3.6: Resumen y otros problemas

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La grumación gira el cálculo sobre su cabeza. Mientras que el cálculo analiza un proceso cambiante dividiéndolo en intervalos cada vez más finos, el agrupamiento simplifica un proceso cambiante al combinarlo en un proceso inmutable. Convierte curvas en líneas rectas, integrales difíciles en multiplicación y ecuaciones diferenciales ligeramente no lineales en ecuaciones diferenciales lineales.

Múltiples problemas

Problema 3.36 FWHM para otra función en descomposición

Usar la heurística FWHM para estimar

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^{4}}. \label{3.56} \]

Luego compare la estimación con el valor exacto de\(π/ 2\). Para un problema adicional agradable, deriva el valor exacto.

Problema 3.37 Ecuación hipotética del péndulo

Supongamos que la ecuación del péndulo había sido

\[\frac{d^{2}θ}{dθ^{2}} + \frac{g}{l}\tan θ = 0. \label {3.57} \]

¿Cómo\(T\) dependería el periodo de la amplitud\(θ_{0}\)? En particular, a medida que\(θ_{0}\) aumenta, ¿\(T\)disminuiría, permanecería constante o aumentaría? ¿Cuál es la pendiente\(dT/dθ_{0}\) a amplitud cero? Compara tus resultados con los resultados de Problema 3.33.

Para pequeños pero distintos de cero\(θ_0\), encuentra una expresión aproximada para el periodo adimensional\(h(θ_0)\) y utilízala para consultar tus conclusiones anteriores.

Problema 3.38 Cola gaussiana 1-sigma
La función de densidad de probabilidad gaussiana con media cero y varianza unitaria es

\[p(x) = \frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}. \label{3.58} \]

El área de su cola es una cantidad importante en la estadística, pero no tiene forma cerrada. En este problema se estima el área de la cola 1-sigma

\[\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dx. \label{3.59} \]

a. Esboce el gaussiano anterior y sombree la cola 1-sigma.

b. Utilizar la heurística de agrupamiento 1/e (Sección 3.2.1) para estimar el área.

c. Utilizar la heurística FWHM para estimar el área.

d. Comparar las dos estimaciones de agrupamiento con el resultado de la integración numérica:

\[\int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x^{2}/2}}{\sqrt{2\pi}}dx = \frac{1 - erf(1 - \sqrt{2})}{2} ≈ 0.159, \label{3.60} \]

donde erf (z) es la función de error.

Problema 3.39 Colas gaussianas distantes

Para la probabilidad canónica Gaussiana, estimar el área de su cola n-sigma (para n grande). En otras palabras, estimar

\[\int_{n}^{\infty} \frac{e^-x^{2}/2}{\sqrt{2\pi}}dx. \label{3.61} \]