10.3.1: Cadenas regulares de Markov (Ejercicios)

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SECCIÓN 10.3 CONJUNTO DE PROBLEMAS: CADENAS MARKOV REGULARES

Determinar si las siguientes matrices son cadenas regulares de Markov.

\ (\ left [\ begin {array} {ll} 1 & 0\\ .5 & .5 \ end {array}\ right]\)	\ (\ left [\ begin {array} {rr} .6 & .4\\ 0 & 1 \ end {array}\ right]\)
\ (\ left [\ begin {array} {ccc} .6 & 0 & .4\\ .2 & .4 & .4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}\ derecha]\)	\ (\ left [\ begin {array} {rrr} .2 & .4 & .4\\ .6 & .4 & 0\\ .3 & .2 & .5 \ end {array}\ right]\)

La Compañía I y la Compañía II compiten entre sí, y la matriz de transición para las personas que pasan de la Compañía I a la Compañía II se da a continuación.

$Sección10.5.3-2.png$

Si la cuota de mercado inicial es del 40% para la Compañía I y del 60% para la Compañía II, ¿cuál será la cuota de mercado después de 3 transiciones?

Si esta tendencia continúa, ¿cuál es la expectativa de largo alcance para el mercado?

Supongamos que la matriz de transición para un tenista es la siguiente, donde C denota los tiros cruzados y D denota tiros en línea.

$Sección10.5.3-3.png$

Si el jugador pegó el primer tiro cruzando cancha, ¿cuál es la probabilidad de que golpee el cuarto tiro cruzando cancha?

Determinar la distribución de tiro a largo plazo.

El profesor Hay nunca ordena huevos dos días seguidos, pero si ordena tofu algún día, entonces existe la misma probabilidad de que pida tofu o huevos al día siguiente.

Encuentra lo siguiente:

Si el profesor Hay tuvo huevos el lunes, ¿cuál es la probabilidad de que tenga tofu el viernes?

Encuentra la distribución a largo plazo para las opciones de desayuno para Professor Hay.

En un programa de bicicletas compartidas con 3 estaciones para bicicletas, A, B y C, las personas pueden pedir prestada una bicicleta en una estación y devolverla a la misma estación o a cualquiera de las otras dos estaciones. La matriz de transición es:

$Sección10.5.3-5.png$

Encuentra lo siguiente:

Si una bicicleta se encuentra inicialmente en la estación A, ¿cuál es la probabilidad de que esté en la estación C después de 5 días?	Si la distribución inicial de bicicletas es del 50% en la estación A, 20% en la estación B y 30% en la estación C, ¿cuál será la distribución después de 2 días? ¿Después de 5 días?
¿Cuál será la eventual distribución a largo plazo de las bicicletas en las estaciones?	Si inicialmente la distribución de bicicletas en las estaciones se distribuyó uniformemente con un tercio de las bicicletas en cada estación, ¿la eventual distribución a largo plazo será diferente a si la distribución inicial es como se da en la parte c)?

Supongamos que un país tiene 3 partidos políticos: los partidos Conservador (C), Liberal (L) y Nacional (N). Si una persona vota por el candidato de un partido en una elección, esa persona podrá decidir votar por el mismo partido en la siguiente elección o puede cambiar para votar por un candidato de otro partido en la siguiente elección. La matriz de transición es:

$Sección10.5.3-6.png$

Supongamos que hay una elección cada año, por lo que el tiempo de transición es de un año. Encuentra lo siguiente.

Si una persona votó por el partido Liberal en esta elección, encuentre la probabilidad de que la persona vote por el partido Nacional en la próxima elección.	Si una persona votó por el partido Nacional en esta elección, encuentre la probabilidad de que la persona vote por el partido Conservador en la elección dentro de dos años.
Si en esta elección los conservadores recibieron el 25% de los votos, los liberales el 30% de los votos, y los Nacionales el 45% restante de los votos, ¿cuál es la distribución pronosticada para la próxima elección?	Asumiendo la distribución actual de la parte c), ¿cuál será la distribución en la elección dentro de dos años?
Asumiendo la distribución actual de la parte c), ¿cuál será la distribución en la elección dentro de tres años?	Determinar la distribución a largo plazo.

La pregunta 7 se refiere a lo siguiente:

Las cadenas de Markov juegan un papel importante en la búsqueda en línea.

“PageRank es un algoritmo utilizado por Google Search para clasificar los sitios web en los resultados de sus motores de búsqueda. PageRank lleva el nombre de Larry Page, uno de los fundadores de Google. PageRank es una forma de medir la importancia de las páginas del sitio web”
Fuente: https://en.Wikipedia.org/wiki/PageRank bajo la Licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual;

La teoría detrás de PageRank es que las páginas a las que se vinculan más a menudo son más importantes y útiles; identificar aquellas a las que se vinculan más a menudo sobre un tema ayuda a identificar las páginas que deben presentarse como más pertinentes en una búsqueda.

En la búsqueda del mundo real, hay miles o millones de páginas enlazando entre sí, lo que resulta en enormes matrices de transición. Debido al tamaño y otras propiedades de estas matrices, las matemáticas detrás de PageRank son más sofisticadas que el pequeño ejemplo que examinamos aquí con solo cuatro sitios web. Sin embargo nuestro ejemplo es adecuado para transmitir el concepto principal de PageRank y su uso en algoritmos de búsqueda.

Cabe señalar que los algoritmos de búsqueda del mundo real, PageRank o esquemas similares de clasificación de cadenas de Markov son solo uno de una variedad de métodos utilizados.

Supongamos que tenemos 4 páginas web que contienen enlaces entre sí. Llamamos a las páginas A, B, C, D.

De la página A, el 30% de las personas enlazan a la página B, el 50% a la página C y el 20% a la página D
De la página B, el 50% del popele enlaza a la página A y el 50% a la página D
De la página C, el 10% de las personas enlazan a la página B, el 70% a la página C y el 20% enlazan a la página D
De la página D, el 20% de las personas enlazan a la página A, el 40% a la página B, el 10% a la página C y el 30% enlazan a la página D

(En este ejemplo, cuando una página se vincula a sí misma, significa que una persona que ve la página se queda en esa página y no enlaza con otra página).

Escribe la matriz de transición.	T es una$4 \times 4$ matriz,$n= 4$ estados. Usa la fórmula$m = ( n-1)^2 + 1$ para encontrar la potencia más alta$m$ que necesitamos verificar para determinar si T es una cadena regular de Markov.
¿Es esta una cadena regular de Markov? Explica cómo lo determinaste.	Encuentra el vector de equilibrio y escribe una oración resumiendo la distribución a largo plazo de las visitas a estos sitios con base en este modelo.
En el vector de equilibrio, el estado con mayor probabilidad tiene el mayor “rango de página” y a medida que disminuyen las probabilidades, el ranking disminuye. Indicar el orden del ranking, desde el más alto Rango de página hasta el más bajo Rango de página, de estas 4 páginas.

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Escribe la matriz de transición.	T es una\(4 \times 4\) matriz,\(n= 4\) estados. Usa la fórmula\(m = ( n-1)^2 + 1\) para encontrar la potencia más alta\(m\) que necesitamos verificar para determinar si T es una cadena regular de Markov.
¿Es esta una cadena regular de Markov? Explica cómo lo determinaste.	Encuentra el vector de equilibrio y escribe una oración resumiendo la distribución a largo plazo de las visitas a estos sitios con base en este modelo.
En el vector de equilibrio, el estado con mayor probabilidad tiene el mayor “rango de página” y a medida que disminuyen las probabilidades, el ranking disminuye. Indicar el orden del ranking, desde el más alto Rango de página hasta el más bajo Rango de página, de estas 4 páginas.