4.6: Resumen y otros problemas
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Problema 4.33 Otro panorama para la desigualdad AM—GM
Croquis\(y = ln x\) para mostrar que la media aritmética de a y b siempre es mayor o igual a su media geométrica, con igualdad cuando\(a = b\).
Problema 4.34 Fórmula de Arquímedes para el área de una parábola
Arquímedes mostró (¡mucho antes del cálculo!) que la parábola cerrada encierra dos tercios de su rectángulo circunscrito. Demostrar este resultado por integración.
Mostrar que la parábola cerrada también encierra dos tercios del paralelogramo circunscrito con lados verticales. Estas recetas pictóricas son útiles a la hora de aproximar funciones (por ejemplo, en Problema 4.32).
Problema 4.35 Cuadro antiguo para el área de un círculo
Los antiguos griegos sabían que la circunferencia de un círculo con radio r era\(2\pi r\). Luego utilizaron la siguiente imagen para mostrar que su área es\(\pi r^{2}\). ¿Se puede reconstruir el argumento?
Problema 4.36 Volumen de una esfera
Extender el argumento de Problema 4.35 para encontrar el volumen de una esfera de radio r, dado que su superficie es\(4\pi r\). Ilustrar el argumento con un boceto.
Problema 4.37 Una suma famosa
Utilice el razonamiento pictórico para aproximar la famosa suma de Basilea\(\sum_{1}^{\infty} n^{-2}\).
Problema 4.38 Método Newton—Raphson
En general, la resolución\(f(t) = 0\) requiere aproximaciones. Un método es comenzar con una suposición\(t_{0}\) y mejorarla iterativamente usando el método Newton—Raphson