1.3: Adivinando Integrales
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El análisis de caída libre (Sección 1.2) muestra el valor de no separar las cantidades dimensionadas de sus unidades. Sin embargo, ¿y si las cantidades son adimensionales, como el 5 y x en la siguiente integral gaussiana:
Alternativamente, las dimensiones podrían no especificarse como un caso común en matemáticas porque es un lenguaje universal. Por ejemplo, la teoría de probabilidad utiliza la integral gaussiana
\[\int_{x_{1}}^{x_{2}} e^{-x^{2}/\sigma^{2}} \label{1.7} \]
donde\(x\) podría ser altura, error del detector, o mucho más. La física térmica utiliza la integral similar
\[\int_e^{-\frac{1}{2}mv^{2}/kT}dv, \label{1.8} \]
donde v es una velocidad molecular. Las matemáticas, como lenguaje común, estudian su forma común\(\int e^{-ax^{2}}\) sin especificar las dimensiones de\(α\) y\(x\). La falta de especificidad le da a las matemáticas su poder de abstracción, pero dificulta el uso del análisis dimensional.
¿Cómo se puede aplicar el análisis dimensional sin perder los beneficios de la abstracción matemática?
La respuesta es encontrar las cantidades con dimensiones no especificadas y luego asignarles un conjunto consistente de dimensiones. Para ilustrar el enfoque, apliquémoslo a la integral gaussiana definida general
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx. \label{1.9} \]
A diferencia de su primo específico con\(a = 5\), que es\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-5x^{2} dx,}\) la integral la forma general no especifica las dimensiones de\(x\) o\(α\) y esa apertura proporciona la libertad necesaria para utilizar el método de análisis dimensional.
El método requiere que cualquier ecuación sea dimensionalmente válida. Así, en la siguiente ecuación, los lados izquierdo y derecho deben tener dimensiones idénticas:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx = \text{ something. } \label{1.10} \]
¿Es la\(a\) función del lado derecho de\(x\)? ¿Es una función de\(α\)? ¿Contiene una constante de integración?
El lado izquierdo no contiene cantidades simbólicas que no sean\(x\) y\(α\). Pero\(x\) es la variable de integración y la integral está sobre un rango definido, así\(x\) desaparece al integrarse (y no aparece ninguna constante de integración). Por lo tanto, el lado derecho del “algo” es una función sólo de\(a\). En símbolos,
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx = f(a). \label{1.11} \]
La función\(f\) podría incluir números adimensionales como 2/3 o\(\sqrt{\pi}\), pero\(α\) es su única entrada con dimensiones.
Para que la ecuación sea dimensionalmente válida, la integral debe tener las mismas dimensiones que\(f(α)\), y las dimensiones de\(f(α)\) depender de las dimensiones de\(α\). En consecuencia, el procedimiento de análisis dimensional tiene los siguientes tres pasos:
Paso 1. Asignar dimensiones a\(α\) (Sección 1.3.1).
Paso 2. Encuentra las dimensiones de la integral (Sección 1.3.2).
Paso 3. Hacer una\(f(α)\) con esas dimensiones (Sección 1.3.3).
Asignación de cotas a α
El parámetro\(α\) aparece en un exponente. Un exponente especifica cuántas veces multiplicar una cantidad por sí mismo. Por ejemplo, aquí está\(2n\):
\[2^{n} = \underbrace{2 \times 2 \times ... \times 2}. \label{1.12} \]
La noción de “cuántas veces” es un número puro, por lo que un exponente es adimensional. De ahí que el exponente −\(αx^{2}\) en la integral gaussiana sea adimensional. Para mayor comodidad, denota las dimensiones de\(α\) por\([α]\) y de\(x\) por\([x]\). Entonces
\[[α] [x]^{2} = 1, \label{1.13} \]
o
\[[α] = [x]^{-2}. \label{1.14} \]
Esta conclusión es útil, pero continuar usando dimensiones no especificadas pero generales requiere mucha notación, y la notación corre el riesgo de enterrar el razonamiento.
La alternativa más sencilla es hacer\(x\) adimensional. Esa elección hace\(a\) y\(f(α)\) adimensional, por lo que cualquier candidato para\(f(α)\) sería dimensionalmente válido, haciendo de nuevo inútil el análisis dimensional. La alternativa efectiva más simple es dar dimensiones\(x\) simples por ejemplo, longitud. (Esta elección es natural si imaginas el\(x\) eje tirado en el suelo). Entonces\([α] = L^{-2}\).
Dimensiones de la integral
Las asignaciones\([x] = L\) y\([α] = L^{−2}\) determinar las dimensiones de la integral gaussiana. Aquí está la integral otra vez:
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}} dx. \label{1.15} \]
Las dimensiones de una integral dependen de las dimensiones de sus tres piezas: el signo integral\(\int\), el\(e^{−αx^{2}}\) integrando y el diferencial dx. El signo integral se originó como un alargado\(S\) para Summe, la palabra alemana para suma. En una suma válida, todos los términos tienen dimensiones idénticas: El principio fundamental de dimensiones requiere que las manzanas se agreguen solo a las manzanas. Por la misma razón, la suma total tiene las mismas dimensiones que cualquier término. Así, el signo de suma y por lo tanto el signo de integración no afectan las dimensiones: El signo integral es adimensional.
La posición es la integral de la velocidad. Sin embargo, la posición y la velocidad tienen diferentes dimensiones. ¿En qué consiste esta diferencia con la conclusión de que el signo de integración es adimensional?
Debido a que el signo de integración es adimensional, las dimensiones de la integral son las dimensiones del factor exponencial\(e^{−αx^{2}}\) multiplicado por las dimensiones de dx. El exponencial, a pesar de su feroz exponente −\(αx^{2}\), es simplemente varios ejemplares de\(e\) multiplicados juntos. Porque e es adimensional, así es\(e^{-ax^{2}}\).
¿Cuáles son las dimensiones de dx?
Para encontrar las dimensiones de dx, siga los consejos de Silvanus Thompson [45, p. 1]: Lee d como “un poco de”. Entonces dx es “un poco de”\(x\). Un poco de longitud sigue siendo un largo, así que dx es un largo. En general, dx tiene las mismas dimensiones que\(x\). Equivalentemente, d la inversa de\(\int\) es adimensional.
\[\left[\int e^{-\alpha x^{2}} d x\right]=\underbrace{\left[e^{-\alpha x^{2}}\right]}_{1} \times \underbrace{[d x]}_{L}=L. \label{1.16} \]
Una creencia común es que la integración calcula áreas. Las áreas tienen dimensiones de\(L^{2}\). ¿Cómo entonces la integral gaussiana puede tener dimensiones de L?
Hacer una f (α) con las dimensiones correctas
El tercer y último paso en este análisis dimensional es construir una\(f(α)\) con las mismas dimensiones que la integral. Debido a que las dimensiones de\(α\) son\(L^{-2}\), la única manera de\(α\) convertirse en una longitud es formar\(a^{-1/2}\). Por lo tanto,
\[f(a) ∼ a^{-1/2}. \label{1.17} \]
Este resultado útil, que carece únicamente de factor\(a\) adimensional, se obtuvo sin ninguna integración.
Para determinar la constante adimensional, establecer\(α = 1\) y evaluar
\[f(1) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}. \label{1.18} \]
Esta integral clásica se aproximará en la Sección 2.1 y se adivinará que es\(\sqrt{\pi}\). Los dos resultados\(f(1) = \sqrt{\pi}\) y\(f(α) ∼ α^{-1/2}\) requieren eso\(f(a) = \sqrt{\pi/a}\), lo que rinde
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}}dx = \sqrt {\frac{π}{a}}. \label{1.19} \]
A menudo memorizamos la constante adimensional pero olvidamos el poder de\(α\). No hagas eso. El factor α suele ser mucho más importante que la constante adimensional. Convenientemente, el factor α es lo que el análisis dimensional puede calcular.
Problema 1.8 Cambio de variable
Retroceda a la página 8 y finge que no lo sabe\(f(α)\). Sin hacer análisis dimensional, demuéstralo\(f(α) ∼ α^{-1/2}\).
Problema 1.9 Caso fácil\(α = 1\)
Setting\(α = 1\), que es un ejemplo de razonamiento de casos fáciles (Capítulo 2), viola el supuesto de que\(x\) es una longitud y\(α\) tiene dimensiones de\(L^{-2}\). ¿Por qué está bien establecer\(a = 1\)?
Problema 1.10 Integrando un exponencial difícil
Utilice el análisis dimensional para investigar\(\int_{0}^{\infty} e^{-at^{3}}\) dt.