7.1.4: El Teorema de Pitágoras
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- Resolver problemas de aplicación relacionados con el Teorema de Pitágoras.
Introducción
Hace mucho tiempo, un matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante sobre los triángulos rectos: la suma de los cuadrados de las longitudes de cada una de las patas del triángulo es la misma que la cuadrada de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Esta propiedad, que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura, ahora se llama el Teorema de Pitágoras.
Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarte a aprender más sobre la construcción de triángulos. Y la mejor parte es que ni siquiera tienes que hablar griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras
Pitágoras estudió los triángulos rectos, y las relaciones entre las piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de derivar su teoría.
Si\(\ a\) y\(\ b\) son las longitudes de las patas de un triángulo rectángulo y es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
Esta relación está representada por la fórmula:
\(\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\)
En el cuadro de arriba, es posible que hayas notado la palabra “cuadrado”, así como los pequeños 2s a la parte superior derecha de las letras en\(\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, por ejemplo, para cuadrar el número 5 multiplicas\(\ 5 \cdot 5\), y para cuadrar el número 12, multiplicas\(\ 12 \cdot 12\). Algunos cuadrados comunes se muestran en la siguiente tabla.
| Número | Número de veces en sí | Cuadrado |
| 1 | \(\ 1^{2}=1 \cdot 1\) | 1 |
| 2 | \(\ 2^{2}=2 \cdot 2\) | 4 |
| 3 | \(\ 3^{2}=3 \cdot 3\) | 9 |
| 4 | \(\ 4^{2}=4 \cdot 4\) | 16 |
| 5 | \(\ 5^{2}=5 \cdot 5\) | 25 |
| 10 | \(\ 10^{2}=10 \cdot 10\) | 100 |
Cuando ves la ecuación\(\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\), puedes pensar en esto como “la longitud de los\(\ a\) tiempos laterales en sí, más la longitud de los\(\ b\) tiempos laterales en sí es la misma que la longitud de los\(\ c\) tiempos laterales en sí”.
Probemos todo el teorema de Pitágoras con un triángulo rectángulo real.
Este teorema es válido para este triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de las longitudes de ambas patas es la misma que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Y, de hecho, es cierto para todos los triángulos correctos.
El Teorema de Pitágoras también se puede representar en términos de área. En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado dibujado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se dibujan de las dos patas. Puedes ver esto ilustrado a continuación en el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.
Tenga en cuenta que el Teorema de Pitágoras solo funciona con triángulos rectos.
Encontrar la longitud de la hipotenusa
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados las piernas. Dicho de otra manera, si conoces los largos de\(\ a\) y\(\ b\), puedes encontrar\(\ c\).
En el triángulo anterior, se le dan medidas para piernas\(\ a\) y\(\ b\): 5 y 12, respectivamente. Se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar un valor para la longitud de\(\ c\), la hipotenusa.
| \(\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\) | El teorema de Pitágoras |
| \(\ (5)^{2}+(12)^{2}=c^{2}\) | Sustituir valores conocidos por\(\ a\) y\(\ b\). |
| \(\ 25+144=c^{2}\) | Evaluar. |
| \(\ 169=c^{2}\) | Simplificar. Para encontrar el valor de\(\ c\), piense en un número que, al multiplicarse por sí mismo, equivale a 169. ¿Funciona 10? ¿Qué tal 11? Hace 12? 13? (Puede usar una calculadora para multiplicar si los números no están familiarizados). |
| \(\ 13=c\) | La raíz cuadrada de 169 es 13. |
Usando la fórmula, se encuentra que la longitud de\(\ c\), la hipotenusa, es 13.
En este caso, desconocía el valor de\(\ c\), se le dio el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, y tuvo que averiguarlo a partir de ahí. Cuando se le da una ecuación como\(\ 169=c^{2}\) y se le pide que encuentre el valor de\(\ c\), esto se llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Observe que encontró un número, c, cuyo cuadrado era 169.)
Encontrar una raíz cuadrada requiere algo de práctica, pero también requiere conocimiento de multiplicación, división y un poco de prueba y error. Mira la tabla a continuación.
| Número\(\ x\) | Número\(\ y\) que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a número\(\ x\) | Raíz cuadrada\(\ y\) |
| 1 | \(\ 1 \cdot 1\) | 1 |
| 4 | \(\ 2 \cdot 2\) | 2 |
| 9 | \(\ 3 \cdot 3\) | 3 |
| 16 | \(\ 4 \cdot 4\) | 4 |
| 25 | \(\ 5 \cdot 5\) | 5 |
| 100 | \(\ 10 \cdot 10\) | 10 |
Es un buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, ya que estos surgen frecuentemente en las matemáticas. Si puedes recordar esos números cuadrados, o si puedes usar una calculadora para encontrarlos, entonces encontrar muchas raíces cuadradas comunes será solo cuestión de recordar.
¿Para cuál de estos triángulos es\(\ (3)^{2}+(3)^{2}=r^{2}\)?
- Contestar
-
Encontrar la longitud de una pierna
Puedes usar la misma fórmula para encontrar la longitud de la pierna de un triángulo rectángulo si te dan medidas para las longitudes de la hipotenusa y la otra pierna. Considera el siguiente ejemplo.
Encuentra la longitud del lado a en el triángulo de abajo. Use una calculadora para estimar la raíz cuadrada a un decimal.
Solución
| \ (\\ begin {array} {l} a=? \\ b=6\\ c=7 \ end {array}\) |
En este triángulo rectángulo, se le dan las medidas para la hipotenusa,\(\ c\), y una pierna,\(\ b\). La hipotenusa siempre es opuesta al ángulo recto y siempre es el lado más largo del triángulo. |
| \ (\\ begin {array} {l} a^ {2} +b^ {2} =c^ {2}\\ a^ {2} +6^ {2} =7^ {2} \ end {array}\) |
Para encontrar la longitud de la pierna\(\ a\), sustituya los valores conocidos en el Teorema de Pitágoras. |
| \ (\\ comenzar {alineado} a^ {2} +36 &=49\\ a^ {2} &=13 \ end {alineado}\) |
Resolver para\(\ a^{2}\). Piensa: ¿qué número, cuando se agrega al 36, te da 49? |
| \(\ a \approx 3.6\) |
Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada de 13. La calculadora da una respuesta de 3.6055..., que puedes redondear a 3.6. (Ya que estás aproximando, usas el símbolo\(\ \approx\).) |
\(\ a \approx 3.6\)
¿Cuál de las siguientes utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante,\(\ x\)?
- \(\ 8^{2}+10^{2}=x^{2}\)
- \(\ x+8=10\)
- \(\ x^{2}+8^{2}=10^{2}\)
- \(\ x^{2}+10^{2}=8^{2}\)
- Contestar
-
- Incorrecto. En este triángulo, se sabe que la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) tiene una longitud de 10. Las longitudes de las patas son 8 y\(\ x\). La respuesta correcta es\(\ x^{2}+8^{2}=10^{2}\).
- Incorrecto. El Teorema de Pitágoras es una relación entre las longitudes de los lados cuadrados. La respuesta correcta es\(\ x^{2}+8^{2}=10^{2}\).
- Correcto. En este triángulo, la hipotenusa tiene longitud 10, y las piernas tienen longitud 8 y\(\ x\). Sustituyendo al Teorema de Pitágoras tienes:\(\ x^{2}+8^{2}=10^{2}\); esta ecuación es la misma que\(\ x^{2}+64=100\), o\(\ x^{2}=36\). ¿Qué número, veces en sí mismo, equivale a 36? Eso haría\(\ x=6\).
- Incorrecto. En este triángulo, la hipotenusa tiene una longitud 10 (siempre el lado más largo del triángulo y el lado opuesto al ángulo recto) no 8. La respuesta correcta es\(\ x^{2}+8^{2}=10^{2}\).
Usando el teorema para resolver problemas del mundo real
El Teorema de Pitágoras es quizás una de las fórmulas más útiles que aprenderás en matemáticas porque hay tantas aplicaciones del mismo en entornos del mundo real. Los arquitectos e ingenieros utilizan esta fórmula ampliamente cuando construyen rampas, puentes y edificios. Mira los siguientes ejemplos.
Los dueños de una casa quieren convertir una escalera que conduce desde el suelo hasta su porche trasero en una rampa. El porche está a 3 pies del suelo y, debido a la normativa de construcción, la rampa debe comenzar a 12 pies de distancia de la base del porche. ¿Cuánto tiempo durará la rampa?
Usa una calculadora para encontrar la raíz cuadrada, y redondea la respuesta a la décima más cercana.
Solución
Para resolver un problema como este, muchas veces tiene sentido dibujar un diagrama simple que muestre dónde se encuentran las piernas y la hipotenusa del triángulo.
| \ (\\ begin {array} {r} a=3\\ b=12\\ c=? \ end {array}\) |
Identificar las piernas y la hipotenusa del triángulo. Sabes que el triángulo es un triángulo rectángulo ya que el suelo y la porción elevada del pórtico son perpendiculares. Esto significa que puedes usar el Teorema de Pitágoras para resolver este problema. Identificar\(\ a\),\(\ b\), y\(\ c\). |
| \ (\\ comenzar {alineado} a^ {2} +b^ {2} &=c^ {2}\ 3^ {2} +12^ {2} &=c^ {2}\ 9+144 &=c^ {2}\\ 153 &=c^ {2} \ end {alineado}\) |
Utilice el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de\(\ c\). |
| \(\ 12.4=c\) | Usa tu calculadora para encontrar\(\ c\). La raíz cuadrada de 153 es 12.369..., así puedes redondear eso a 12.4. |
La rampa tendrá 12.4 pies de largo.
Un velero tiene una vela grande en forma de triángulo rectángulo. El borde más largo de la vela mide 17 yardas y el borde inferior de la vela es de 8 yardas. ¿Qué tan alta es la vela?
Solución
 |
Dibuja una imagen que te ayude a visualizar el problema. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre será el lado más largo, por lo que aquí debe ser de 17 yardas. El problema también te dice que el borde inferior del triángulo es de 8 yardas. |
| \ (\\ begin {array} {r} a^ {2} +b^ {2} =c^ {2}\\ a^ {2} +8^ {2} =17^ {2}\\ a^ {2} +64=289\\ a^ {2} =225 \ end {array}\) |
Configurar el Teorema de Pitágoras. |
| \(\ a=15\) | \(\ 15 \cdot 15=225, \text { so } a=15\) |
La altura de la vela es de 15 yardas.
Resumen
El Teorema de Pitágoras establece que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es la misma que la cuadrada de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Este teorema está representado por la fórmula\(\ a^{2}+b^{2}=c^{2}\). En pocas palabras, si conoces las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado. Recuerda, este teorema sólo funciona para triángulos rectos.