecuación algebraica y calculó una solución sustituyendo automáticamente los valores apropiados de las celdas referenciadas (sus variables).

Como se ilustra en la figura anterior, el álgebra implica integrar muchos conceptos interrelacionados. Esta figura muestra sólo los conceptos que son importantes para las matemáticas de negocios, que este libro de texto presentará pieza por pieza. Su comprensión del álgebra se volverá más completa a medida que se cubran más conceptos a lo largo de este libro.

En esta sección se revisa el lenguaje del álgebra, las reglas de exponente, las reglas básicas de operación y la sustitución. En la Sección 2.5 pondrás a trabajar estos conceptos para resolver una ecuación lineal para una variable desconocida junto con dos ecuaciones lineales con dos variables desconocidas. Por último, en la Sección 2.6 explorarás los conceptos de logaritmos y logaritmos naturales.

El lenguaje del álgebra

Comprender las reglas del álgebra requiere familiaridad con cuatro definiciones clave.

Expresión algebraica

Una expresión matemática algebraica indica la relación entre y operaciones matemáticas que deben realizarse sobre una serie de números o variables. Por ejemplo, la expresión $12h dice que debes tomar el salario por hora de 12 dólares y multiplicarlo por las horas trabajadas. Tenga en cuenta que la expresión no incluye un signo igual, o “=”. Solo te dice qué hacer y requiere que sustituya un valor en por la (s) variable (s) desconocida (s) para resolver. No hay una solución definible a la expresión.

Ecuación algebraica

Una ecuación matemática algebraica toma dos expresiones algebraicas y las equipara. Esta ecuación se puede resolver para encontrar una solución para las variables desconocidas. Examine la siguiente ilustración para ver cómo se interrelacionan las expresiones algebraicas y las ecuaciones algebraicas.

Término

En cualquier expresión algebraica, los términos son los componentes que están separados por suma y resta. Al mirar el ejemplo anterior, la expresión\(6x + 3y\) se compone de dos términos. Estos términos son “\(6x\)” y “”\(3y\). Un nomial se refiere a cuántos términos aparecen en una expresión algebraica. Si una expresión algebraica contiene solo un término\(\$ 12.00h\), como “,” se llama monomio. Si la expresión contiene dos términos o más, como “\(6x + 3y\),” se llama polinomio.

Factor

Los términos pueden consistir en uno o más factores que están separados por signos de multiplicación o división. Usando el 6x de arriba, consta de dos factores. Estos factores son “6” y “\(x\)”; a ellos se les une la multiplicación.

• Si el factor es numérico, se llama coeficiente numérico.
• Si el factor es una o más variables, se denomina coeficiente literal.

El siguiente gráfico muestra cómo las expresiones algebraicas, ecuaciones algebraicas, términos y factores se interrelacionan dentro de una ecuación.

Exponentes

Los exponentes son ampliamente utilizados en matemáticas de negocios y son parte integral de las matemáticas financieras. Al aplicar tasas de interés compuestas a cualquier inversión o préstamo, se debe utilizar exponentes (ver Capítulo 9 y en adelante).

Los exponentes son una notación matemática taquigráfica que indica cuántas veces se multiplica una cantidad por sí misma. A continuación se ilustra el formato de un exponente.

Supongamos que tiene\(2^{3}=8\). El exponente de 3 dice tomar la base de 2 multiplicada por sí misma tres veces, o\(2 \times 2 \times 2\). El poder es 8. La forma correcta de afirmar esta expresión es “2 al exponente de 3 resultados en una potencia de 8”.

Cómo funciona

Muchas reglas se aplican a la simplificación de exponentes, como se muestra en la siguiente tabla.

Regla	Ilustración	Explicación
1. Multiplicación	\(y^{a} \times y^{b}=y^{a+b}\)	Si las bases son idénticas, suma los exponentes y conserva la base sin cambios.
2. División	\(\dfrac{y^{a}}{y^{b}}=y^{a-b}\)	Si las bases son idénticas, resta los exponentes y conserva la base sin cambios.
3. Elevar poderes a los exponentes	\(\left(y^{b} z^{c}\right)^{a}=y^{b \times a} z^{c \times a}\) o \(\left(\dfrac{y^{b}}{z^{c}}\right)^{a}=\dfrac{y^{b \times a}}{z^{c \times a}}\)	Si un solo término se eleva a un exponente, cada factor debe conservar su base y hay que multiplicar los exponentes para cada uno por el exponente elevado. Tenga en cuenta que si la expresión dentro de los corchetes tiene más de un término, como\(\left(y^{b}+z^{c}\right)^{2}\), que tiene dos términos, no se puede multiplicar el exponente a dentro de los corchetes.
4. Cero exponentes	\(y^{0}=1\)	Cualquier base a un exponente cero siempre producirá una potencia de 1. Esto se explica más adelante en esta sección cuando se revisa el concepto de división algebraica.
5. Exponentes negativos	\(y^{-a}=\dfrac{1}{y^{a}}\)	El signo negativo indica que la potencia se ha desplazado entre el numerador y el denominador. Se usa comúnmente en este libro de texto para simplificar las apariencias. Tenga en cuenta que en la calculadora BAII Plus, teclear un exponente negativo requiere que ingrese el valor de\(y\), presione\(y^x\), ingrese el valor de a\(\pm\), presione y luego presione = para calcular.
6. Exponentes fraccionarios	\(y^{\dfrac{a}{b}}=\sqrt[b]{y^{a}}\)	Un exponente fraccionario es una forma diferente de escribir un signo radical. Tenga en cuenta que la base se lleva primero al exponente de a, luego se encuentra la raíz de b para obtener el poder. Por ejemplo, Esto es lo mismo que. Para introducir un exponente fraccionario en la calculadora BAII Plus, ingrese el valor de\(y\), presione\(y^x\), abra un conjunto de corchetes, ingrese\(a \div b\), cierre los corchetes y presione = para calcular.

Notas Importantes

Recordemos que los matemáticos normalmente no escriben el número 1 cuando se multiplica por otro factor porque no cambia el resultado. Lo mismo se aplica a los exponentes. Si el exponente es un 1, generalmente no se escribe porque cualquier número multiplicado por sí solo una vez es el mismo número. Por ejemplo, el número 2 podría escribirse como 21, pero la potencia sigue siendo 2. O tomemos el caso de\((y z)^{2}\). Esto podría escribirse como\(\left(y^{1} z^{1}\right)^{a}\), que cuando se simplifica se convierte\(y^{1 \times a} z^{1 \times a}\) o\(y^{a} z^{a}\). Así, aunque no veas escrito a un exponente, sabes que el valor es 1.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Exponents in Algebra

Simplifica las siguientes expresiones:

1. \(h^{3} \times h^{6}\)
2. \(\dfrac{h^{14}}{h^{8}}\)
3. \(\left[\dfrac{h k^{5} m^{3}}{n^{4}}\right]^{3}\)
4. \(1.49268^{0}\)
5. \(\dfrac{x^{2} y^{4}}{x y^{-2}}\)
6. \(6^{3 / 5}\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique las expresiones. Observe que las expresiones (d) y (f) contienen sólo coeficientes numéricos y por lo tanto pueden resolverse numéricamente. Todas las demás expresiones implican coeficientes literales y requieren habilidades algebraicas para simplificar.

Lo que ya sabes

Se te han proporcionado las expresiones, y tienes seis reglas para simplificar exponentes en álgebra.

Cómo Llegarás

1. Esta expresión implica multiplicar dos poderes con una misma base. Aplicar Regla #1.
2. Esta expresión implica dividir dos poderes con una misma base. Aplicar Regla #2.
3. Esta expresión implica un solo término, con productos y un cociente todos elevados a un exponente. Aplicar Regla #3.
4. Esta potencia implica un exponente cero. Aplicar Regla #4.
5. Esta expresión implica multiplicación, división y exponentes negativos. Aplicar las Reglas #1, #2 y #5.
6. Esta potencia implica un exponente fraccionario. Aplicar Regla #6.

Realizar

1. \(h^{3} \times h^{6}=h^{3+6}=h^{9}\)
2. \(\dfrac{h^{14}}{h^{8}}=h^{14-8}=h^{6}\)
3. \(\left[\dfrac{h k^{5} m^{3}}{n^{4}}\right]^{3}=\dfrac{h^{1 \times 3} k^{5 \times 3} m^{3 \times 3}}{n^{4 \times 3}}=\dfrac{h^{3} k^{15} m^{9}}{n^{12}}\)
4. \(1.49268^{0}=1\)
5. \(\dfrac{x^{2} y^{4}}{x y^{-2}}=\dfrac{x^{2} y^{4} y^{2}}{x^{1}}(\text { Rule } \# 5)=\dfrac{x^{2} y^{4+2}}{x^{1}}(\text { Rule } \# 1)=\dfrac{x^{2} y^{6}}{x^{1}}=x^{2-1} y^{6}(\text { Rule } \# 2)=x y^{6}\)
6. \(6^{3 / 5}=2.930156\)

Instrucciones de la calculadora

d.\(1.49268 y^{x} 0=\)

f.\(6 y^{x}(3 \div 5)=\)

Aquí están las soluciones simplificadas:

1. \(h^{9}\)
2. \(h^6\)
3. \(\dfrac{h^{3} k^{15} m^{9}}{n^{12}}\)
4. 1
5. \(x y^{6}\)
6. \(2.930156\)

Suma y resta

La simplificación de expresiones algebraicas innecesariamente largas o complejas siempre es preferible para aumentar la comprensión y reducir las posibilidades de error. Por ejemplo, suponga que es un gerente de producción que busca pedir pernos para un producto que fabrica. Su empresa fabrica tres productos, todos en igual cantidad. El Producto A requiere siete tornillos, el Producto B requiere cuatro tornillos y el Producto C requiere catorce tornillos. Si\(q\) representa la cantidad de productos requeridos, necesita pedir\(7q + 4q + 14q\) pernos. Esta expresión requiere cuatro cálculos para resolver cada vez (cada término necesita ser multiplicado por\(q\) y luego hay que sumar todo junto). Con las reglas de álgebra que siguen, puede simplificar esta expresión a\(25q\). Esto requiere sólo un cálculo para resolver. Entonces, ¿cuáles son las reglas?

Cómo funciona

En matemáticas, los términos con los mismos coeficientes literales se denominan términos similares. Sólo se podrán sumar o restar términos con los mismos coeficientes literales mediante el siguiente procedimiento:

Paso 1: Simplifique cualquier coeficiente numérico realizando cualquier operación matemática necesaria o convirtiendo fracciones a decimales. Por ejemplo, términos como\(\dfrac{1}{2} y\) deberían convertirse\(0.5y\).

Paso 2: Suma o resta los coeficientes numéricos de términos similares como indica la operación mientras se obedecen las reglas de BEDMAS.

Paso 3: Conservar y no cambiar los coeficientes literales comunes. Escriba el nuevo coeficiente numérico frente a los coeficientes literales retenidos.

Del ejemplo anterior, se requieren\(7q + 4q + 14q\) pernos. Observe que existen tres términos, cada uno de los cuales tiene el mismo coeficiente literal. Por lo tanto, se puede realizar la adición requerida.

Paso 1: Todos los coeficientes numéricos ya están simplificados. Saltar al paso 2.

Paso 2: Toma los coeficientes numéricos y suma los números:\(7 + 4 + 14\) es igual a 25.

Paso 3: Conservar el coeficiente literal de\(q\). Juntar el nuevo coeficiente numérico y el coeficiente literal. Por lo tanto,\(25q\). Por lo tanto\(7q + 4q + 14q\) es lo mismo que\(25q\).

Cosas a tener en cuenta

Un error común en suma y resta es combinar términos que no tienen el mismo coeficiente literal. Hay que recordar que el coeficiente literal debe ser idéntico. Por ejemplo,\(7q\) y\(4q\) tienen el coeficiente literal idéntico de\(q\). Sin embargo,\(7q\) y\(4q^2\) tienen diferentes coeficientes literales,\(q\) y\(q^2\), y no se pueden sumar ni restar.

Caminos hacia el éxito

Recuerda que si te encuentras con un coeficiente literal sin número delante de él, se supone que ese número es un 1. Por ejemplo, no\(x\) tiene coeficiente numérico escrito, pero es lo mismo que\(1x\). Otro ejemplo sería\(\dfrac{x}{4}\) es el mismo que\(\dfrac{1 x}{4}\) o\(\dfrac{1}{4} x\).

En una nota similar, los matemáticos tampoco escriben coeficientes literales que tengan un exponente de cero. Por ejemplo,\(7x^0\) es justo\(7(1)\) o\(7\). Así, el coeficiente literal siempre está ahí; sin embargo, tiene un exponente de cero. Recordar esto te ayudará más adelante cuando te multipliques y dividas en álgebra.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Examine las siguientes expresiones algebraicas e indique cuántos términos se pueden combinar a través de la suma y la resta. No son necesarios cálculos. No intente simplificar.

1. \(\dfrac{3}{2} x+4 x^{2}-10 x-2 y+\dfrac{x}{3}\)
2. \(23 g^{2}-\dfrac{17 g^{2}}{5}+g^{4}+g^{2}-\dfrac{2}{3} g^{2}-0.15 g+g^{3}\)

Contestar

1. Tres términos (todos los\(x\))
2. Cuatro términos (todos los\(g^2\))

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Addition and Subtraction in Algebra

Simplifica las siguientes tres expresiones algebraicas.

1. \(9 x+3 y-\dfrac{7}{2} x+4 y\)
2. \(P\left(1+0.11 \times \dfrac{121}{365}\right)+\dfrac{15 P}{1+0.11 \times \dfrac{36}{365}}\)
3. \(x\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{3}+\dfrac{x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4}}-\dfrac{3 x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{2}}\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique las tres expresiones algebraicas. Observe que cada término de las expresiones se une a las demás por suma o resta. Por lo tanto, aplicar las reglas de suma y resta a cada expresión.

Lo que ya sabes

Ya se han suministrado las tres expresiones algebraicas.

Cómo Llegarás

Aplicando los tres pasos para sumar y restar debes simplificar, combinar y escribir la solución.

Realizar

\(9 x+3 y-\dfrac{7}{2} x+4 y\)	Paso 1: Simplificar los coeficientes numéricos.
\(9 x+3 y- \mathbf{3.5} x+4 y\)	Paso 2: Combina los coeficientes numéricos de términos similares. Tienes dos términos con\(x\) los que necesitas tomar 9-3.5=5.5. También tienes dos términos con\(y\) los que necesitas tomar 3+4=7
\( \mathbf{5.5} x+ \mathbf{7}y\)	Paso 3: Escribe los coeficientes numéricos frente a los coeficientes literales inalterados.

\(P\left(1+0.11 \times \dfrac{121}{365}\right)+\dfrac{15 P}{1+0.11 \times \dfrac{36}{365}}\)	Paso 1: Simplificar los coeficientes numéricos.
\(\mathbf{1.036465} P+\dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{1.062383}} P\)	Paso 1: Continuar simplificando el segundo término.
\(1.036465 P+\mathbf{14.119194} P\)	Paso 2: Combine los coeficientes numéricos realizando la suma.
\(\mathbf{15.15566} P\)	Paso 3: Escriba el coeficiente numérico frente al coeficiente literal inalterado.

\(x\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{3}+\dfrac{x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4}}-\dfrac{3 x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{2}}\)	Paso 1: Simplificar los coeficientes numéricos.
\(\mathbf{1.076890} x+\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{1.103812}} x-\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{1.050625}} x\)	Paso 1: Continuar simplificando los términos segundo y tercero.
\(\mathbf{1.076890} x+\mathbf{0.905950} x-\mathbf{2.855443} x\)	Paso 2: Combine los coeficientes numéricos a través de las operaciones especificadas.
\(\mathbf{-0.872602} x\)	Paso 3: Escriba el coeficiente numérico frente al coeficiente literal inalterado.

Las expresiones algebraicas simplifican de la siguiente manera:

1. \(5.5x +7y\)
2. \(15.15566P\)
3. \(−0.872602x\)

Observe lo más fácil que es trabajar con estos que las expresiones originales.

Multiplicación

Ya sea que estés multiplicando un monomio por otro monomio, un monomio por un polinomio, o un polinomio por otro polinomio, las reglas para la multiplicación siguen siendo las mismas.

Cómo funciona

Siga estos pasos para múltiples expresiones algebraicas:

Paso 1: Marque para ver si hay alguna forma de simplificar primero la expresión algebraica. ¿Hay algún término similar que puedas combinar? Por ejemplo, puedes simplificar\((3x + 2 + 1)(x + x + 4)\) a\((3x + 3)(2x + 4)\) antes de intentar la multiplicación.

Paso 2: Toma cada término en la primera expresión algebraica y multiplícalo por cada término en la segunda expresión algebraica. Esto significa que los coeficientes numéricos en ambos términos se multiplican entre sí, y los coeficientes literales en ambos términos se multiplican entre sí. Lo mejor es trabajar metódicamente de izquierda a derecha para que no te pierdas nada. Trabajando con el ejemplo, en\((3x + 3)(2x + 4)\) tomar el primer término de la primera expresión,\(3x\), y multiplicarlo por\(2x\) y luego por 4. Luego pasa al segundo término de la primera expresión, 3, y multiplícalo por\(2x\) y luego por 4 (ver la figura).

Se convierte en:\(6x^2 + 12x + 6x + 12\)

Paso 3: Realice cualquier paso final de simplificación sumando o restando términos similares según sea necesario. En el ejemplo, dos términos contienen el coeficiente literal\(x\), por lo que simplificas la expresión a\(6x^2 + 18x + 12\).

Notas Importantes

Si la multiplicación implica que más de dos expresiones se multipliquen entre sí, es más fácil trabajar con un solo par de expresiones a la vez comenzando por el par más a la izquierda. Por ejemplo, si estás multiplicando\((4x + 3)(3x)(9y + 5x)\), resuelve\((4x + 3)(3x)\) primero. Entonces toma la solución, manteniéndola entre paréntesis ya que no has completado la operación matemática, y multiplícala por\((9y + 5x)\). Esto significa que se requiere repetir el paso 2 en el procedimiento de multiplicación hasta que haya resuelto todas las multiplicaciones.

Cosas a tener en cuenta

El signo negativo no causa fin de duelo para mucha gente cuando se trabaja con la multiplicación. Primero, si un coeficiente numérico no se escribe explícitamente, se supone que es 1. Por ejemplo, mira\(2(4a + 6b) − (2a − 3b)\). Esto es lo mismo que\(2(4a + 6b) + (−1)(2a − 3b)\).

Cuando multiplicas un negativo a través de una expresión, todos los signos entre paréntesis cambiarán. Continuando con el segundo término en el ejemplo anterior,\(−(2a − 3b)\) se convierte\(−2a + 3b\). Entonces se ve la expresión\(2(4a + 6b) − 2a + 3b\).

Caminos hacia el éxito

El orden en que escribas los términos de una expresión algebraica no importa siempre y cuando sigas todas las reglas de BEDMAS. Por ejemplo, ya sea que escribas\(3 \times 4\) o\(4 \times 3\), la respuesta es la misma porque puedes hacer multiplicación en cualquier orden. Lo mismo se aplica a\(4 + 3 - 1\) o\(3 - 1 + 4\). Ahora vamos a ser más complejos. Ya sea que escribas\(3x^2 + 5x - 4\) o\(5x - 4 + 3x^2\), la respuesta es la misma ya que no has violado ninguna regla de BEDMAS. Aún multiplicas primero y agregas el último de izquierda a derecha.

Aunque generalmente se prefiere el formato exponencial descendente para escribir expresiones, por ejemplo,\(3x^2 + 5x + 4\), que enumera primero los coeficientes literales con exponentes más altos, no importa si haces esto o no. Al verificar sus soluciones con las dadas en este libro de texto, solo necesita asegurarse de que cada uno de sus términos coincida con los términos en la solución proporcionada.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Multiplication in Algebra

Simplifica la siguiente expresión algebraica:\((6x + 2 + 2)(3x – 2)\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique la expresión.

Lo que ya sabes

Estás multiplicando dos expresiones entre sí. Cada expresión contiene dos o tres términos.

Cómo Llegarás

Aplicando los tres pasos para la multiplicación de expresiones algebraicas, simplificas, multiplicas cada término y combinas.

Realizar

Paso 1: Simplifique primero la expresión.

\ [\ begin {alineado}
& (6 x+2+2) (3 x-2)\\
& (6 x+\ bf {4}) (3 x-2)
\ end {alineado}\ nonumber\]

Paso 2: Multiplicar todos los términos en cada expresión con todos los términos en la otra expresión.

\[(\bf{6 x})(\bf{3 x})+(\bf{6 x})(\bf{-2})+(\bf{4})(\bf{3 x})+(\bf{4})(\bf{-2}) \nonumber \]

Paso 2 (continuación): Resolver las multiplicaciones.

\[18 x^{2}-12 x+12 x-8 \nonumber \]

Paso 3: Realizar las simplificaciones finales. Se pueden combinar los dos términos del medio.

\[18 x^{2}-8 \nonumber \]

Esta es la solución final.

La expresión algebraica simplificada es\(18x^2 − 8\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): More Challenging Algebraic Multiplication

Simplifica la siguiente expresión algebraica:\(–(3ab)(a^2 + 4b – 2a) – 4(3a + 6)\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique la expresión.

Lo que ya sabes

Se le ha proporcionado la expresión. Observe que el primer término consta de tres expresiones que se multiplican juntas. El segundo término implica que dos expresiones se multipliquen entre sí. Aplicar las reglas de multiplicación.

Cómo Llegarás

Aplicando los tres pasos para la multiplicación de expresiones algebraicas, simplificarás, multiplicarás cada término y combinarás.

Realizar

Paso 1: No se puede simplificar nada. Ten cuidado con los negativos y escríbelos.

\[-(3 a b)\left(a^{2}+4 b-2 a\right)-4(3 a+6)\nonumber \]

Paso 2: Trabajar con el primer par de expresiones en el primer término y multiplicar.

\[(\bf{-1})(3 a b)\left(a^{2}+4 b-2 a\right)+(\bf{-4})(3 a+6)\nonumber \]

Multiplique el par resultante de expresiones en el primer término.

\[(\bf{-3 a b})\left(a^{2}+4 b-2 a\right)+(-4)(3 a+6)\nonumber \]

Trabajar con el par de expresiones en el segundo término original y multiplicar.

\[(\bf{-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b})+(-4)(3 a+6)\nonumber \]

Paso 3: Suelta los corchetes para simplificar.

\[-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b+[\bf{-12 a-24}]\nonumber \]

No hay términos similares. No se puede simplificar más esta expresión.

\[-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b-12 a-24\nonumber \]

La expresión algebraica simplificada es\(-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b-12 a-24\).

División

A menudo se requiere dividir un monomio en un monomio o un polinomio. En los casos en que el denominador consiste en un polinomio, o bien no es posible o extremadamente difícil simplificar la expresión algebraicamente. Aquí se discute solamente la división donde los denominadores son monomios.

Cómo funciona

Para simplificar una expresión cuando su denominador es un monomio, aplique estas reglas:

Paso 1: Al igual que en la multiplicación, determine si hay alguna manera de combinar términos similares antes de completar la división. Por ejemplo, con\(\dfrac{3 a b+3 a b-3 a^{2} b+9 a b^{2}}{3 a b}\) usted puede simplificar el numerador a\(\dfrac{6 a b-3 a^{2} b+9 a b^{2}}{3 a b}\).

Paso 2: Toma cada término en el numerador y divídalo por el término en el denominador. Esto significa que debes dividir tanto los coeficientes numéricos como los literales. Al igual que con la multiplicación, suele ser mejor trabajar metódicamente de izquierda a derecha para que no te pierdas nada. Entonces en nuestro ejemplo obtenemos:

\[\dfrac{6 a b}{3 a b}-\dfrac{3 a^{2} b}{3 a b}+\dfrac{9 a b^{2}}{3 a b}\nonumber \]

\[(2)(1)(1) − (1)(a)(1) + (3)(1)(b)\nonumber \]

\[2 − a + 3b\nonumber \]

Paso 3: Realice cualquier simplificación final sumando o restando los términos similares según sea necesario. Como ya no hay términos similares, la expresión final permanece\(2 − a + 3b\).

Cosas a tener en cuenta

Es posible que haya oído hablar de un resultado llamado “cancelarse mutuamente”. Por ejemplo, al resolver la división\(\dfrac{4 a}{4 a}\) mucha gente diría que los términos se cancelan entre sí. Muchas personas también interpretarán erróneamente esto en el sentido de que el cociente es cero y lo dirán\(\dfrac{4 a}{4 a}=0\). De hecho, cuando los términos se cancelan entre sí el cociente es uno, no cero. El coeficiente numérico es\(\frac{4}{4}=1\). El coeficiente literal es\(\dfrac{a}{a}=1\). Por lo tanto,\(\dfrac{4 a}{4 a}=(1)(1)=1\). Esto también explica por qué un exponente cero equivale a uno:\(\dfrac{a^{1}}{a^{1}}=a^{1-1}=a^{0}=1\).

Caminos hacia el éxito

A mucha gente no le gustan las fracciones y les resulta difícil trabajar con ellas. Recuerda que cuando estás simplificando cualquier expresión algebraica puedes transformar cualquier fracción en un decimal. Por ejemplo, si tu expresión es, puedes convertir la fracción en decimales:\(0.4x + 0.75x\). En este formato, es más fácil de resolver.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): A Monomial Division

Simplifica la siguiente expresión algebraica:\(\dfrac{30 x^{6}+5 x^{3}+10 x^{3}}{5 x}\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique la expresión.

Lo que ya sabes

Observe que la expresión proporcionada es un polinomio dividido por un monomio. Por lo tanto, aplicar las reglas de división.

Cómo Llegarás

Aplicando los tres pasos para la división de una expresión algebraica, simplificarás, dividirás cada término y combinarás.

Realizar

Paso 1: El numerador tiene dos términos con el mismo coeficiente literal (\(x^3\)). Combínalos usando las reglas de adición.

\[\dfrac{30 x^{6}+5 x^{3}+10 x^{3}}{5 x}\nonumber \]

Paso 2: Ahora que el numerador está simplificado, divida cada uno de sus términos por el denominador.

\[\dfrac{30 x^{6}+ \bf{15 x^{3}}}{5 x}\nonumber \]

Resolver las divisiones dividiendo los coeficientes numéricos y literales.

\[\dfrac{30 x^{6}}{5 x}+\dfrac{ \bf{15 x^{3}}}{5 x}\nonumber \]

Paso 3: No hay términos similares, así que esta es la solución final.

\[6 x^{5}+3 x^{2}\nonumber \]

La expresión algebraica simplificada es\(6 x^{5}+3 x^{2}\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): A More Challenging Division

Simplifica la siguiente expresión algebraica:\(\dfrac{15 x^{2} y^{3}+25 x y^{2}-x y+10 x^{4} y+5 x y^{2}}{5 x y}\)

Solución

Se le ha pedido que simplifique la expresión.

Lo que ya sabes

Observe que la expresión proporcionada es un polinomio dividido por un monomio. Por lo tanto, aplicar las reglas de división.

Cómo Llegarás

Aplicando los tres pasos para la división de expresiones algebraicas, simplificarás, dividirás cada término y combinarás.

Realizar

Paso 1: El numerador tiene dos términos con el mismo coeficiente literal (\(xy^2\)). Combínalos por las reglas de adición.

\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}+25 x y^{2}-x y+10 x^{4} y+5 x y^{2}}{5 x y}\nonumber \]

Paso 2: Ahora que el numerador está simplificado, divida cada uno de sus términos por el denominador.

\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}+ \bf{30 x y^{2}}-x y+10 x^{4} y}{5 x y}\nonumber \]

Resolver las divisiones dividiendo los coeficientes numéricos y literales.

\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}}{5 x y}+\dfrac{30 x y^{2}}{5 x y}-\dfrac{x y}{5 x y}+\dfrac{10 x^{4} y}{5 x y}\nonumber \]

Paso 3: Simplifica y combina cualquier término similar.

\[3 x y^{2}+6(1)(y)-0.2(1)(1)+2\left(x^{3}\right)(1)\nonumber \]

No hay términos similares, así que esta es la solución final.

\[3 x y^{2}+6 y-0.2+2 x^{3}\nonumber \]

La expresión algebraica simplificada es\(3 x y^{2}+6 y-0.2+2 x^{3}\).

Sustitución

El objetivo final del álgebra es representar una relación entre diversas variables. Si bien es beneficioso simplificar estas relaciones donde sea posible y acortar las expresiones algebraicas, al final se quiere calcular una solución. La sustitución implica reemplazar los coeficientes literales de una expresión algebraica con valores numéricos conocidos. Una vez que ha tenido lugar la sustitución, se resuelve la expresión para un valor final.

Cómo funciona

Siga estos pasos para realizar la sustitución algebraica:

Paso 1: Identifica el valor de tus variables. Supongamos que la ecuación algebraica es\(PV=\dfrac{FV}{1+r t}\). Es necesario calcular el valor de\(PV\). Se sabe que\(FV = \$5,443.84\),\(r = 0.12\), y\(t=\dfrac{270}{365}\).

Paso 2: Tomar los valores conocidos e insertarlos en la ecuación donde se ubican sus respectivas variables, resultando en\(PV=\dfrac{\$ 5,443.84}{1+(0.12)\left(\dfrac{270}{365}\right)}\).

Paso 3: Resolver la ecuación a resolver para la variable. Calcular\(PV=\dfrac{\$ 5,443.84}{1.088767}=\$ 5,000.00\).

Cosas a tener en cuenta

Es común en álgebra representar una variable con más de una letra. Como se puede ver en el ejemplo anterior,\(FV\) es una variable, y representa valor futuro. Esto no debe interpretarse como dos variables,\(F\) y\(V\). De igual manera,\(PMT\) representa el pago de anualidad. Cuando aprendas nuevas fórmulas y variables, toma nota cuidadosa de cómo se representa una variable.

Además, algunos coeficientes literales tienen subíndices. Por ejemplo, se podía ver\(d_1\) y\(d_2\) en la misma fórmula. Lo que a veces sucede es que hay más de un valor para una misma variable. Como aprenderás en el Capítulo 6 sobre merchandising, cuando compres un artículo puedes recibir más de una tasa de descuento (lo que d significa). Por lo tanto, el primer descuento obtiene un subíndice de 1, o\(d_1\), y el segundo descuento obtiene un subíndice de 2, o\(d_2\). Esto permite distinguir entre los dos valores de la ecuación y sustituir el valor correcto en el lugar correcto.

Caminos hacia el éxito

Si no está seguro de si ha simplificado una expresión adecuadamente, recuerde que puede hacer sus propios valores para cualquier coeficiente literal y sustituir esos valores tanto en la expresión original como en la simplificada. Si has obedecido todas las reglas y simplificado adecuadamente, ambas expresiones producirán la misma respuesta. Por ejemplo, supongamos que simplificaste\(2x + 5x\) en\(7x\), pero no estás seguro de si tienes razón. Tú decides dejar\(x = 2\). Sustituyendo en\(2x + 5x\), se obtiene\(2(2) + 5(2) = 14\). Sustituyendo en tu expresión simplificada obtienes\(7(2) = 14\). Dado que ambas expresiones produjeron la misma respuesta, tienes confirmación directa de que has simplificado correctamente.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Substitution

Sustituir y resolver la siguiente ecuación:

\[N=L \times\left(1-d_1\right) \times\left(1-d_2\right) \times\left(1-d_3\right)\nonumber \]

Donde\(L = \$1,999.99\),\(d_1 = 35\%\),\(d_2 = 15\%\),\(d_3 = 5\%\)

Solución

Necesitas obtener un valor en dólares para el coeficiente literal\(N\).

Lo que ya sabes

Se le proporciona la ecuación y los valores de cuatro coeficientes literales.

Cómo Llegarás

Paso 1: Se conocen los valores de\(L\)\(d_1\)\(d_2\),,, y\(d_3\).

Paso 2: Sustituir esos valores en la ecuación.

Paso 3: Resolver para\(N\).

Realizar

Paso 1:

\(L = \$1,999.99\),\(d_1 = 0.35\),\(d_2 = 0.15\),\(d_3 = 0.05\)

Paso 2:

\[N=\$ 1,999.99 \times(1-0.35) \times(1-0.15) \times(1-0.05)\nonumber \]

Paso 3:

\[N=\$ 1,999.99 \times 0.65 \times 0.85 \times 0.95\nonumber \]

\(N=\$ 1,049.74\)

El valor de\(N\) es $1,049.74.

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