5.5: Integral Trigonométrica Desalentadora

El último ejemplo de sacar la gran parte es estimar una integral trigonométrica desalentadora que aprendí como licenciatura. Mis compañeros y yo pasamos muchas noches en la biblioteca de física resolviendo problemas de tareas; los estudiantes de posgrado, haciendo lo mismo para sus cursos, nos regaleaban con sus problemas favoritos de matemáticas y física.

El integral apareció en el examen matemático-preliminares para ingresar al Instituto Landau de Física Teórica en la ex URSS. El problema es evaluar

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos t)^{100}dt \label{5.42} \]

a dentro del 5% en menos de 5 min sin usar una calculadora o computadora!

Eso\((\cos t)^{100}\) se ve aterrador. La mayoría de las identidades trigonométricas no ayudan. La identidad generalmente útil\((\cos t)^{2} = (\cos 2t − 1)/2\) produce solo

\[(\cos t)^{100} = (\frac{\cos 2t - 1}{2})^{50}, \label{5.43} \]

que se convierte en un monstruo trigonométrico al expandir el poder 50.

Una pista que apunta a un método más simple es que el 5% de precisión es suficiente así que, ¡encuentra la gran parte! El integrando es más grande cuando\(t\) está cerca de cero. Ahí,\(\cos t ≈ 1 − t^{2}/2\) (Problema 5.20), por lo que el integrando es aproximadamente

\[(\cos t)^{100} ≈ (1 - \frac{t^{2}}{2})^{100}. \label{5.44} \]

Tiene la forma familiar\((1 + z)^{n}\), con cambio fraccionario\(z = −t^{2}/2\) y exponente\(n = 100\). Cuando\(t\) es pequeño,\(z = −t^{2}/2\) es pequeño, por lo que\((1+z)^{n}\) puede aproximarse usando los resultados de la Sección 5.3.4:

\ [(1+z) ^ {n}\ aprox\ izquierda\ {\ comenzar {matriz} {ll}
1+n z & (z\ ll 1\ texto {y} n z\ ll 1)\\
e^ {n z} & (z\ ll 1\ texto {y} n z\ texto {no restringido)}
\ end {array}\ derecho. \ label {5.45}\]

Porque el exponente\(n\) es grande,\(nz\) puede ser grande incluso cuando t y\(z\) son pequeños. Por lo tanto, la aproximación más segura es\((1 + z)^{n} ≈ e^{nz}\); entonces

\[(\cos t)^{100} ≈ (1 - \frac{t^{2}}{2})^{100} ≈ e^{-50t^{2}}. \label{5.46} \]

¡Un coseno elevado a un alto poder se convierte en gaussiano! Como comprobación de esta sorprendente conclusión, las tramas generadas por computadora de\((cost)^{n}\) para\(n = 1...5\) muestran una forma de campana gaussiana tomando forma a medida que\(n\) aumenta.

Incluso con esta evidencia gráfica, reemplazar\((cos t)^{100}\) por un gaussiano es un poco sospechoso. En la integral original, t va de\(−\pi/2\) a\(\pi/2\), y estos puntos finales están muy fuera de la región donde\(\cos t ≈ 1 − t^{2}/2\) hay una aproximación precisa. Afortunadamente, este número aporta sólo un pequeño error (Problema 5.35). Ignorar este error convierte la integral original en una integral gaussiana con límites finitos:

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cost)^{100}dt ≈ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-50t^{2}}dt. \label{5.47} \]

Desafortunadamente, con límites finitos la integral no tiene forma cerrada. Pero extender los límites hasta el infinito produce una forma cerrada a la vez que contribuye casi sin errores (Problema 5.36). La cadena de aproximación es ahora

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cos t)^{100}dt ≈ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-50t^{2}}dt ≈ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-50t^{2}}dt. \label{5.48} \]

Múltiples problemas

Problema 5.35 Uso de los límites originales

La aproximación\(\cos t ≈ 1 − t^{2}/2\) requiere que t sea pequeña. ¿Por qué el uso de la aproximación fuera del rango de t pequeño no aporta un error significativo?

Problema 5.36 Ampliar los límites

¿Por qué extender los límites de integración de ±\(\pi/2\) a ± no\(\infty\) aporta un error significativo?

La última integral es un viejo amigo (Sección 2.1):\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-at^{2}}dt = \sqrt{\pi/a}\). Con\(α = 50\), la integral se convierte\(\sqrt{π/50}\). Convenientemente, 50 es aproximadamente\(16\pi\), por lo que la raíz cuadrada y nuestra estimación del 5% es aproximadamente 0.25.

A modo de comparación, la integral exacta es (Problema 5.41)

\[\int_{-\infty}^{\infty} (cos t)^{n} dt = 2^{-n}(\left(\begin{array}{l} n \\ n/2 \end{array}\right): \pi \label{5.49} \]

Cuando\(n = 100\), el coeficiente binomial y la potencia de dos producen

\[\frac{12611418068195524166851562157}{158456325028528675187087900672}\pi ≈ 0.25003696348037. \label{5.50} \]

Nuestro 5 minutos, dentro de -5% estimado de 0.25 es exacto a casi 0.01%!

Múltiples problemas

Problema 5.37 Croquizar las aproximaciones

Parcela\((cos t)^{100}\) y sus dos aproximaciones\(e^{-50t^{2}}\) y\(1 - 50t^{2}\).

Problema 5.38 Aproximación más simple

Utilice la aproximación lineal de cambio fraccionario\((1 − t^{2}/2)^{100} ≈ 1 − 50t^{2}\) para aproximar el integrando; luego intégrelo sobre el rango donde\(1 − 50t^{2}\) sea positivo. ¿Qué tan cerca está el resultado de este método de 1 minuto al valor exacto 0.2500..?

Problema 5.39 Enorme exponente

Estimar

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cos t)^{100000}dt. \label{5.51} \]

Problema 5.40 ¿Qué tan bajo puedes ir?

Investigar la precisión de la aproximación

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (cos t)^{n} dt ≈ \sqrt{\frac{\pi}{n}}, \label{5.52} \]

para pequeños\(n\), incluyendo\(n = 1\).

Problema 5.41 Formulario cerrado

Evaluar la integral

\[\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos t)^{100} dt \label{5.53} \]

en forma cerrada, siga los siguientes pasos:

1. Reemplazar\(\cos t\) con (\(e^{it} + e^{−it})/2\).
2. Usa el teorema binomial para expandir la potencia número 100.
3. Emparejar cada término como\(e^{ikt}\) con una contraparte\(e^{−ikt}\); luego integrar su suma de\(−\pi/2\) a\(\pi/2\). ¿Qué valor o valores de\(k\) producir una suma cuya integral es distinta de cero?