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# 4.3: Aproximación al logartihm

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$f(x)=f(0)+\left.x \frac{d f}{d x}\right|_{x=0}+\left.\frac{x^{2}}{2} \frac{d^{2} f}{d x^{2}}\right|_{x=0}+\cdots\label{4.28}$

que parece una secuencia poco intuitiva de símbolos. Afortunadamente, las imágenes suelen explicar los primeros y más importantes términos en una aproximación de funciones. Por ejemplo, la aproximación a un término$$\sin θ ≈ θ$$, que reemplaza la altitud del triángulo por el arco del círculo, convierte la ecuación diferencial de péndulo no lineal en una ecuación lineal manejable (Sección 3.5).

Otra ilustración de la serie Taylor del valor de las imágenes proviene de la serie para la función logaritmo:

$ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... .\label{4.29}$

Su primer término, x, conducirá a la maravillosa aproximación$$(1 + x)^{n} ≈ e^{nx}$$ para pequeños$$x$$ y arbitrarios$$n$$ (Sección 5.3.4). Su segundo término, −$$x^{2}/2$$, ayuda a evaluar la precisión de esa aproximación. Estos dos primeros términos son los términos más útiles y tienen explicaciones pictóricas. El cuadro inicial es la representación integral

$ln(1 + x) = \in_{0}^{x} \frac{dt}{1 + t }. \label{4.30}$

## Pregunta

¿Cuál es la aproximación más simple para el área sombreada?

Como primera aproximación, el área sombreada es aproximadamente el rectángulo circunscrito, un ejemplo de grumping. El rectángulo tiene área x:

$\text{area} = \underbrace{\text{height}}_{1} x \underbrace{\text{width}}_{x} = x. \label{4.31}$

Esta área reproduce el primer término de la serie Taylor. Debido a que usa un rectángulo circunscrito, sobreestima ligeramente$$ln(1 + x)$$.

El área también se puede aproximar dibujando un rectángulo inscrito. Su ancho es de nuevo$$x$$, pero su altura no es 1 sino más bien$$1/(1+x)$$, que es aproximadamente$$1 − x$$ (Problema 4.18). Así, el rectángulo inscrito tiene el área aproximada$$x(1 − x) = x − x$$. Esta zona subestima ligeramente$$ln(1 + x)$$.

## Problema 4.18 Imagen para aproximar la función recíproca

Confirmar la aproximación

$\frac{1}{1 + x} ≈ 1 − x \text{(for small x)} \label{4.32}$

al intentar$$x = 0.1$$ o$$x = 0.2$$. Después dibuja un cuadro para ilustrar la aproximación equivalente$$(1 − x)(1 + x) ≈ 1$$.

Ahora tenemos dos aproximaciones a$$ln(1 + x)$$. La primera aproximación, y un poco más simple, provino de dibujar el rectángulo circunscrito. La segunda aproximación provino del dibujo del rectángulo inscrito. Ambos bailan alrededor del valor exacto.

## Pregunta

¿Cómo se pueden combinar las aproximaciones de rectángulo inscrito y circunscrito para hacer una aproximación mejorada?

Una aproximación sobreestima el área y la otra subestima la superficie; su promedio debería mejorar en cualquiera de las dos aproximaciones. El promedio es un trapecio con área

$\frac{x + (x - x^{2})}{2} = x - \frac{x^{2}}{2}. \label{4.33}$

Esta área reproduce los dos primeros términos de la serie completa de Taylor

$ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... . \label{4.34}$

## Problema 4.19 Término cúbico

Estimar el término cúbico en la serie Taylor estimando la diferencia entre el trapecio y el área verdadera.

Para estas aproximaciones logarítmicas, el problema más difícil es ln 2.

\ [\ ln (1+1)\ approx\ left\ {\ begin {array} {ll}
1 &\ text {(un término)}\\
1-\ frac {1} {2} &\ text {(dos términos)}
\ end {array}\ right. \ label {4.35}\]

Ambas aproximaciones difieren significativamente del valor verdadero (aproximadamente 0.693). Incluso una precisión moderada para ln 2 requiere muchos términos de la serie Taylor, mucho más allá de lo que explican las imágenes (Problema 4.20). El problema es que x in$$ln(1 + x)$$ es 1, por lo que el$$x^{n}$$ factor en cada término de la serie Taylor no encoge los términos alto-n.

El mismo problema ocurre cuando se calcula π usando la serie arcotangente de Leibniz (Sección 4.2.3)

$\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + .... \label{4.36}$

Al usar x = 1, la aproximación directa de π/4 requiere muchos términos para lograr una precisión incluso moderada. Afortunadamente, la identidad trigonométrica$$\arctan 1 = 4 \arctan 1/5 − \arctan 1/239$$ baja la mayor$$x$$ a 1/5 y con ello acelera la convergencia.

## Pregunta

¿Hay un análogo que ayude a estimar$$ln2$$?

Debido a que 2 es también (4/3)/(2/3), una reescritura análoga de$$ln2$$ es

$ln2 = ln\frac{4}{3} - ln\frac{2}{3}. \label{4.37}$

Cada fracción tiene la forma$$1 + x$$ con$$x = ±1/3$$. Debido a que x es pequeño, un término de la serie de logaritmos podría proporcionar una precisión razonable. Por lo tanto, utilicemos$$ln(1 + x) ≈ x$$ para aproximar los dos logaritmos:

$ln2 ≈ \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}. \label{4.38}$

¡Esta estimación es precisa dentro del 5%!

El truco de reescritura ha ayudado a calcular$$\pi$$ (reescribiendo la$$arctan x$$ serie) y a estimar$$ln(1 + x)$$ (reescribiendo x en sí). Por lo tanto, esta idea se convierte en un método, un truco que utilizo dos veces (esta definición suele atribuirse a Polya).

## Múltiples problemas

Problema 4.20 ¿Cuántos términos?

La serie completa de Taylor para el logaritmo es

$ln(1 + x) = \sum{1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}. \label{4.39}$

Si estableces$$x = 1$$ en esta serie, ¿cuántos términos se requieren$$ln2$$ para estimar dentro del 5%?

Problema 4.21 Segunda reescritura

Repita el método de reescritura reescribiendo 4/3 y 2/3; luego estime$$ln2$$ usando solo un término de la serie logaritmo. ¿Qué tan precisa es la estimación revisada?

Problema 4.22 Dos términos de la serie Taylor

Después de reescribir$$ln2$$ como$$ln(4/3) − ln(2/3)$$, utilice la aproximación de dos términos que$$ln(1+x) ≈ x − x^{2}/2$$ para estimar$$ln2$$. Comparar la aproximación a la estimación a un término, es decir 2/3. (El problema 4.24 investiga una explicación pictórica.)

Problema 4.23 Aproximación de función racional para el logaritmo

El reemplazo$$ln 2 = ln(4/3) − ln(2/3)$$ tiene la forma general

$ln(1 + x) = ln\frac{1 + y}{1 - y}, \label{4.40}$

donde$$y = x/(2 + x)$$.

Utilice la expresión para y y la serie de un término$$ln(1 + x) ≈ x$$ para expresar$$ln(1 + x)$$ como una función racional de$$x$$ (como una relación de polinomios en x). ¿Cuáles son los primeros términos de su serie Taylor?

Compare esos términos con los primeros términos de la serie$$ln(1 + x)$$ Taylor, y así explicar por qué la aproximación de la función racional es más precisa que incluso la serie de dos términos$$ln(1 + x) ≈ x − x^{2}/2$$.

Problema 4.24 Interpretación pictórica de la reescritura

a. Utilizar la representación integral de$$ln(1 + x)$$ para explicar por qué es el área sombreada$$ln2$$.

b. Esbozar la región que representa

$ln\frac{4}{3} - ln\frac{2}{3} \label{4.41}$

cuando se utiliza la aproximación de rectángulo circunscrito para cada logaritmo.

c. Delinear la misma región cuando se utiliza la aproximación trapezoidal$$ln(1 + x) = x − x^{2}/2$$. Mostrar pictóricamente que esta región, aunque tiene una forma diferente, tiene la misma área que la región que dibujó en el ítem b.

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