4.6: Resumen y otros problemas
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Durante decenas de millones de años, la evolución ha refinado nuestras habilidades perceptuales. Un niño pequeño reconoce los patrones de manera más confiable y rápida que la supercomputadora más grande. El razonamiento pictórico, por lo tanto, aprovecha el vasto poder computacional de la mente. Nos hace más inteligentes al ayudarnos a entender y ver grandes ideas de un vistazo. Para colecciones extensas y amenas de pruebas fotográficas, ver las obras de Nelsen [31, 32]. Aquí hay más problemas para desarrollar el razonamiento pictórico.
Problema 4.33 Otro panorama para la desigualdad AM—GM
Croquis\(y = ln x\) para mostrar que la media aritmética de a y b siempre es mayor o igual a su media geométrica, con igualdad cuando\(a = b\).
Problema 4.34 Fórmula de Arquímedes para el área de una parábola
Arquímedes mostró (¡mucho antes del cálculo!) que la parábola cerrada encierra dos tercios de su rectángulo circunscrito. Demostrar este resultado por integración.
Mostrar que la parábola cerrada también encierra dos tercios del paralelogramo circunscrito con lados verticales. Estas recetas pictóricas son útiles a la hora de aproximar funciones (por ejemplo, en Problema 4.32).
Problema 4.35 Cuadro antiguo para el área de un círculo
Los antiguos griegos sabían que la circunferencia de un círculo con radio r era\(2\pi r\). Luego utilizaron la siguiente imagen para mostrar que su área es\(\pi r^{2}\). ¿Se puede reconstruir el argumento?
Problema 4.36 Volumen de una esfera
Extender el argumento de Problema 4.35 para encontrar el volumen de una esfera de radio r, dado que su superficie es\(4\pi r\). Ilustrar el argumento con un boceto.
Problema 4.37 Una suma famosa
Utilice el razonamiento pictórico para aproximar la famosa suma de Basilea\(\sum_{1}^{\infty} n^{-2}\).
Problema 4.38 Método Newton—Raphson
En general, la resolución\(f(t) = 0\) requiere aproximaciones. Un método es comenzar con una suposición\(t_{0}\) y mejorarla iterativamente usando el método Newton—Raphson