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3.5: Predecir el periodo de un péndulo

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    112587
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    El agrupamiento no solo convierte la integración en multiplicación, sino que convierte las ecuaciones diferenciales no lineales en lineales. Nuestro ejemplo es el análisis del periodo de un péndulo, durante siglos la base del cronometraje occidental.

    Pregunta

    ¿Cómo depende el periodo de un péndulo de su amplitud?

    Captura de pantalla 2021-03-03 a las 12.51.51 AM.png

    La amplitud\(θ_{0}\) es el ángulo máximo del swing; para un péndulo sin pérdidas liberado del reposo, también es el ángulo de liberación. El efecto de amplitud está contenido en la solución a la ecuación diferencial del péndulo (ver [24] para la derivación de la ecuación):

    \[\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}\sin θ = 0. \label{3.22} \]

    El análisis utilizará todas nuestras herramientas: dimensiones (Sección 3.5.2), casos fáciles (Sección 3.5.1 y Sección 3.5.3) y agrupamiento (Sección 3.5.4).

    Problema 3.23: Ángulos

    Explica por qué los ángulos son adimensionales.

    Problema 3.24: Comprobación y uso de dimensiones

    ¿La ecuación del péndulo tiene dimensiones correctas? Utilice el análisis dimensional para mostrar que la ecuación no puede contener la masa del bob (excepto como un factor común que divide).

    Amplitudes pequeñas: Aplicando casos extremos

    La ecuación del péndulo es difícil debido a su factor no lineal\(\sin θ\). Afortunadamente, el factor es fácil en el caso extremo de pequeña amplitud\(θ \rightarrow 0\). En ese límite, la altura del triángulo, que es\(\sin θ\), es casi exactamente la longitud del arco\(θ\). Por lo tanto, para ángulos pequeños,\(\sin θ ≈ θ\).

    Problema 3.25 Aproximación de acordes

    La\(\sin θ ≈ θ\) aproximación reemplaza el arco por una línea recta y vertical. Para hacer una aproximación más precisa, reemplace el arco con la cuerda (una línea recta pero no vertical). ¿Para qué sirve la aproximación resultante\(\sin θ\)?

    En el extremo de pequeña amplitud, la ecuación del péndulo se vuelve lineal:

    \[\frac{d^{2}θ}{dt^{2}}+\frac{g}{l}θ = 0. \label{3.33} \]

    Compare esta ecuación con la ecuación muelle—masa (Sección 3.4)

    \[\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{k}{m}x = 0. \label{3.34} \]

    Las ecuaciones corresponden con\(x\) analogos a\(θ\) y\(k/m\) analogos a\(g/l\). La frecuencia del sistema de masa-resorte es\(w = \sqrt{k/m}\), y su periodo es\(T = 2\pi/ω = 2\pi \sqrt{m/k}\). Para la ecuación del péndulo, el periodo correspondiente es

    \[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \text{ (for small amplitudes). }\label{3.35} \]

    (Este análisis es una vista previa del método de analogía, que es el tema del Capítulo 6.)

    Múltiples problemas

    Problema 3.26 Comprobando dimensiones

    ¿El periodo\(2\pi \sqrt{l/g}\) tiene dimensiones correctas?

    Problema 3.27 Comprobando casos extremos

    ¿Tiene\(T = 2\pi \sqrt{l/g}\) sentido el periodo en los casos extremos\(g \rightarrow \infty\) y\(g \rightarrow 0\)?

    Problema 3.28 Posible coincidencia

    ¿Es una coincidencia que\(g ≈ \pi^{2} m s^{-2}\)? (Para una extensa discusión histórica que involucra al péndulo, véase [1] y más ampliamente también [4, 27, 42].)

    Problema 3.29 Péndulo cónico para la constante

    El factor adimensional de se\(2\pi\) puede derivar usando una visión de Huygens [15, p. 79]: para analizar el movimiento de un péndulo que se mueve en un círculo horizontal (un péndulo cónico). Proyectar su movimiento bidimensional sobre una pantalla vertical produce un movimiento de péndulo unidimensional, por lo que el período del movimiento bidimensional es el mismo que el período de movimiento de péndulo unidimensional. Usa esa idea junto con las leyes de movimiento de Newton para explicar el\(2\pi\).

    Amplitudes arbitrarias: Aplicación del análisis dimensional

    Los resultados anteriores podrían cambiar si la amplitud ya no\(θ_{0}\) es pequeña.

    Pregunta

    A medida que\(θ_{0}\) aumenta, ¿aumenta el periodo, se mantiene constante o disminuye?

    Cualquier análisis se vuelve más limpio si se expresa usando grupos adimensionales (Sección 2.4.1).

    Este problema involucra el período\(T\), la longitud\(l\)\(g\), la fuerza gravitacional y la amplitud\(θ_{0}\). Por lo tanto,\(T\) puede pertenecer al grupo adimensional\(T/\sqrt{l/g}\). Porque los ángulos son adimensionales,\(θ_{0}\) es en sí mismo un grupo adimensional. Los dos grupos\(T/\sqrt{l/g}\) y\(θ_{0}\) son independientes y describen completamente el problema (Problema 3.30). Un contraste instructivo es el sistema de muelle—masa ideal. El período\(T\), la constante\(k\) de resorte y la masa\(m\) pueden formar el grupo adimensional\(T m/k\); pero la amplitud\(x_{0}\), como la única cantidad que contiene una longitud, no puede formar parte de ningún grupo adimensional (Problema 3.20) y, por lo tanto, no puede afectar el período del resorte—masa sistema. En contraste, la amplitud del péndulo ya\(θ_{0}\) es un grupo adimensional, por lo que puede afectar el periodo del sistema.

    Problema 3.30 Elegir grupos adimensionales

    Verifique que el período\(T\), la longitud\(l\)\(g\), la fuerza gravitacional y la amplitud\(θ_{0}\) produzcan dos grupos adimensionales independientes. Al construir grupos útiles para analizar el periodo, ¿por qué debería\(T\) aparecer en un solo grupo? Y ¿por qué\(θ_{0}\) no deberían aparecer en el mismo grupo que\(T\)?

    Dos grupos adimensionales producen la forma general adimensional

    \[\text{one group = function of the other group}, \label{3.36} \]

    por lo

    \[\frac{T}{\sqrt{l/g}} = \text{ function of }θ_{0}. \label{3.37} \]

    Porque\(T/\sqrt{l/g} = 2\pi\) cuando\(θ_{0} = 0\) (el límite de pequeña amplitud), factorial el el\(2\pi\) para simplificar las ecuaciones posteriores, y definir un período adimensional h de la siguiente manera:

    \[\frac{T}{\sqrt{l/g}} = 2\pi h(θ_{0}). \label{3.38} \]

    La función\(h\) contiene toda la información sobre cómo la amplitud afecta el período de un péndulo. Utilizando\(h\), la pregunta original sobre el periodo se convierte en la siguiente: ¿Es\(h\) una función creciente, constante o decreciente de amplitud? Esta pregunta se responde en el siguiente apartado.

    Amplitudes grandes: Casos extremos de nuevo

    Para adivinar el comportamiento general de h en función de la amplitud, las pistas útiles provienen de evaluar\(h\) a dos amplitudes. Una amplitud fácil es el extremo de la amplitud cero, donde\(h(0) = 1\). Una segunda amplitud fácil es el extremo opuesto de las grandes amplitudes.

    Pregunta

    ¿Cómo se comporta el periodo a grandes amplitudes? Como parte de esa pregunta, ¿qué es una gran amplitud?

    Una gran amplitud interesante es\(\pi/2\), lo que significa liberar el péndulo de la horizontal. Sin embargo, exactamente\(h\) está la siguiente expresión horrible (Problema 3.31):\(\pi/2\)

    \[h(\pi/2) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{0}^{pi/2} \frac{dθ}{\sqrt{\cos θ}}\label{3.39} \]

    ¿Esta integral es menor, igual o superior a 1? ¿Quién sabe? Es probable que la integral no tenga forma cerrada y requiera evaluación numérica (Problema 3.32).

    Múltiples problemas

    Problema 3.31 Expresión general para\(h\)
    Usar conservación de energía para mostrar que el periodo es

    \[T(θ_{0}) = s\sqrt{2}\sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{dθ}{\sqrt{cosθ - cosθ_{0}}} \label{3.40} \]

    Confirme que la sentencia adimensional equivalente es

    Para liberación horizontal\(θ_{0} = \pi/2\), y

    \[h(\pi/2) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{dθ}{\sqrt{cosθ}}. \label{3.42} \]

    Problema 3.32 Evaluación numérica para liberación horizontal

    ¿Por qué fallan las recetas de agrupamiento (Sección 3.2) para las integrales en Problema 3.31? Calcular\(h(\pi/2)\) mediante integración numérica.

    Porque no\(θ_{0} = \pi/2\) es un extremo útil, sé aún más extremo. Prueba\(θ_{0} = \pi\), lo que significa liberar el bob del péndulo de la vertical. Sin embargo, si el bob está conectado al punto de pivote por una cuerda, una liberación vertical significaría que el bob cae recto hacia abajo en lugar de oscilar. Este comportamiento novedoso no está incluido ni descrito por la ecuación diferencial del péndulo.

    Captura de pantalla 2021-03-03 en 1.27.40 PM.png

    Afortunadamente, un experimento de pensamiento es barato de probar: Reemplace la cuerda con una varilla de acero sin masa. Equilibrado perfectamente en\(θ_{0} = \pi\), el bob de péndulo cuelga boca abajo para siempre, así\(T(\pi) = \infty\) y\(h(\pi) = \infty\). Así,\(h(\pi) > 1\) y\(h(0) = 1\). A partir de estos datos, la conjetura más probable es que\(h\) aumenta monótonamente con la amplitud. Aunque h primero podría disminuir y luego aumentar, tales giros y vueltas serían un comportamiento sorprendente a partir de una ecuación diferencial tan limpia. (Para el comportamiento de h cerca de θ\(_{0}\) =\ pi, ver Problema 3.34).

    Múltiples problemas

    Problema 3.33 Amplitud pequeña pero distinta de cero

    Captura de pantalla 2021-03-03 en 1.49.22 PM.png

    A medida que la amplitud se acerca a π, el período adimensional h diverge hasta el infinito; a amplitud cero,\(h = 1\). Pero, ¿qué pasa con el derivado de\(h\)? A amplitud cero (\(θ_{0} = 0\)), ¿\(h(θ_{0})\)tiene pendiente cero (curva A) o pendiente positiva (curva B)?

    Problema 3.34 Liberación casi vertical

    B
    \(10^{-1}\) 2.791297
    \(10^{-2}\) 4.255581
    \(10^{-3}\) 5.721428
    \(10^{-4}\) 7.187298

    Imagina soltar el péndulo desde casi vertical: un ángulo inicial\(\pi − β\) con\(β\) minúscula. En función de\(β\), aproximadamente, ¿cuánto tiempo tarda el péndulo en rotar un ángulo significativo digamos, por 1 rad? Usa esa información para predecir cómo\(h(θ_{0}\)) se comporta cuándo\(θ_{0} ≈ \pi\). Verifica y refina tus conjeturas usando los valores tabulados. Después predecir\(h(\pi − 10^{−5}\)).

    Amplitudes moderadas: Aplicando Agrumecimiento

    La conjetura de que h aumenta monótonamente se derivó utilizando los extremos de cero y amplitud vertical, por lo que debería aplicarse a amplitudes intermedias. Antes de tomar esa declaración sobre la fe, recuerden un proverbio de las negociaciones de control de armas: “Confiar, pero verificar”.

    Pregunta

    A amplitudes moderadas (pequeñas pero distintas de cero), ¿el periodo, o su primo adimensional\(h\), aumenta con la amplitud?

    En el extremo de amplitud cero,\(\sin θ\) está cerca de\(θ\). Esa aproximación giró la ecuación del péndulo no lineal

    \[\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}\sin θ = 0 \label{3.43} \]

    en la ecuación lineal de resorte ideal en la que el período es independiente de la amplitud.

    A amplitud distinta de cero, sin embargo,\(θ\) y\(\sin θ\) difieren y su diferencia afecta al periodo. Para dar cuenta de la diferencia y predecir el periodo,\(\sin θ\) dividir en el factor tratable\(θ\) y un factor de ajuste\(f(θ)\). La ecuación resultante es

    \[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g}{l} \theta \underbrace{\frac{\sin \theta}{\theta}}_{f(\theta)}=0\label{3.44} \]

    Captura de pantalla 2021-03-03 a las 2.17.32 PM.png

    La no constante\(f(θ)\) encapsula la no linealidad de la ecuación del péndulo. Cuando\(θ\) es pequeño,\(f(θ) ≈ 1\): El péndulo se comporta como un sistema lineal, ideal de muelles. Pero cuando\(θ\) es grande,\(f(θ)\) cae significativamente por debajo de 1, haciendo que la aproximación ideal-primavera sea significativamente inexacta. Como suele ser el caso, un proceso cambiante es difícil de analizar por ejemplo, ver las horribles integrales en Problema 3.31. Como contramedida, haga una aproximación de agrupamiento reemplazando el cambio\(f(θ)\) por una constante.

    Captura de pantalla 2021-03-03 a las 2.18.56 PM.png

    La constante más simple es f (0). Entonces la ecuación diferencial del péndulo se convierte

    \[\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}θ = 0. \label{3.45} \]

    Esta ecuación es, nuevamente, la ecuación ideal-primavera.

    En esta aproximación, periodo no depende de la amplitud, por lo que h = 1 para todas las amplitudes. Para determinar cómo el periodo de un péndulo no aproximado depende de la amplitud, la aproximación\(f(θ) → f(0)\) agrupada descarta demasiada información.

    Captura de pantalla 2021-03-03 a las 2.21.29 PM.png

    Por lo tanto,\(f(θ)\) sustituir por el otro extremo\(f(θ_{0}\)). Entonces la ecuación del péndulo se convierte en

    \[\frac{d^{2}θ}{dt^{2}} + \frac{g}{l}θf(θ_{0}) = 0. \label{3.46} \]

    Pregunta

    ¿Esta Ecuación es lineal? ¿Qué sistema físico describe?

    Porque\(f(θ_{0}\)) es una constante, ¡esta ecuación es lineal! Describe un péndulo de amplitud cero en un planeta con gravedad\(g_{eff}\) que es ligeramente más débil que la gravedad terrestre como lo muestra el siguiente ligero reagrupamiento:

    \[\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{\overbrace{g f\left(\theta_{0}\right)}^{g_{\text {eff }}}}{l} \theta=0 .\label{3.47} \]

    Debido a que el péndulo de amplitud cero tiene período\(T = 2π\sqrt{l/g}\), el péndulo de amplitud cero y baja gravedad tiene período

    \[\mathrm{T}\left(\theta_{0}\right) \approx 2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{g}_{\mathrm{eff}}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{l}}{\mathrm{gf}\left(\theta_{0}\right)}} \label{3.48} \]

    Usando el periodo adimensional h evita escribir los factores de\(2\pi\)\(l\),, y\(g\), y produce la predicción simple

    \[h(θ_{0}) ≈ f(θ_{0})^{-1/2} = (\frac{sinθ_{0}}{θ_{0}})^{-1/2}. \label{3.49} \]

    A amplitudes moderadas, la aproximación sigue de cerca el período adimensional exacto (curva oscura). Como bono, también predice\(h(\pi) = ∞\), por lo que concuerda con el experimento pensativo de liberar el péndulo de la posición vertical (Sección 3.5.3).

    Pregunta

    ¿Cuánto más grande que el periodo a amplitud cero es el periodo a\(10^{◦}\) amplitud?

    Una\(10^o\) amplitud es aproximadamente 0.17 rad, un ángulo moderado, por lo que la predicción aproximada para sí misma se\(h\) puede aproximar con precisión usando una serie Taylor. La serie de Taylor para\(\sin θ\) comienza\(θ − θ^{3}/6\), entonces

    \[f(θ_{0} = \frac{\sinθ_{0}}{θ_{0}} ≈ 1 - \frac{θ_{0}^{2}}{6}. \label{3.50} \]

    Entonces\(h(θ_{0})\), que es más o menos\(f(θ_{0})^{-1/2}\), se convierte

    \[h(θ_{0}) ≈ (1 - \frac{θ_{0}^{2}}{6})^{-1/2}. \label{3.51} \]

    Otra serie Taylor rinde\((1 + x)^{-1/2} ≈ 1 − x/2\) (para x pequeña). Por lo tanto,

    \[h(θ_{0}) ≈ 1 + \frac{θ_{0}^{2}}{12}. \label{3.52} \]

    La restauración de las cantidades dimensionadas da el período en sí.

    \[T ≈ 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} (1 + \frac{θ_{0}^{2}}{12}). \label{3.53} \]

    En comparación con el periodo a amplitud cero, una\(10^{o}\) amplitud produce un incremento fraccionario de aproximadamente\(θ_{0}^{2}/12 ≈ 0.0025\) o 0.25%. Incluso a amplitudes moderadas, ¡el periodo es casi independiente de la amplitud!

    Problema 3.35 pendiente revisitada

    Utilice el resultado anterior\(h(θ_{0})\) para verificar su conclusión en Problema 3.33 sobre la pendiente de\(h(θ_0)\) at\(θ_{0} = 0\).

    Pregunta

    ¿Nuestra aproximación de agrupamiento subestima o sobreestima el periodo?

    La aproximación de agrupamiento simplificó la ecuación diferencial del péndulo reemplazando\(f(θ)\) con\(f(θ_{0}\)). Equivalentemente, asumió que la masa siempre permaneció en los puntos finales del movimiento donde\(|θ| = θ_{0}\). En cambio, el péndulo pasa gran parte de su tiempo en posiciones intermedias donde\(|θ| < θ_{0}\) y\(f(θ) > f(θ_{0}\)). Por lo tanto, la f promedio es mayor que\(f(θ_{0}\)). Debido a que h está inversamente relacionado con f\((h = f^{−1/2}\)), la aproximación de\(f(θ) → f(θ_{0})\) agrupamiento sobreestima h y el período.

    La aproximación\(f(θ) → f(0)\) agrupada, que predice\(T = 2\pi\sqrt{l/g}\), subestima el periodo. Por lo tanto, el verdadero coeficiente del\(θ_{0}^{2}\) término en la aproximación del periodo

    \[T ≈ 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}(1 + \frac{θ_{0}^{2}}{12}) \label{3.54} \]

    se encuentra entre 0 y 1/12. Una suposición natural es que el coeficiente se encuentra a medio camino entre estos extremos a saber, 1/24. Sin embargo, el péndulo pasa más tiempo hacia los extremos (dónde\(f(θ) = f(θ_{0})\)) que cerca de la posición de equilibrio (dónde\(f(θ) = f(0)\)). Por lo tanto, el coeficiente verdadero probablemente esté más cerca de 1/12 la predicción de la\(f(θ) → f(θ_{0}\)) aproximación que a 0. Una conjetura mejorada podría ser dos tercios del camino de 0 a 1/12, es decir, 1/18.

    En comparación, una solución completa de aproximación sucesiva de la ecuación diferencial de péndulo da el siguiente período [13, 33]:

    \[\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\left(1+\frac{1}{16} \theta_{0}^{2}+\frac{11}{3072} \theta_{0}^{4}+\cdots\right)\label{3.55} \]

    ¡Nuestra suposición educada de 1/18 está muy cerca del verdadero coeficiente de 1/16!


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