5.6: Resumen y problemas adicionales
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Al enfrentar un problema complicado, divídalo en gran parte, el efecto más importante, y una corrección. Analiza primero la gran parte y preocúpate por la corrección después. Este enfoque de aproximación sucesiva, una especie de razonamiento de dividir y conquistar, da resultados automáticamente en una forma de baja entropía. Las expresiones de baja entropía admiten pocas alternativas plausibles; por lo tanto, son memorables y comprensibles. En definitiva, los resultados aproximados pueden ser más útiles que los resultados exactos.
Problema 5.42 Logaritmo grande
¿Cuál es la gran parte en\(ln(1 + e^{2})\)? Dar un cálculo corto para estimar\(ln(1 + e^{2}\)) a dentro del 2%.
Problema 5.43 Mutaciones bacterianas
En un experimento descrito en un seminario de biología de Caltech en la década de 1990, los investigadores irradiaron repetidamente una población de bacterias para generar mutaciones. En cada ronda de radiación, 5% de las bacterias mutaron. Después de 140 rondas, ¿aproximadamente qué fracción de bacterias quedaron sin mutar? (El orador del seminario le dio a la audiencia 3 s para hacer una conjetura, apenas el tiempo suficiente para usar o incluso encontrar una calculadora.)
Problema 5.44 Ecuaciones cuadráticas revisadas
La siguiente ecuación cuadrática, inspirada en [29], describe un sistema oscilante muy fuertemente amortiguado.
\[s^{2} + 10^{9}s + 1 = 0. \label{5.54} \]
a. Utilice la fórmula cuadrática y una calculadora estándar para encontrar ambas raíces de la cuadrática. ¿Qué sale mal y por qué?
b. Estimar las raíces sacando la gran parte. (Pista: Aproximar y resolver la ecuación en casos extremos apropiados.) Después mejorar las estimaciones utilizando aproximaciones sucesivas.
c. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas del análisis de fórmula cuadrática frente a la aproximación sucesiva?
Problema 5.45 Aproximación normal a la distribución binomial
La expansión binomial
\[(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^{2n} \label{5.55} \]
contiene términos del formulario
\ [f (k)\ equiv\ left (\ begin {array} {c}
2 n\\
n-k
\ end {array}\ right) 2^ {-2 n}\ label {5.56}\]
donde\(k = −n . . . n\). Cada término f (k) es la probabilidad de lanzar\(n − k\) cabezas (y\(n + k\) colas) en\(2n\) volteos de monedas;\(f(k)\) es la llamada distribución binomial con parámetros\(p = q = 1/2\). Aproximar esta distribución respondiendo a las siguientes preguntas:
a. ¿Es\(f(k)\) una función par o impar de\(k\)? ¿Para\(k\) qué\(f(k)\) tiene su máximo?
b. aproximar\(f(k)\) cuándo\(k ≪ n\) y bosquejo\(f(k)\). Por lo tanto, derivar y explicar la aproximación normal a la distribución binomial.
c. Utilice la aproximación normal para mostrar que la varianza de esta distribución binomial es\(n/2\).
Problema 5.46 Función Beta
La siguiente integral aparece a menudo en la inferencia bayesiana:
\[f(a,b) = \int_{0}^{1} x^{a}(1-x)^{b}dx, \label{5.57} \]
donde\(f(a − 1, b − 1)\) está la función beta de Euler. Usar métodos de lucha en la calle para conjeturar formas funcionales para\(f(a,0), f(a,a)\), y, finalmente,\(f(a,b)\). Consulta tus conjeturas con una tabla de integrales de alta calidad o un sistema de álgebra computacional como Maxima.