3.3: Ratios, proporciones y prorrateo (solo es justo)

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 110824

Jean-Paul Olivier
Red River College of Applied Arts, Science, & Technology

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Usted y su socio comercial tienen un buen problema: Los consumidores están tomando paquetes de su nuevo exfoliante facial de eucalipto loganberry lo más rápido que pueda producirlos. Cada paquete del matorral contiene 600 mg de extracto de loganberry y 80 mg de aceite de eucalipto, así como agua y arcilla y otros ingredientes. Las proporciones son invaluables para comprender la relación entre diferentes cantidades, como la cantidad de cada ingrediente que necesitas.

No tienes problemas para obtener el agua y la arcilla, pero el extracto de loganberry y el aceite de eucalipto son escasos debido al mal tiempo. En cualquier periodo de tiempo, sus proveedores pueden proporcionar siete veces más extracto de loganberry que el aceite de eucalipto. Para averiguar qué ingrediente está limitando tu producción, necesitas proporciones.

En ocasiones es necesario relacionar una proporción con el total de las cantidades. Esto requiere prorratear habilidades. Por ejemplo, una vez que tu negocio ha crecido, comienzas a usar una línea de producción, que sigue la práctica común de producir más de un producto. El exfoliante facial de papaya que has introducido recientemente y el exfoliante de eucalipto loganberry requieren la misma cantidad de tiempo de producción. La capacidad de su equipo es de 1,000 unidades por día. ¿Cuántas unidades de cada tipo de matorral debe producir para satisfacer la demanda del mercado en la proporción de nueve a dos?

Años después, está dividiendo las ganancias de su asociación comercial en proporción a la inversión total de cada socio. Invertiste 73,000 dólares, mientras que tu pareja invirtió $46,000. Con ganancias totales de 47,500 dólares, ¿cuál es su parte?

Comprender las relaciones entre varias cantidades y cómo los componentes se relacionan con un total general enfatiza la necesidad de comprender proporciones, proporciones y prorrateo.

¿Qué es una relación?

Una relación es una relación fija entre dos o más cantidades, cantidades o tamaños de naturaleza similar. Para que exista una proporción, todos los términos involucrados en la relación deben ser distintos de cero. Examine más de cerca los criterios de esta definición:

Debe haber dos o más cantidades. No existe una relación si sólo se trata de una cantidad. Por ejemplo, el tanque de combustible de tu Mustang toma 60 litros de gasolina. Esto no es una relación, ya que no hay relación con ninguna otra cantidad, cantidad o tamaño. Por otro lado, si comparas tu tanque de combustible con el tanque de combustible del Hummer de tu amigo, ahora tienes dos cantidades involucradas y podrías decir que su tanque de combustible tiene el doble de la capacidad que la tuya.
Todos los términos deben ser de naturaleza similar. En todos los ejemplos proporcionados tenga en cuenta que todas las cantidades, cantidades o tamaños se basan en la misma unidad. En la formulación cosmética era de miligramos a miligramos; en la línea de producción, eran unidades a unidades; en el escenario de inversión, era de dólares a dólares. Para que una relación tenga sentido y se interprete adecuadamente, todos los términos de la relación deben expresarse de manera similar. Cuando colocas diferentes unidades como kilómetros y metros en la misma proporción, el resultado es confuso y conducirá a una mala interpretación de la relación.
Todos los términos deben ser distintos de cero. Los números que aparecen en una proporción se denominan los términos de la relación. Si tenemos una receta con cuatro tazas de harina a una taza de azúcar, hay dos términos: cuatro y uno. Si algún término es cero, entonces la cantidad, cantidad o tamaño no existe. Por ejemplo, si la receta requería cuatro tazas de harina a cero tazas de azúcar, ¡no hay azúcar! Por lo tanto, cada término debe tener algún valor distinto de cero.

Sigamos usando el ejemplo de cuatro tazas de harina a una taza de azúcar. Los ratios de negocio se expresan en cinco formatos comunes, como se ilustra en la siguiente tabla.

Formato	Ejemplo de relación	Interpretación
Para	4 a 1	Cuatro tazas de harina a una taza de azúcar
: (colon)	4:1	Cuatro tazas de harina a una taza de azúcar
Fracción	$\dfrac{4}{1}$	Cuatro tazas de harina por taza de azúcar
Decimal	4	Cuatro veces más harina que azúcar
Por ciento	400%	La harina es 400% de azúcar (Pista: pensar tasa, porción, base)

Todos estos formatos funcionan bien cuando sólo hay dos términos en la proporción. Si hay tres o más términos, las proporciones se expresan mejor en el formato de dos puntos. Por ejemplo, si la receta requería cuatro partes de harina por una parte de azúcar por dos partes de chispas de chocolate, la proporción es de 4:1:2. Las formas de fracción, decimal y porcentaje no funcionan con tres o más términos.

Simplificación y Reducción de Ratios

Cuando se utiliza una relación para expresar una relación entre diferentes variables, debe ser fácil de entender e interpretar. A veces, cuando estableces una proporción inicialmente, los términos son difíciles de comprender. Por ejemplo, ¿y si la receta requería 62½ partes de harina por 25 partes de azúcar? Eso no está muy claro. Expresando la misma proporción de otra manera, se puede decir que la receta requiere de 5 partes de harina por 2 partes de azúcar. Obsérvese cómo la relación es más clara en esta última expresión. De cualquier manera, sin embargo, ambas relaciones significan lo mismo; en formato decimal esta relación se expresa como un valor de 2.5. Recordemos que la Sección 2.2 discutió cómo se expresan las fracciones en términos superiores e inferiores. Ahora aplicamos el mismo conocimiento a proporciones para que la relación sea lo más clara posible.

Cuando reduzca las proporciones a términos más bajos, recuerde dos características importantes que involucran la regla cardinal y los números enteros:

La Regla Cardinal. Recordemos de la Sección 2.5 que la regla cardinal del álgebra establece: “Lo que le haces a uno debes hacerle al otro”. En otras palabras, cualquier operación matemática que se realice en un término en una proporción debe realizarse por igual en cada otro término en la relación. Si se viola esta regla entonces se rompe la relación entre los términos.
Mantenimiento de enteros. Los enteros son más fáciles de entender que los decimales y las fracciones. Al reducir una relación a términos inferiores, apuntar a mantener cada término como un entero (tanto como en la Sección 2.2).

Cómo funciona

Los pasos involucrados en reducir las proporciones a términos más bajos se enumeran a continuación. Es posible que no necesites algunos pasos, así que omítalos si la característica no es evidente en la proporción.

Paso 1: Borrar cualquier fracción que, cuando se divide, produzca un decimal no terminante. Aplicar las reglas de álgebra y multiplicar cada término por el denominador que se borra de la relación. Por ejemplo, si la relación es$\dfrac{1}{3} : 2$, el primer término cuando se divide produce un decimal no terminante. Despeja la fracción multiplicando cada término por el denominador de 3, dando como resultado una relación de 1:6.

Paso 2: Realizar la división en todas las fracciones que produzcan un decimal de terminación. Por ejemplo, si la relación es$\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{10}$, ambos términos se convierten en decimales de terminación, dando como resultado una relación de$0.4 : 0.3$.

Paso 3: Elimina todos los decimales de la relación a través de la multiplicación. Es decir, expresar la relación en términos superiores multiplicando cada término por una potencia de 10. El poder de 10 que elijas debe ser lo suficientemente grande como para eliminar todos los decimales. Por ejemplo, si la relación es$0.2 : 0.25 : 0.125$, observe que el tercer término tiene la mayor cantidad de posiciones decimales. $1,000 (10^3)$Se requiere una potencia de para mover las tres posiciones decimales hacia la derecha. Multiplique cada término por una potencia de 1,000, resultando en una proporción de$200 : 250 : 125$.

Paso 4: Encuentra un factor común que divida uniformemente en cada término, produciendo así enteros. Si no encuentra tales factores, entonces la relación está en sus términos más bajos. Por ejemplo, si la relación$10 : 4 : 6$ es se puede factorizar dividiendo cada término por 2, resultando en una proporción de$5 : 2 : 3$. No hay un factor común que reduzca aún más esta relación; por lo tanto, está en sus términos más bajos.

Notas Importantes

Para facorizar cualquier término, recuerda tus tablas de multiplicación. Supongamos que la proporción es$36 : 24$. Siempre es mejor elegir el término más bajo en la proporción al factorizar. Mirando al 24 y recordar lo que se multiplica para llegar al 24. En este caso, tus factores son$1 \times 24$,$2 \times 12$,$3 \times 8$, y$4 \times 6$. El objetivo es encontrar el mayor valor entre estos factores que también se divide de manera uniforme en el otro término de 36. El factor más grande que hace que esto sea cierto es 12. Por lo tanto, realizar el paso 4 en nuestro proceso de reducción dividiendo cada término por un factor de 12, resultando en una proporción de$3 : 2$.

Cosas a tener en cuenta

Asegúrese siempre de que antes de aplicar cualquiera de los pasos de reducción su relación cumpla con los requisitos de ser una proporción en primer lugar. Por ejemplo, la expresión de 10 km: 500 m no es una relación 1:50 ya que viola la característica de “naturaleza similar” de la definición de relación. Es necesario convertir los metros en kilómetros, produciendo 10 km: 0.5 km. Ahora que se tiene una relación, la reducción a los términos más bajos resulta en una$20 : 1$ proporción. ¡Esto es muy diferente a$1 : 50$! La lección aprendida es asegurarse de que está trabajando con una proporción adecuada antes de manipularla.

Caminos hacia el éxito

En el cuarto paso del procedimiento, no se sienta obligado a encontrar lo que se llama el “factor mágico”. Este es el factor único que reduce la relación a sus términos más bajos en un solo cálculo. Aunque esto es agradable si sucede, también puede encontrar algún factor que haga que la proporción sea más pequeña y más fácil de trabajar.

Por ejemplo, supongamos una proporción de$144 : 72 : 96$. Puede que no sea muy evidente qué factor entra en cada uno de estos términos a primera vista. Sin embargo, todos son números pares, lo que significa que todos pueden dividirse por 2. Esto produce$72 : 36 : 48$.
Una vez más, el “factor mágico” puede no estar claro, pero cada término sigue siendo parejo. Dividir por 2 otra vez, produciendo$36 : 18 : 24$.
Si ningún factor mágico es aparente, nuevamente tenga en cuenta que todos los números son pares. Dividir por 2 una vez más, produciendo$18 : 9 : 12$.
El factor común para estos términos es 3. Dividido en cada término que tengas$6 : 3 : 4$. No hay un factor común para estos términos, y la relación se encuentra ahora en sus términos más bajos.

En el ejemplo anterior se necesitaron cuatro pasos para llegar a la respuesta-y eso está bien. ¿Te diste cuenta del “factor mágico” que podría haber resuelto esto en un solo paso? Lo puedes encontrar si multiplicas todos los factores que tienes:$2 \times 2 \times 2 \times 3=24$. Dividiendo cada término en la proporción original por 24 produce la solución en un solo paso. Si no notaste este “factor mágico”, no hay nada de malo en dar cuatro pasos (¡o más!) para obtener la respuesta. Al final, ambos métodos producen la misma solución.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Reducing Ratios to Lowest Terms

Reduzca las siguientes proporciones a sus términos más bajos:

$49 : 21$
$0.33 : 0.066$
$\dfrac{9}{2} : \dfrac{3}{11}$
$5^{1 / 8} : 6^{7 / 8}$

Solución

Se le ha pedido que reduzca los ratios a sus términos más bajos.

Lo que ya sabes

Las cuatro proporciones a reducir se han proporcionado en formato de dos puntos.

Cómo Llegarás

Paso 1: Borrar todas las fracciones que produzcan decimales no terminantes.

Paso 2: Realizar la división en todas las fracciones que producen decimales de terminación.

Paso 3: Elimina todos los decimales a través de la multiplicación.

Paso 4: Dividir cada término por un factor común, reduciéndolo a los términos más bajos.

Realizar

Paso 1:

Sin fracciones
Sin fracciones
Multiplica ambos términos por 11:$\dfrac{99}{2} : 3$
No hay fracciones que produzcan decimales no terminantes

Paso 2:

Sin fracciones
Sin fracciones
Realizar división:$49.5 : 3$
Realizar división:$5.125 : 6.875$

Paso 3:

Sin decimales
Borrar decimales multiplicando por 1,000:$330 : 66$
Borrar decimales multiplicando por 10:$495 : 30$
Borrar decimales multiplicando por 1,000:$5,125 : 6,875$

Paso 4:

Dividir por 7:$7 : 3$
Dividir por 66:$5 : 1$
Dividir por 15:$33 : 2$
Dividir por 125:$41 : 55$

En términos más bajos, las proporciones son$7 : 3$$5 : 1$,$33 : 2$, y$41 : 55$, respectivamente.

Reducir una relación al plazo más pequeño de uno

Tu objetivo al reducir una proporción es que sea más fácil de entender. En ocasiones, incluso después de haber aplicado las técnicas para reducir la proporción, el resultado final sigue siendo difícil de entender. Mira la parte (d) del Ejemplo$\PageIndex{1}$. Llegaste a una solución final de$41 : 55$, sin más reducción posible. Piense en esto como 41 tazas de harina por 55 tazas de azúcar. La relación no es muy clara.

En estas circunstancias, aunque los enteros son preferibles en general, se debe reducir aún más la relación, reintroduciendo decimales para que la relación sea más comprensible. Esto significa que aplicas una técnica llamada “reducir la proporción al término más pequeño de uno”. En esta técnica, el término más pequeño en la relación tendrá un valor de 1 una vez que realice la reducción y simplificación de la relación.

Cómo funciona

Siga estos pasos para reducir una proporción al término más pequeño de uno:

Paso 1: Localizar el término más pequeño en la proporción. (No se limite a elegir el primer término.)

Paso 2: Divide cada término en la proporción entre el término más pequeño seleccionado. Cada otro término se convierte en un número decimal, para lo cual o bien se proporciona una instrucción de redondeo clara o se deben obedecer las reglas de redondeo utilizadas en este libro de texto. El término más pequeño por naturaleza de la división equivale a uno.

Continuemos con la parte (d) del Ejemplo$\PageIndex{1}$, en la que se encuentra la relación reducida$41 : 55$.

Paso 1: Localizar el término más pequeño en la proporción. Es el primer término y tiene un valor de 41.

Paso 2: Toma cada término y divídalo por 41 para llegar a$1 : 1 . \overline{34146}$. El número decimal le permite interpretar aproximadamente la relación como “una taza de harina por un toque sobre$1^{1 / 3}$ tazas de azúcar”. Aunque no es perfecto, esto es más comprensible que$41 : 55$.

Notas Importantes

Es posible que tengas que hacer una llamada de juicio cuando decidas si dejar solo una proporción reducida o reducirla a una proporción donde el término más pequeño sea uno. No hay una regla definitiva clara; sin embargo, tenga en cuenta los siguientes dos pensamientos:

Para fines de este libro de texto, se le proporcionan instrucciones claras sobre cómo manejar la proporción, lo que permite que todos lleguen a la misma solución. En tus instrucciones se leerán “Reducir la relación a sus términos más pequeños” o “Reducir la proporción al término más pequeño de uno”.
En el mundo real, no existen tales instrucciones. Por lo tanto, siempre debes basar tu decisión en qué formato es más fácil de entender para tu audiencia. Si la fracción reducida deja a tu audiencia incapaz de entender la relación, entonces usa la reducción a una proporción con el término más pequeño de uno en su lugar.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Maintaining Inventory

El sistema de gestión de inventario en tu empresa requiere que mantengas una proporción de 27 a 47 Nintendo Wiis a Sony PlayStations en la estantería. Hay 38 Nintendo Wiis en la repisa.

Expresar la proporción donde el término más pequeño es uno. Redondee su solución a dos decimales.
Usando la relación, determine cuántas PlayStations deben haber en su inventario.

Solución

Estos términos no tienen factor común (tenga en cuenta que 47 es un número primo). Los términos en esta relación no se pueden reducir de ninguna manera, lo que dificulta la valoración de la relación. Por lo tanto, reducir la relación al término más pequeño de uno. Una vez que la relación sea más evidente, determine cuántas PlayStations necesitan estar en la estantería.

Lo que ya sabes

La relación de Wiis a PlayStations es de 27:47.

38 Wiis se encuentran actualmente en la repisa.

Cómo Llegarás

Paso 1: Localizar el término más pequeño.

Paso 2: Divide todos los términos por el término más pequeño para obtener la proporción.

Paso 3: Usa la relación para calcular el número de PlayStations necesarias en el estante.

Realizar

Paso 1:

El término más pequeño es 27.

Paso 2:

Divida cada término entre 27. $\dfrac{27}{27} : \dfrac{47}{27} \text { becomes } 1 : 1.74$

El manejo de inventario requiere 1.74 unidades de PlayStations para estar en el estante para cada unidad de Wiis.

Paso 3:

$38 \times 1.74=66.12$unidades. Dado que solo son posibles unidades enteras, redondea al entero más cercano de 66.

El sistema de gestión de inventario requiere aproximadamente 1.74 PlayStations por cada Nintendo Wii en la estantería. Por lo tanto, con 38 Wiis en la repisa se requieren 66 PlayStations para estar también en la repisa.

¿Qué Son Las Proporciones?

Conocer la relación entre cantidades específicas es útil, pero ¿y si su cantidad sucede para no coincidir con la cantidad específica expresada en la relación existente? El Ejemplo 3.3B ilustró que es necesario aprender a aplicar la relación para cumplir con las condiciones actuales. La relación en el sistema de inventario se expresó en términos de 27 Nintendo Wiis; sin embargo, la estantería exhibió 38 unidades. ¿Cómo podemos relacionar una relación existente con una relación necesaria?

Una proporción es una declaración de igualdad entre dos proporciones. Así como tenemos tanto expresiones algebraicas como ecuaciones algebraicas, hay proporciones y proporciones. Con expresiones algebraicas, sólo la simplificación era posible. Cuando la expresión se incorporó a una ecuación algebraica, resolvió para un desconocido. Lo mismo es cierto para las proporciones y proporciones. Con ratios, solo la simplificación es posible. Las proporciones permiten resolver para cualquier variable desconocida. El ejemplo de Wii y PlayStation podría haberse configurado de la siguiente manera:

$clipboard_e86fb8adc5d56de3256febe458c18f3d1.png$

Una proporción debe cumplir tres características, incluyendo criterios de relación, orden de términos y número de términos.

Característica #1: Se deben cumplir los criterios de relación. Por definición, una proporción es la igualdad entre dos proporciones. Si ya sea el lado izquierdo o el lado derecho de la proporción no cumple con los criterios para ser una proporción, entonces no puede existir una proporción.
Característica #2: Mismo orden de términos. El orden de los términos en el lado izquierdo de la proporción debe estar exactamente en el mismo orden de términos en el lado derecho de la proporción. Por ejemplo, si su proporción es el número de MP3 a CD a DVD, entonces su proporción se configura de la siguiente manera:

\[\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}=\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}\nonumber \]

Característica #3: Mismo número de términos. Los ratios de cada lado deben tener el mismo número de términos de tal manera que cada término del lado izquierdo tenga un término correspondiente en el lado derecho. Una proporción de no$\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}=\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD}$ es válida ya que el$\mathrm{DVD}$ término del lado izquierdo no tiene un término correspondiente en el lado derecho.

Cuando se trabaja con proporciones, el objetivo matemático es resolver por una cantidad o cantidades desconocidas. Para resolver cualquier proporción, obedezca siempre las siguientes cuatro reglas:

Regla #1: Se conoce al menos un valor para cualquier término. Se debe conocer al menos uno de los valores del lado izquierdo o del lado derecho para cada término. Por ejemplo, no$x : 5 = y : 10$ es una proporción resoluble ya que se desconocen los primeros términos correspondientes en ambos lados. Sin embargo,$15 : 5 = y : 10$ es solucionable ya que al menos uno de los primeros términos correspondientes (el 15 y el$y$) es conocido.
Regla #2: Se debe conocer un par de términos correspondientes. Al menos un par de términos correspondientes en el lado izquierdo y derecho deben tener ambas cantidades conocidas. Por ejemplo, no$3 : x : 6 = y : 4 : z$ es una proporción solucionable ya que no hay par de primeros términos (3 y$y$), segundos términos ($x$y 4), o terceros términos (6 y$z$) que produzcan un par de valores conocidos. Sin embargo,$3 : x : 6 = 9 : 4 : z$ es una proporción resoluble ya que se conocen los primeros términos en ambos lados (el 3 y el 9).
Regla #3: Obedecer BEDMAS y Realizar Manipulación Algebraica Correcta Para manipular una proporción, debes cumplir con las reglas de BEDMAS (Sección 2.1) y todas las reglas de álgebra (Sección 2.4 y Sección 2.5). Violar cualquiera de estas reglas rompe la igualdad de los ratios y produce una proporción incorrecta.
Regla #4: Usar el Formato Fraccional. El formato fraccional para ratios se recomienda para resolver una proporción. Los otros cuatro formatos generalmente hacen que resolver la proporción sea mucho más difícil, y las operaciones matemáticas requeridas se vuelven poco claras.

Cómo funciona

Siga estos pasos para resolver cualquier proporción para una variable o variables desconocidas:

Paso 1: Establecer la proporción con la relación conocida en el lado izquierdo. Colocar la relación con cualquier variable desconocida en el lado derecho.

Paso 2: Trabajar con solo dos términos a la vez, y expresar los dos términos en formato fraccional. Esto no es un problema si la proporción tiene sólo dos términos a cada lado de la ecuación, por ejemplo,$27 : 47 = 38 : p$. Esto se expresa como$\dfrac{27}{47}=\dfrac{38}{p}$. Si la proporción tiene tres o más términos en cada lado, puede elegir dos términos cualesquiera de cada lado de la proporción siempre que elija los mismos dos términos en cada lado. Al hacer tu selección, apunta a tener un par de términos en un lado de la ecuación donde se conozcan ambos valores mientras que el otro lado de la ecuación está compuesto por un término conocido y un término desconocido. Por ejemplo, asuma la proporción$6 : 5 : 4 = 18 : 15 : y$. La selección del primer y tercer término solo en cada lado de la ecuación produce$6 : 4 = 18 : y$. Observe que esto ahora es una proporción con solo dos términos en cada lado, que puede expresar como$\dfrac{6}{4}=\dfrac{18}{y}$.

Paso 3: Resolver para la variable desconocida. Obedecer las reglas de BEDMAS y realizar una manipulación algebraica adecuada.

Paso 4: Si la proporción contenía más de una variable desconocida, vuelva al paso 2 y seleccione otro emparejamiento que aísla una de las variables desconocidas. Si bien una de las variables desconocidas ahora se conoce como resultado del paso 3, no utilice este valor conocido para hacer su selección. El peligro de usar una variable desconocida resuelta es que si se ha producido un error, el error pasará en cascada a través de todos los demás cálculos. Por ejemplo, supongamos que la proporción original fue$3 : 7 : 6 : 8 = x : y : z : 28$. A partir del paso 2 es posible que haya seleccionado el emparejamiento de$3 : 8 = x : 28$, y en el paso 3 puede haber calculado erróneamente$x = 11.5$ (la respuesta correcta es$x = 10.5$). Al regresar al paso 2 para resolver por otra variable desconocida, no involucres$x$ en tu próximo emparejamiento. Para aislar$y$, usar$7 : 8 = y : 28$ y no$3 : 7 = 11.5 : y$, lo que al menos asegurará que su cálculo de no$y$ sea automáticamente incorrecto en base a su error anterior.

Cosas a tener en cuenta

Siempre debes escoger términos de las mismas posiciones en ambos lados de la proporción. De lo contrario, violarás la igualdad de la proporción, ya que los términos ya no están en el mismo orden en ambos lados y la Característica #2 no está satisfecha. Por ejemplo, al trabajar con la proporción$6 : 5 : 4 = 18 : 15 : y$ desde arriba, no se puede seleccionar el primer y tercer término en el lado izquierdo y también seleccionar el segundo y tercer término en el lado derecho. Es decir,$6 : 4 \neq 15 : y$ desde$1^{st}$ término término$: 3^{rd}$ término$\neq 2^{nd}$ término$: 3^{rd}$ término.

Caminos hacia el éxito

Siempre es más fácil resolver una proporción cuando la variable desconocida está en el numerador. Esta característica requiere álgebra mínima y cálculos para aislar la variable. Si te encuentras con una variable desconocida en el denominador, puedes invertir matemáticamente la fracción en ambos lados, ya que esto obedece a la regla cardinal de “lo que le haces a uno, debes hacerle al otro”. Al invertir, el numerador se convierte en el denominador y viceversa. Por ejemplo, si la proporción es, la inversión produce entonces una proporción de. Observe que aislar la variable desconocida en la proporción invertida requiere sólo una multiplicación de 12 en ambos lados. ¡Esto es mucho menos trabajo!

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Give It Some Thought

Algunas de las siguientes proporciones violan las características o reglas de proporciones. Examine cada uno y determine si se cumplen todas las reglas y características. De no ser así, identificar el problema.
1. $4 : 7 = 6 : y$
2. $5 : 3 = 6 : a : b$
3. $6 km : 3 m=2 m : 4 km$
4. $6 : k = 18 : 12$
5. $4 : 0 = 8 : z$
6. $9 = p$
7. $4 : 7 : 10 = d : e : f$
8. $y : 10 : 15 = x : 30 : z$
En las siguientes proporciones resueltas, ¿qué persona ejecutó correctamente el paso 2 de los pasos de proporción? \[6 : 5 : 4 : 3 = x : y : z : 9 \nonumber \]
1. Persona A:$6 : 5 = x : y$
2. Persona B:$4 : 3 = y : 9$
3. Persona C:$4 : 3 = z : 9$

Contestar

1. OK
2. No es el mismo número de términos en cada lado (Característica #3)
3. Los términos no están en las mismas unidades; los términos no están en el mismo orden (Características #1 y #2)
4. OK
5. No cumple con los criterios de relación; hay un término de cero (Característica #1)
6. No cumple con los criterios de relación; debe tener al menos dos términos en cada lado (Característica #1)
7. No existe un término conocido correspondiente en ambos lados; cada par de términos contiene un término desconocido (Regla #2)
8. El primer término correspondiente no se conoce en ambos lados; al menos uno necesita ser conocido (Regla #1)
La persona C lo hizo bien. La persona A no logró aislar una variable, y diferentes términos fueron extraídos por la Persona B (3er término: 4to término ≠ 2do término: 4to término).

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Estimating Competitor Profits

Un artículo reciente informó que las empresas de cierta industria estaban promediando un beneficio operativo de $23,000 por cada 10 empleados de tiempo completo. Un gerente de marketing quiere estimar la rentabilidad operativa de uno de los competidores de su compañía, que emplea a 87 trabajadores de tiempo completo. ¿Cuál es el beneficio operativo estimado para ese competidor?

Solución

Existe una relación entre el número de empleados de tiempo completo y el beneficio operativo. Esta es una relación. Si configura una relación similar para el competidor, crea una proporción que puede resolver para el beneficio operativo estimado del competidor, o$p$.

Lo que ya sabes

Conoce la industria y la información de la competencia:

Beneficio operativo de la industria = $23,000

Empleados de tiempo completo de la industria = 10

Beneficio operativo de la competencia =$p$

Empleados de tiempo completo de la competencia = 87

Cómo Llegarás

Paso 1: Configura la proporción.

Paso 2: Expresar en formato fraccional.

Paso 3: Aislar la variable desconocida,$p$.

Paso 4: Dado que solo hay uno desconocido, este paso no es necesario.

Realizar

Paso 1:

\[\text {industry profit : industry employees = competitor profit : competitor employees}\nonumber \]

\[\$ 23,000 : 10=p : 87\nonumber \]

Paso 2:

\[\dfrac{\$ 23,000}{10}=\dfrac{p}{87}\nonumber \]

Paso 3:

\[\dfrac{\$ 23,000 \times 87}{10}=p\nonumber \]

\[p=\$ 200,100\nonumber \]

Si la industria está promediando $23,000 en ganancias de operación por cada 10 empleados de tiempo completo, entonces el competidor con 87 empleados de tiempo completo tiene un estimado de $200,100 en ganancias operativas.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Making the Party Punch

Al prepararse para una fiesta, Brendan necesita mezclar un ponche que consiste en jugo de frutas, vodka y 7UP en la proporción de$5 : 3 : 2$, respectivamente. Si Brendan tiene una botella de vodka de 2 L, ¿cuánto jugo de frutas y 7UP debe mezclar con ella?

Solución

La relación entre los ingredientes de la receta ponche de jugo de frutas, vodka y 7UP forma una proporción. Si configura una proporción similar para lo que Brendan realmente tiene y necesita, puede calcular las cantidades exactas de jugo de frutas, vodka y 7UP que se requieren.

Lo que ya sabes

Ya sabes que la relación de recetas de ponche de$\text {fruit juice : vodka : 7UP}$ es$5 : 3 : 2$. Brendan tiene 2 L de vodka.

Cómo Llegarás

Paso 1: Configura la proporción.

Paso 2: Elija dos términos que contengan una variable desconocida y exprese en formato fraccionario.

Paso 3: Aislar la variable desconocida.

Paso 4: Elija otros dos términos que contengan la otra variable desconocida y exprese en formato fraccionario antes de aislar la variable desconocida.

Realizar

Paso 1:

\[5 : 3 : 2 = f : 2 : s\nonumber \]

Paso 2:

\[\begin{aligned} \dfrac{5}{3}&=\dfrac{f}{2}\\ \dfrac{10}{3}&=f\\ 3.\overline{3}&=f \end{aligned}\nonumber \]

Paso 3:

\[\begin{aligned} \dfrac{3}{2}&=\dfrac{2}{s}\\ \dfrac{2}{3}&=\dfrac{s}{2}\\ \dfrac{4}{3}&=s\\ 1.\overline{3}&=s \end{aligned}\nonumber \]

Manteniendo la relación$5 : 3 : 2$ entre el ponche de fruta, vodka y 7UP, Brendan debe mezclar$3^{1 / 3}$ L de jugo de fruta y$1^{1 / 3}$ L de 7UP con sus 2 L de vodka.

¿Qué es Prorating?

Las proporciones y proporciones se utilizan comúnmente en diversas aplicaciones de negocios. Pero habrá numerosas situaciones en las que su negocio debe asignar fondos limitados a través de diversas divisiones, departamentos, presupuestos, individuos, etc. En el abridor de esta sección, un ejemplo discutió la división de ganancias con su socio comercial, donde debe distribuir las ganancias en proporción a la inversión total de cada socio. Invertiste 73,000 dólares mientras que tu pareja invirtió $46,000. ¿Cuánto del total de ganancias de 47,500 dólares debería recibir?

El proceso de prorrateo consiste en tomar una cantidad total y asignarla o distribuirla proporcionalmente. En el ejemplo anterior, debes tomar las ganancias totales de 47,500 dólares y distribuirlas proporcionalmente con tu socio comercial en función de la inversión de cada socio. La proporción es:

\[\text { your investment : your partner's investment }=\text { your profit share : your partner's profit share }\nonumber \]

Esta proporción tiene dos preocupaciones principales:

No conoces ninguno de los términos del lado derecho. Según las reglas de proporciones, esto hace que la proporción sea irresoluble.
¡Hay una pieza de información de la situación que no usaste en absoluto! ¿Qué pasó con las ganancias totales de 47,500 dólares?

Toda situación prorrateadora implica un término oculto. Este término oculto suele ser la suma de todos los demás términos del mismo lado de la proporción y representa un total. En nuestro caso, son los $47,500 de ganancias totales. Esta cantidad debe colocarse como término extra en ambos lados de la proporción para crear una proporción que realmente pueda resolverse.

Cómo funciona

Prorratar representa una proporción compleja. Como tal, los pasos involucrados en el prorrateo son similares a los pasos para resolver cualquier proporción:

Paso 1: Establecer la proporción con la relación conocida en el lado izquierdo. Colocar la relación con cualquier variable desconocida en el lado derecho.

Paso 2: Insertar el término oculto en ambos lados de la proporción. Por lo general, este término representa el total de todos los demás términos del mismo lado de la proporción.

Paso 3: Trabajando con solo dos términos a la vez, exprese los dos términos en formato fraccionario. Asegurar que solo aparezca una variable desconocida en la proporción resultante.

Paso 4: Resolver para la variable desconocida. Asegurar que se obedecen las reglas de BEDMAS y se realiza una manipulación algebraica adecuada.

Paso 5: Si el prorrateo contiene más de una variable desconocida, vuelva al paso 3 y seleccione un emparejamiento que aísle otra de las variables desconocidas.

Para resolver su escenario de división de ganancias, deje que$y$ represente su participación en las ganancias y$p$ represente la participación de su socio:

Paso 1: su inversión: la inversión de su socio = su participación en las ganancias: la participación en las ganancias de su socio

\[\$ 73,000 : \$ 46,000=y : p\nonumber \]

Paso 2: Inserte el término total oculto en ambos lados:

\[\text { your investment } \quad : \quad \text { your partner's investment } \quad : \quad \text { total investment } \quad = \quad \text { your profit share } \quad : \quad \text { your partner's profit share : } \quad \text { total profits }\nonumber \]

\[\$ 73,000 : \$ 46,000 : \$ 119,000=y : p : \$ 47,500\nonumber \]

Paso 3:

Configura una proporción:

\[\dfrac{\$ 73,000}{\$ 119,000}=\dfrac{y}{\$ 47,500}\nonumber \]

Paso 4:

Resolver para$y$. Calcular$y = \$29,138.66$.

Paso 5:

Configura la otra proporción:

\[\dfrac{\$ 46,000}{\$ 119,000}=\dfrac{p}{\$ 47,500}\nonumber \]

Resolver para$p$. Calcular$p = \$18,361.34$.

Su proporción final es:

\[\$ 73,000 : \$ 46,000 : \$ 119,000=\$ 29,138.66 : \$ 18,361.34 : \$ 47,500.00\nonumber \]

Por lo que recibirás$\$29,138.66$ del total de ganancias y tu pareja recibirá$\$18,361.34$.

Notas Importantes

Para que las situaciones de prorrateo sean más fáciles de resolver, siempre es mejor insertar el término oculto como último término en ambos lados de la ecuación. Esto obliga a las variables desconocidas a ingresar al numerador cuando selecciona pares de términos. Entonces se necesita menos álgebra para aislar y resolver para la variable desconocida.

Cosas a tener en cuenta

Asegúrese de que cuando inserte el término oculto lo pongas en la misma posición en ambos lados de la proporción. Un error común es poner el total en los “exteriores” de la proporción:

\[A : B=C : D \text { when prorated becomes }\nonumber \]

\[\text { Total } : A : B=C : D : \text { Total }\nonumber \]

Esto viola las características de proporción, ya que los términos no están en el mismo orden en ambos lados. La correcta inserción del término total oculto hace que la proporción se vea así:

\[A : B : \text { Total }=C : D : \text { Total }\nonumber \]

Caminos hacia el éxito

Otra forma de aproximarse al prorrateo es calcular una base “por unidad” y luego multiplicar cada término en la proporción por esta base. Por ejemplo, suponga que está distribuyendo 100 dólares entre tres personas, que tienen acciones de tres, cinco y dos. Se trata de un total de 10 acciones (el término oculto). Por lo tanto, $100 divididos por 10 acciones son $10 por acción. Si la primera persona tiene tres acciones, entonces$\$ 10 \times 3=\$ 30$. La segunda y tercera personas obtienen$\$ 10 \times 5=\$ 50$ y$\$ 10 \times 2=\$ 20$, respectivamente. Por lo tanto,

\[3 : 5 : 2 : 10=\$ 30 : \$ 50 : \$ 20 : \$ 100\nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{5}$: A Refund on Your Car Insurance Premiums

Pagaste tu prima anual de seguro de auto de $1,791 en un Ford Mustang GT. Después de cinco meses completos, decides vender tu vehículo y usar el dinero para cubrir tus gastos escolares. Asumiendo que no hay cuotas u otras deducciones de tu agencia de seguros, ¿cuánto de tu prima anual de seguro deberías recibir como reembolso?

Solución

Necesitas averiguar cuánto de tu prima anual de seguro debe ser reembolsada. Esto se basará en la cantidad de tiempo que no requirió el seguro. Denotemos esta cantidad como$r$, el reembolso.

Lo que ya sabes

Tienes alguna información sobre primas y plazos:

Seguro total pagado = $1,791

Total de meses pagados = 12

Meses usados = 5

Cómo Llegarás

Paso 1: Configura la proporción.

Paso 2: Insertar el término oculto.

Paso 3: Elija dos términos que contengan una variable desconocida y exprese en formato fraccionario.

Paso 4: Aislar la variable desconocida.

Paso 5: Escoja otros dos términos que contengan la otra variable desconocida y exprese en formato fraccionario antes de aislar la variable desconocida.

Realizar

Paso 1:

\[\text { insurance used : refund }=\text { months used : months not used }\nonumber \]

\[\text { insurance used } : r=5 : \text { months not used }\nonumber \]

Paso 2:

\[\text { insurance used } : r : \$ 1,791=5 : \text { months not used : } 12\nonumber \]

Dos variables permanecen indefinidas. Deducimos que no usaste tu auto durante 7 meses (12 − 5). Desconocemos el seguro utilizado y le asignamos la variable$u$.

\[u : r : \$ 1,791=5 : 7 : 12\nonumber \]

Paso 3:

\[\dfrac{r}{\$ 1,791}=\dfrac{7}{12}\nonumber \]

Paso 4:

\[r=\$ 1,044.75\nonumber \]

Paso 5:

\[\dfrac{u}{\$ 1,791}=\dfrac{5}{12} \quad u=\$ 746.25\nonumber \]

Has usado $746.25 de la prima del seguro anual de $1,791. Con siete meses restantes, tienes derecho a un reembolso de $1,044.75.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Distribution of Costs across Product Lines

Un contador está tratando de determinar la rentabilidad de tres productos diferentes fabricados por su empresa. Algunos datos sobre cada uno se encuentran a continuación:

	Chocolate	Obleas	Turrón
Costos Directos	$743,682	2,413,795	$347,130

Si bien cada producto tiene costos directos asociados con su fabricación y comercialización, hay algunos costos generales (costos que no pueden asignarse a ningún producto) que deben distribuirse. Estos ascienden a 721,150 dólares. Una técnica comúnmente utilizada es asignar estos costos generales en proporción a los costos directos incurridos por cada producto. ¿Cuál es el costo total (directo y gastos generales) para cada producto?

Solución

Es necesario calcular la suma de los costos directos y generales de cada producto. Se conocen los costos directos. Se desconocen los costos generales individuales, pero se pueden calcular mediante prorrateo de los costos generales totales. Tienes tres incógnitas, a saber, chocolate arriba (Co), obleas arriba (Wo), y turrón arriba (No).

Lo que ya sabes

Tiene alguna información sobre costos directos y costos generales:

Chocolate directo ($Cd$) = $743,682

Obleas directas ($Wd$) = $2,413,795

Turrón directo ($Nd$) = $347,130

Costos generales totales = 721,150$

Cómo Llegarás

Paso 1: Configura la proporción.

Paso 2: Insertar el término oculto.

Paso 3: Elija dos términos que contengan una variable desconocida y exprese en formato fraccionario. Puedes comenzar con chocolate por encima, o$Co$.

Paso 4: Aislar la variable desconocida.

Paso 5: Escoja otros dos términos que contengan la otra variable desconocida y exprese en formato fraccionario antes de aislar la variable desconocida. Proceda con las obleas por encima, o$Wo$.

Paso 6: Escoja otros dos términos que contengan la otra variable desconocida y exprese en formato fraccionario antes de aislar la variable desconocida. Proceder con el turrón por encima, o$No$.

Paso 7: Suma los costos directos y generales de cada producto.

Realizar

Paso 1:

\[Cd : Wd : Nd=Co : Wo : No\nonumber \]

\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130=Co : Wo : No\nonumber \]

Paso 2:

\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130 : \text { Total direct costs }=Co : Wo : No : \$ 721,150\nonumber \]

Calcule los costos directos totales como una suma de los tres costos directos:

\[\text { Total direct costs }=\$ 743,682+\$ 2,413,795+\$ 347,130=\$ 3,504,607\nonumber \]

La proporción es ahora:

\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130 : \$ 3,504,607=Co : Wo : No : \$ 721,150\nonumber \]

Paso 3:

\[\dfrac{\$ 743,682}{\$ 3,504,607}=\dfrac{Co}{\$ 721,150}\nonumber \]

Paso 4:

\[\$ 153,028.93=Co\nonumber \]

Paso 5:

\[\begin{aligned} \dfrac{\$ 2,413,795}{\$ 3,504,607}&=\dfrac{Wo}{\$ 721,150}\\ \$ 496,691.43=Wo \end{aligned}\nonumber \]

Paso 6:

\[\begin{aligned} \dfrac{\$ 347,130}{\$ 3,504,607}&=\dfrac{No}{\$ 721,150}\\ \$ 71,429.64&=No \end{aligned}\nonumber \]

Paso 7:

\[\text { Chocolate total cost }=\$ 743,682.00+\$ 153,028.93=\$ 896,710.93\nonumber \]

\[\text { Wafer total cost }=\$ 2,413,795.00+\$ 496,691.43=\$ 2,910,486.43\nonumber \]

\[\text { Nougat total cost }=\$ 347,130.00+\$ 71,429.64=\$ 418,559.64\nonumber \]

Armando los costos directos con los gastos generales asignados, el costo total del chocolate es de 896,710.93 dólares, las obleas son $2,910,486.43 y el turrón es de $418,559.64.

Colaboradores y Atribuciones

Template:ContribBusiMathOlivier

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Reducing Ratios to Lowest Terms

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Maintaining Inventory

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Estimating Competitor Profits

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Making the Party Punch

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): A Refund on Your Car Insurance Premiums

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Distribution of Costs across Product Lines