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# 6.3: Operadores - suma de Euler-MacLaurin

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La siguiente analogía estudia funciones inusuales. La mayoría de las funciones convierten los números en otros números, pero los tipos especiales de funciones los operadores convierten las funciones en otras funciones. Un ejemplo familiar es el operador derivado D. Convierte la función sinusoidal en la función coseno, o la función sinusoidal hiperbólica en la función coseno hiperbólica. En notación de operador,$$D(\sin) = \cos$$ y$$D(\sin h) = \cos h$$; omitiendo los paréntesis da la expresión menos desordenado$$D \sin = \cos$$ y$$D \sin h = \cos h$$. Para entender y aprender a usar operadores, una herramienta fructífera es el razonamiento por analogía: Los operadores se comportan como funciones ordinarias o incluso como números.

## Desplazamiento izquierdo

Al igual que un número, el operador derivado$$D$$ puede ser cuadrado para hacer$$D^{2}$$ (el operador de segunda derivada) o para hacer cualquier potencia entera de$$D$$. Del mismo modo, el operador derivado puede ser alimentado a un polinomio. En ese uso, un polinomio ordinario como$$P(x) = x^{2} + x/10 + 1$$ produce el polinomio operador$$P(D) = D^{2} + D/10 + 1$$ (el operador diferencial para un sistema de muelle—masa ligeramente amortiguado).

¿Hasta dónde se extiende la analogía con los números? Por ejemplo, ¿$$\cos hD \text{ or } \sin D$$tienen sentido? Debido a que estas funciones se pueden escribir usando la función exponencial, investiguemos el operador exponencial$$e^{D}$$.

##### Pregunta

¿Qué$$e^{D}$$ significa?

La interpretación directa de$$e$$ es que convierte una función$$f$$ en$$e^{Df}$$.

Sin embargo, esta interpretación es innecesariamente no lineal. Se$$2f$$ convierte en$$e^{2Df}$$, que es el cuadrado de$$e^{Df}$$, mientras que un operador lineal que produce$$e^{Df}$$ a partir$$f$$ produciría 2$$e^{Df}$$ de$$2f$$. Para obtener una interpretación lineal, use una serie Taylor como si$$D$$$$e^{D}$$ fuera un número para construir a partir de operadores lineales.

$e^{D} = 1 + D + \frac{1}{2}D^{2} + \frac{1}{6}D^{3} + ... .\label{6.4}$

##### Pregunta

¿Qué le hace$$e^{D}$$ esto a las funciones simples?

La función distinta de cero más simple es la función constante$$f = 1$$. Aquí está esa función que se está alimentando a$$e^{D}$$:

$\underbrace{(1 + D + ...)}_{e^{D}} \underbrace{1}_{f} = 1. \label{6.5}$

La siguiente función más simple$$x$$ se convierte en$$x + 1$$.

$(1 + D + \frac{D^{2}}{2} + ...)x = x + 1. \label{6.6}$

Más interesante,$$x^{2}$$ se convierte en$$(x + 1)^{2}$$.

$(1 + D + \frac{D^{2}}{2} + \frac{D^{3}}{6} ...) x^{2} = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}. \label{6.7}$

##### Problema 6.14 Continuar el patrón

¿Qué es$$e^{D}x^{3}$$ y, en general,$$e^{D}x^{n}$$?

##### Pregunta

¿Qué$$e^{D}$$ hace en general?

Los ejemplos anteriores siguen el patrón$$e^{D}x^{n} = (x+1)^{n}$$. Debido a que la mayoría de las funciones de se$$x$$ pueden ampliar en poderes de$$x$$, y$$e^{D}$$ convierte cada$$x^{n}$$ término en$$(x + 1)^{n}$$, la conclusión es que$$e^{D}$$ se$$f(x)$$ convierte en$$f(x + 1)$$. Sorprendentemente,$$e^{D}$$ es simplemente L, el operador de desplazamiento a la izquierda.

##### Múltiples problemas

Problema 6.15 Desplazamiento derecho o izquierdo

Dibuja una gráfica para mostrar que$$f(x) \rightarrow f(x + 1)$$ es un desplazamiento a la izquierda en lugar de a la derecha. Aplicar$$e^{- D}$$ a algunas funciones simples para caracterizar su comportamiento.

Problema 6.16 Operando en una función más difícil

Aplica la expansión Taylor$$e^{D}$$ para pecar x para mostrar eso$$e^{D} \sin x = \sin(x + 1)$$.

Problema 6.17 Operador de turno general

Si$$x$$ tiene dimensiones, entonces el operador derivado no$$D = d/dx$$ es adimensional, y$$e^{D}$$ es una expresión ilegal. Para hacer$$e^{aD}$$ legal la expresión general, ¿cuáles deben las dimensiones de un ser? ¿Qué$$e^{aD}$$ hace?

## Suma

Así como el operador derivado puede representar al operador de desplazamiento a la izquierda (as$$L = e^{D}$$), el operador de desplazamiento a la izquierda puede representar la operación de suma. Esta representación del operador conducirá a un método potente para aproximar sumas sin forma cerrada.

La suma es análoga a la operación más familiar de integración. La integración ocurre en sabores definidos e indefinidos: La integración definida equivale a la integración indefinida seguida de una evaluación en los límites de la integración. Como ejemplo, aquí está la integración definitiva de$$f(x) = 2x$$.

En general, la conexión entre una función de entrada g y el resultado de la integración indefinida es$$DG = g$$, donde$$D$$ está el operador derivado y$$G = \int g$$ es el resultado de la integración indefinida.

Así$$D$$ y son inversos uno del otro$$D\int = 1$$ o$$D = 1/\int$$ una conexión representada por el bucle en el diagrama. ($$\int D \nleq 1$$debido a una posible constante de integración.)

##### Pregunta

¿Cuál es la imagen análoga para la suma?

Análogamente a la integración, definir la suma definida como suma indefinida y luego la evaluación en los límites. Pero aplique la analogía con cuidado para evitar un error off-by-one o cercapost (Problema 2.24). La suma$$\sum_{2}^{4}f(k)$$ incluye tres rectángulos$$f(2), f(3)$$, y$$f(4)$$ mientras que la integral definida$$\sum_{2}^{4}f(k)$$ dk no incluye ninguno de los$$f(4)$$ rectángulos. En lugar de rectificar la discrepancia redefiniendo la operación familiar de integración, interprete la suma indefinida para excluir el último rectángulo. Luego suma indefinida seguida de evaluar en los límites$$a$$ y$$b$$ produce una suma cuyo índice va desde$$a$$ hasta$$b − 1$$.

Como ejemplo, tomemos$$f(k) = k$$. Entonces la suma indefinida$$\sum$$ f es la función$$F$$ definida por$$F(k) = k(k − 1)/2 + C$$ (donde C es la constante de suma). Evaluando$$F$$ entre 0 y$$n$$ da$$n(n − 1)/2$$, que es$$\sum_{0}^{n - 1}k$$. En el siguiente diagrama, estos pasos son la ruta de avance.

En la ruta inversa, el nuevo operador Δ invierte del mismo$$\sum$$ modo que la diferenciación invierte la integración. Por lo tanto, una representación de operador para Δ proporciona uno para$$\sum$$. Debido a que Δ y el operador derivado$$D$$ son análogos, sus representaciones son probablemente análogas. Un derivado es el límite

$\frac{d f}{d x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \label{6.8}$

El operador derivado$$D$$ es, por lo tanto, el límite del operador

$D = lim_{h \rightarrow 0} \frac{L_{h} - 1}{h}, \label{6.9}$

donde el operador Lh se$$f(x)$$ convierte en es$$f(x + h)$$ decir,$$Lh$$ deja los turnos por$$h$$.

##### Problema 6.18 Límite de operador

Explique por qué$$L_{h} ≈ 1 + hD$$ para h pequeñas. Mostrar por lo tanto eso$$L = e^{D}$$.

##### Pregunta

¿Qué es una representación análoga de Δ?

El límite de operador para D utiliza un desplazamiento infinitesimal a la izquierda; correspondientemente, la operación inversa de integración suma rectángulos de ancho infinitesimal. Debido a que la$$\sum$$ suma suma rectángulos de ancho de unidad, su inversa Δ debe usar un desplazamiento de unidad a la izquierda es decir,$$L_{h}$$ con$$h = 1$$. Como conjetura razonable,

$Δ = lim_{h \rightarrow 1} \frac{L_{h} - 1}{h} = L - 1. \label{6.10}$

Este Δ llamado operador de diferencia finita se construye para ser$$1/\sum$$. Si la construcción es correcta, entonces$$(L − 1)\sum$$ es el operador de identidad 1. En otras palabras, (L − 1)$$\sum$$ deben convertir las funciones en sí mismas.

##### Pregunta

¿Qué tan bien funciona esta conjetura en varios casos fáciles?

Para probar la conjetura, aplique$$(L−1)\sum$$ primero el operador a la función easy$$g = 1$$. Entonces$$\sum g$$ es una función esperando ser alimentada con un argumento, y ($$\sum g)(k)$$es el resultado de alimentarlo$$k$$. Con esa notación, ($$\sum g)(k) = k + C$$. Alimentar esta función al$$L − 1$$ operador se reproduce$$g$$.

$[(L - 1) \sum g](k) = \underbrace{(k + 1 + C)}_{(L\sum g)(k)} - \underbrace{(k + C)}_{(1\sum g)(k)} = \underbrace{1}_{g(k)}. \label{6.11}$

Con la siguiente función más fácil definida por$$g(k) = k$$ la suma indefinida ($$\sum g)(k)$$es$$k(k − 1)/2 + C$$. $$L − 1$$De$$\sum g$$ paso otra vez se reproduce$$g$$.

$[(\mathrm{L}-1) \Sigma \mathrm{g}](\mathrm{k})=\underbrace{\left(\frac{(\mathrm{k}+1) \mathrm{k}}{2}+\mathrm{C}\right)}_{(\mathrm{L} \Sigma \mathrm{g})(\mathrm{k})}-\underbrace{\left(\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)}{2}+\mathrm{C}\right)}_{(1[\mathrm{~g})(\mathrm{k})}=\underbrace{\mathrm{k}}_{\mathrm{g}(\mathrm{k})} . \label{6.12}$

En resumen, para las funciones de prueba$$g(k) = 1$$ y$$g(k) = k$$, el producto operador$$(L − 1)\sum$$ lleva g de vuelta a sí mismo, por lo que actúa como el operador de identidad. Este comportamiento es general de hecho$$(L−1)\sum 1$$ es 1, y$$\sum = 1/(L−1)$$. Porque$$L = e^{D}$$, tenemos$$\sum = 1/(e^{D} − 1)$$. Ampliar el lado derecho en una serie Taylor brinda una representación increíble del operador de suma.

$\sum = \frac{1}{e^{D} - 1} = \frac{1}{D} - \frac{1}{2} + \frac{D}{12} - \frac{D^{3}}{720} + \frac{D^{5}}{30240} - ... .\label{6.13}$

Porque$$D = 1$$, el término líder$$1/D$$ es la integración. Así, la suma es aproximadamente integración una conclusión plausible que indica que la representación del operador no es tontería.

Aplicar esta serie de operadores a una función f y luego evaluar en los límites a y b produce la fórmula de suma de Euler-MacLaurin

\ sum_ {a} ^ {b - 1} f (k) =&\ int_ {a} ^ {b} f (k) d k+\ frac {f (b) +f (a)} {2} +\ frac {f^ {(1)} (b) -f^ {(1)} (a)} {12}\\
&- frac {f^ {(3)} (b) -f^ {(3)} (a)} {720} +\ frac {f^ {(5)} (b) -f^ {(5)} (a)} {30240} -\ cdots

donde$$f^{(n)}$$ indica la enésima derivada de$$f$$.

A la suma le falta el término final habitual$$f(b)$$. Incluir este término da la alternativa útil

\ sum_ {a} ^ {b} f (k) =&\ int_ {a} ^ {b} f (k) d k+\ frac {f (b) +f (a)} {2} +\ frac {f^ {(1)} (b) -f^ {(1)} (a)} {12}\\
&-\ frac {f^ {(3)} (b) -f^ {(3)} (a)} {720} +\ frac {f^ {(5)} (b) -f^ {(5)} (a)} {30240} -\ cdots

Como cheque, prueba un caso fácil:$$\sum_{0}{n}k$$. Usando la suma de Euler-Maclaurin,$$f(k) = k, a = 0$$, y$$b = n$$. El término integral entonces contribuye$$n^{2}/2$$; el término constante$$[f(b) + f(a)]/2$$ contribuye$$n/2$$; y los términos posteriores desaparecen. El resultado es familiar y correcto:

$\sum_{0}^{n}k = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2} + 0 = \frac{n(n + 1)}{2}. \label{6.16}$

Una prueba más estricta de la suma de Euler-Maclaurin es aproximarse$$lnn!$$, que es la suma$$\sum_{1}^{n}ln k$$ (Sección 4.5). Por lo tanto, suma$$f(k) = ln k$$ entre los límites (inclusivos)$$a = 1 \text{and} b = n$$. El resultado es

$\sum_{1}^{n} ln k = \int_{1}^{n} ln k dk + \frac{ln n}{2} + ... . \label{6.17}$

La integral, del$$1/D$$ operador, aporta el área bajo la$$ln k$$ curva. La corrección, del operador 1/2, incorpora las protuberancias triangulares (Problema 6.20). La elipsis incluye las correcciones de orden superior (Problema 6.21) difíciles de evaluar usando imágenes (Problema 4.32) pero simples usando la suma de Euler-MacLaurin (Problema 6.21).

##### Múltiples problemas

Problema 6.19 Sumas enteras

Use la suma de Euler-Maclaurin para encontrar formularios cerrados para las siguientes sumas:

a)$$\sum_{0}^{n} k^{2}$$ b)$$\sum_{0}^{n} (2k + 1)$$ c)$$\sum_{0}^{n} k^{3}$$.

Problema 6.20 Casos fronterizos

En la suma de Euler-Maclaurin, el término constante$$[f(b) + f(a)]/2$$ es la mitad del primer término más la mitad del último término. El cuadro para sumar$$ln k$$ (Sección 4.5) mostró que las protuberancias son aproximadamente la mitad del último término, a saber$$ln n$$. ¿Qué, pictóricamente, pasó con la mitad del primer mandato?

Problema 6.21 Términos de orden superior

Aproximado$$ln 5!$$ usando la suma de Euler-Maclaurin.

Problema 6.22 Suma de Basilea

La suma de Basilea$$\sum_{1}^{\infty}n^{-2}$$ puede aproximarse con imágenes (Problema 4.37).

Sin embargo, la aproximación es demasiado cruda para ayudar a adivinar la forma cerrada. Como lo hizo Euler, use la suma de Euler-Maclaurin para mejorar la precisión hasta que pueda adivinar con confianza la forma cerrada.

Pista: Suma los primeros términos explícitamente.

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