10.3: Cadenas Markov Regulares

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Objetivos de aprendizaje

En esta sección, aprenderás a:

Identificar Cadenas Markov Regulares, que tienen un equilibrio o estado estacionario a largo plazo
Encuentra el equilibrio a largo plazo para una Cadena Regular de Markov.

Al final de la Sección 10.1, examinamos la matriz de transición T para el profesor Symons caminando y en bicicleta al trabajo. A medida que calculamos potencias cada vez mayores de T, la matriz comenzó a estabilizarse, y finalmente alcanzó su estado estacionario o estado de equilibrio. Cuando eso sucedió, todos los vectores de fila se volvieron iguales, y llamamos a uno de esos vectores de fila un vector de probabilidad fija o un vector de equilibrio E. Además, descubrimos que ET = E.

En esta sección, deseamos responder a las siguientes cuatro preguntas.

¿Toda cadena de Markov alcanza un estado de equilibrio? ¿Hay alguna manera de determinar si una cadena de Markov alcanza un estado de equilibrio?
¿El producto de un vector de equilibrio y su matriz de transición siempre es igual al vector de equilibrio? Es decir, ¿ET = E?
¿Se puede encontrar el vector de equilibrio E sin elevar la matriz a potencias superiores?
¿La distribución de cuotas de mercado a largo plazo para una cadena de Markov depende de la cuota de mercado inicial?

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Toda cadena de Markov alcanza el estado de equilibrio?

Contestar

No. Algunas cadenas de Markov alcanzan un estado de equilibrio pero otras no. Algunas transiciones de cadenas de Markov no se asientan a un patrón fijo o de equilibrio. Por lo tanto, nos gustaría tener una manera de identificar las cadenas de Markov que sí alcanzan un estado de equilibrio.

Un tipo de cadenas de Markov que sí alcanzan un estado de equilibrio se llaman cadenas regulares de Markov. Se dice que una cadena de Markov es una cadena regular de Markov si alguna potencia de su matriz de transición T solo tiene entradas positivas.

Para determinar si una cadena de Markov es regular, examinamos su matriz de transición T y potencias, T ⁿ, de la matriz de transición. Si encontramos alguna potencia$n$ para la que T ⁿ solo tenga entradas positivas (sin entradas cero), entonces sabemos que la cadena de Markov es regular y está garantizada para alcanzar un estado de equilibrio a largo plazo.

Afortunadamente, no tenemos que examinar demasiados poderes de la matriz de transición T para determinar si una cadena de Markov es regular; utilizamos tecnología, calculadoras o computadoras, para hacer los cálculos. Hay un teorema que dice que si una matriz de$n \times n$ transición representa$n$ estados, entonces sólo necesitamos examinar potencias T ^m hasta$m = ( n-1)^2 + 1$.
Si alguna potencia de la matriz de transición T ^m va a tener sólo entradas positivas, entonces eso ocurrirá para alguna potencia$m \leq(n-1)^{2}+1$.

Por ejemplo, si T es una matriz de$3 \times 3$ transición, entonces

\[m = ( n-1)^2 + 1= ( 3-1)^2 + 1=5 . \nonumber \]

Si examinamos T, T ², T ³, T ⁴ y T ⁵, y encontramos que alguna de esas matrices solo tiene entradas positivas, entonces sabemos que T es regular.
Sin embargo, si T, T ², T ³, T ⁴ y T ⁵ tienen al menos una entrada cero y ninguna de ellas tiene todas las entradas positivas, entonces podemos dejar de verificar. Todas las potencias superiores de T también tendrán al menos una entrada cero, y T no será regular.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determinar si las siguientes cadenas de Markov son regulares.

\ (\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {ll}
0 & 1\\
.4 & .6
\ end {array}\ right]\)
\ (\ mathrm {B} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
3 & 7
\ end {array}\ right]\)

Solución

a.) La matriz de transición A no tiene todas las entradas positivas. Pero es una cadena regular de Markov porque

\ [A^ {2} =\ left [\ begin {array} {ll}
.40 & .60\\
.24 & .76
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

solo tiene entradas positivas.

b.) La matriz B no es una cadena regular de Markov porque cada potencia de B tiene una entrada 0 en la primera fila, segunda posición de columna.

\ [\ mathrm {B} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
.3 & .7
\ end {array}\ right]\ quad\ text {y}\ quad\ mathrm {B} ^ {2} =\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\
.3 & .7
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
.3 & .7
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
.51 & .49
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Dado que B es una$2 \times 2$ matriz,$m = (2-1)^2+1= 2$. Hemos examinado B y B ², y hemos descubierto que ninguno tiene todas las entradas positivas. No necesitamos examinar ningún poder superior de B; B no es una cadena regular de Markov.

De hecho, podemos demostrar que todas las matrices 2 por 2 que tienen un cero en la primera fila, segunda posición de columna no son regulares. Considera la siguiente matriz M.

\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {M} =\ left [\ begin {array} {ll}
\ mathrm {a} & 0\
\ mathrm {b} &\ mathrm {c}
\ end {array}\ derecha]\
\ mathrm {M} ^ {2} =\ left [\ begin {array} {ll}
a & 0\\
b & c
\ end array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {ll}
a & 0\\
b & c
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
\ mathrm {a}\ cdot\ mathrm {a} +0\ cdot\ mathrm {b} &\ mathrm {a}\ cdot 0+0\ cdot\ mathrm {c}\
\ mathrm {b}\ cdot\ mathrm {a} +\ mathrm {c} \ cdot\ mathrm {b} &\ mathrm {b}\ cdot 0+\ mathrm {c}\ cdot\ mathrm {c}
\ end {array}\ derecha]
\ end {array}\ nonumber\]

Observe que la primera fila, entrada de la segunda columna$a \cdot 0 + 0 \cdot c$,, siempre será cero, independientemente de a qué potencia elevemos la matriz.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

¿El producto de un vector de equilibrio y su matriz de transición siempre es igual al vector de equilibrio? Es decir, ¿ET = E?

Contestar

En este punto, el lector puede haber adivinado ya que la respuesta es sí si la matriz de transición es una cadena regular de Markov. Tratamos de ilustrar con el siguiente ejemplo de la Sección 10.1.

Una ciudad es atendida por dos compañías de televisión por cable, BestTV y CableCast. Debido a sus agresivas tácticas de ventas, cada año el 40% de los clientes de BestTV cambian a CableCast; el otro 60% de los clientes de BestTV se quedan con BestTV. Por otro lado, 30% de los clientes de CableCast cambian a Best RV y 70% de los clientes de CableCast se quedan con CableCast.

La matriz de transición se da a continuación.

$10.3.2.png$

Si la cuota de mercado inicial para BestTV es del 20% y para CableCast es del 80%, nos gustaría saber la cuota de mercado a largo plazo para cada compañía.

Que la matriz T denote la matriz de transición para esta cadena de Markov, y V ₀ denote la matriz que representa la cuota de mercado inicial. Entonces V ₀ y T son los siguientes:

\ [\ mathrm {V} _ {0} =\ left [\ begin {array} {ll}
.20 & .80
\ end {array}\ derecha]\ quad\ text {y}\ quad\ mathrm {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Dado que cada año las personas cambian de acuerdo a la matriz de transición T, después de un año la distribución para cada empresa es la siguiente:

\ [\ mathrm {V} _ {1} =\ mathrm {V} _ {0}\ mathrm {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
.20 & .80
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll} .36 & .64\ fin { array}\ derecha]\ nonumber\]

Después de dos años, la cuota de mercado para cada empresa es

\ [\ mathrm {V} _ {2} =\ mathrm {V} _ {1}\ mathrm {T} =\ left [\ begin {array} {lll}
.36 & .64
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
. 408 & .592
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Después de tres años la distribución es

\ [\ mathrm {V} _ {3} =\ mathrm {V} _ {2}\ mathrm {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
.408 & .592
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
.4224 & .5776
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Después de 20 años la cuota de mercado son dadas por\ (\ mathrm {V} _ {20} =\ mathrm {V} _ {0}\ mathrm {T} ^ {20} =\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\).

Después de 21 años,$\mathrm{V}_{21}=\mathrm{V}_{0} \mathrm{T}^{21}=[3 / 7 \quad 4 / 7]$; las cuotas de mercado son estables y no cambiaron.

La cuota de mercado después de 20 años se ha estabilizado a\ (\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\). Esto significa que

\ [\ left [\ begin {array} {lll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
3/7 & 4/7
\ fin {matriz}\ derecha]\ nonumber\]

Una vez que la cuota de mercado alcanza un estado de equilibrio, se mantiene igual, es decir, ET = E.

Esto nos ayuda a responder a la siguiente pregunta.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

¿Se puede encontrar el vector de equilibrio E sin elevar la matriz de transición T a grandes potencias?

Contestar

La respuesta a la segunda pregunta nos proporciona una manera de encontrar el vector de equilibrio E. La respuesta radica en el hecho de que ET = E.

Ya que tenemos la matriz T, podemos determinar E a partir de la sentencia ET = E.

Supongamos que\ (\ mathrm {E} =\ left [\ begin {array} {ll}
\ mathrm {e} & 1-\ mathrm {e}
\ end {array}\ right]\), entonces ET = E nos da

\ [\ left [\ begin {array} {ll}
\ mathrm {e} & 1-\ mathrm {e}
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\\
.30 & .70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
\ mathrm {e} & 1-\ mathrm { e}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

\ [\ left [\ begin {array} {ll}
(.60)\ mathrm {e} +.30 (1-\ mathrm {e}) & (.40)\ mathrm {e} +.70 (1-\ mathrm {e})\ end {array}
\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}\ mathrm {e} & 1-
\ mathrm {e} & 1-\ mathrm {e}}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

\ [\ left [\ begin {array} {ll}
.30\ mathrm {e} +.30 & -.30\ mathrm {e} +.70
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
\ mathrm {e} & 1-\ mathrm {e}
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

\[.30\mathrm{e}+.30 = \mathrm{e} \nonumber \]

\[\mathrm{e} = 3/7 \nonumber \]

Por lo tanto,\ (\ mathrm {E} =\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\)

Como resultado de nuestro trabajo en Ejercicio$\PageIndex{2}$ y$\PageIndex{3}$, vemos que tenemos una opción de métodos para encontrar el vector de equilibrio.

Método 1: Podemos determinar si la matriz de transición T es regular. Si T es regular, sabemos que hay un equilibrio y podemos usar la tecnología para encontrar un alto poder de T.

Para la pregunta de qué es un poder suficientemente alto de T, no hay una respuesta “exacta”.
Seleccione una “alta potencia”, como$n=30$, o$n=50$, o$n=98$. Evalúa T ⁿ en tu calculadora o con una computadora. Comprobar si T ⁿ⁺¹ = T ⁿ. Si T ⁿ⁺¹ = T ⁿ y todas las filas de T ⁿ son iguales, entonces hemos encontrado el equilibrio. El vector de equilibrio es una fila de T ⁿ. Pero si aún no encontraste equilibrio para una cadena regular de Markov, intenta usar una potencia superior de T.

Método 2: Podemos resolver la ecuación matricial ET=E.

La desventaja de este método es que es un poco más difícil, sobre todo si la matriz de transición es mayor que$2 \times 2$. Sin embargo no es tan difícil como parece, si T no es una matriz demasiado grande, porque podemos usar los métodos que aprendimos en el capítulo 2 para resolver el sistema de ecuaciones lineales, en lugar de hacer el álgebra a mano.
La ventaja de resolver ET = E como en el Método 2 es que se puede usar con matrices que no son regulares. Si una matriz es regular, se garantiza que tiene una solución de equilibrio. Si una matriz no es regular, entonces puede o no tener una solución de equilibrio, y resolver ET = E nos permitirá probar que tiene una solución de equilibrio aunque la matriz no sea regular. (En matemáticas decimos que ser una matriz regular es una condición “suficiente” para tener un equilibrio, pero no es una condición necesaria).

Ejercicio$\PageIndex{4}$

¿La cuota de mercado a largo plazo para una cadena de Markov depende de la cuota de mercado inicial?

Contestar

Demostraremos que la distribución final de la cuota de mercado para una cadena de Markov no depende de la cuota de mercado inicial. De hecho, ni siquiera se necesita conocer la distribución inicial de la cuota de mercado para encontrar la distribución a largo plazo.

Además, la distribución final de la cuota de mercado se puede encontrar simplemente elevando la matriz de transición a potencias superiores.

Considere la cuota de mercado inicial\ (\ mathrm {V} _ {0} =\ left [\ begin {array} {ll}
.20 & .80
\ end {array}\ right]\), y la matriz de transición\ (\ mathrm {T} =\ left [\ begin {array} {ll}
.60 & .40\
.30 & .70
\ end {array}\ derecha]\) para BestTV y CableCast en el ejemplo anterior.

Recordemos que encontramos T ⁿ, para muy grande$n$, ser\ (\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7\\
3/7/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\).

Usando nuestras calculadoras, podemos verificar fácilmente que para suficientemente grandes$n$ (usamos$n = 30$),

\ [\ mathrm {V} _ {0}\ mathrm {T} ^ {\ mathrm {n}} =\ left [\ begin {array} {ll}
.20 & .80
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7/7/7/7/7 & 4/7
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {matriz} {lll}

3/7 & 4/7
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

No importa cuál sea la cuota de mercado inicial, el producto es\ (\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\). Si en cambio el recurso compartido inicial es\ (\ mathrm {W} _0=\ left [\ begin {array} {ll}
.10 & .90
\ end {array}\ right]\), entonces para suficientemente grande$n$

\ [\ mathrm {W} _ {0}\ mathrm {T} ^ {\ mathrm {n}} =\ left [\ begin {array} {lll}
.10 & .90
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7/7/7/7/7
\ end {array}\ right] =\ left [begin\ {array} {ll}

3/7 & 4/7
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Para cualquier distribución\ (A=\ left [\ begin {array} {ll}
a & 1-a
\ end {array} |\ right.\), por ejemplo,

\ [\ left [\ begin {array} {ll}
a & 1-a
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7\
3/7/7/7/7
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 (a) +3/7 (1-a) & 4/7 (a) +4/ 7 (1-a)
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

\ [=\ left [\ begin {array} {ll}
3/7 & 4/7
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Tiene sentido; la entrada$3/7(a) + 3/7(1 - a)$, por ejemplo, siempre será igual a 3/7.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Tres empresas, A, B y C, compiten entre sí. La matriz de transición T para las personas que cambian cada mes entre ellas viene dada por la siguiente matriz de transición.

Mes siguiente

$Ejemplo10.3.2.png$

Si la cuota de mercado inicial para las empresas A, B y C es\ (\ left [\ begin {array} {lll}
.25 & .35 & .40
\ end {array}\ right]\), ¿cuál es la distribución a largo plazo?

Solución

Dado que la cuota de mercado a largo plazo no depende de la cuota de mercado inicial, simplemente podemos elevar la cuota de mercado de transición a una gran potencia y obtener la distribución.

\ [\ mathrm {T} ^ {20} =\ left [\ begin {array} {lll}
13/55 & 3/11 & 27/55
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

A largo plazo, la Compañía A tiene 13/55 (alrededor del 23.64%) de la participación de mercado, la Compañía B tiene 3/11 (alrededor del 27.27%) de la participación de mercado, y la Compañía C tiene 27/55 (alrededor del 49.09%) de la participación de mercado.

Resumimos de la siguiente manera:

Cadenas Markov Regulares

Se dice que una cadena de Markov es una cadena de Markov Regular si algún poder de la misma solo tiene entradas positivas.

Que T sea una matriz de transición para una cadena regular de Markov.

A medida que tomamos poderes superiores de T, T ⁿ, a medida que$n$ se hace grande, se acerca a un estado de equilibrio.
Si V ₀ es cualquier vector de distribución, y E un vector de equilibrio, entonces V ₀ T ⁿ = E.
Cada fila de la matriz de equilibrio ^Tn es un vector de equilibrio único E tal que ET = E.
El vector de distribución de equilibrio E se puede encontrar dejando ET = E.

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Cadenas Markov Regulares