3.5: División- Puntos y Cajas
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Supongamos que se le pide que compute 3906:3. Una manera de interpretar esta pregunta (hay otras) es:
“¿Cuántos grupos de 3 caben en 3906?”
En el modelo cotizativo de división, se le da un dividendo (aquí está 3906), y se le pide que lo divida en grupos de igual tamaño, donde el tamaño del grupo viene dado por el divisor (aquí es 3).
En nuestro modelo de puntos y cajas, el dividendo 3906 se ve así:
y tres puntos se ven así:
Así que realmente estamos preguntando:
“¿Cuántos grupos de caben en la imagen del 3906?”
Hay un grupo de 3 en el nivel de miles, y tres en el nivel de cientos, ninguno en el nivel de decenas, y dos en el nivel de unos.
Observe lo que tenemos en la imagen:
- Un grupo de 3 en la caja de miles.
- Tres grupos de 3 en la caja de los cientos.
- Cero grupos de 3 en la caja de decenas.
- Dos grupos de 3 en la caja de unos.
Esto demuestra que 3 entra en 3906 mil, tres cientos y dos veces. Es decir,
\[3906 \div 3 = 1302 \ldotp \nonumber \]
¡Intentemos uno más duro! Considerar 402:3. Aquí está la imagen:
Seguimos buscando grupos de tres puntos:
Ciertamente hay un grupo a nivel de los 100.
y ahora parece que estamos atrapados ¡ya no hay grupos de tres!
¿Qué podemos hacer ahora? ¿De verdad estamos atrapados? ¿Se puede terminar el problema de la división?
Aquí están los detalles trabajados para 402:3. ¡Pero no leas esto hasta que lo hayas pensado tú mismo!
Como cada punto vale diez puntos en el cuadro de la derecha podemos escribir:
Ahora podemos encontrar más grupos de tres:
Todavía hay un punto extra problemático. Vamos a inexplotarlo también
Esto nos da más grupos de tres:
En la imagen tenemos:
- Un grupo de 3 en la caja de los cientos.
- Tres grupos de 3 en la caja de decenas.
- Cuatro grupos de 3 en la caja de unos.
¡Por fin tenemos la respuesta!
\[402 \div 3 = 134 \ldotp \nonumber \]
Resuelve cada uno de estos ejercicios usando el método de puntos y cajas:
\[62124 : 3 \qquad \qquad 61230 : 5 \nonumber \]
Vamos a subir la dificultad un notch. Considerar 156:12. Aquí estamos buscando grupos de 12 en esta imagen:
¿Qué aspecto tiene 12? Pueden ser doce puntos en una sola caja:
Pero la mayoría de las veces escribiríamos 12 de esta manera, como diez y 2:
Ciertamente vemos algunos de estos en la imagen. Ciertamente hay uno en el nivel de las decenas:
Nota: Con una no explosión esto serían doce puntos en la caja de decenas, así que marcamos un grupo de 12 por encima de la caja de decenas.
También vemos tres grupos de doce:
Así que en la imagen tenemos:
- Un grupo de 12 puntos en la caja de decenas.
- Tres grupos de 12 puntos en la caja de unos.
Eso significa
\[156 : 12 = 13 \ldotp \nonumber \]
Utilice el modelo de puntos y cajas para calcular cada uno de los siguientes:
\[\begin{split} 13453 & : 11 \\ 4853 & : 23 \\ 214506 & : 102 \end{split} \nonumber \]
Recuerda que los números base cinco están en un sistema de 1 ← 5 puntos y cajas. ¿Cuáles son los valores posicionados en el sistema 1 ← 5? Rellene los espacios en blanco:
- Dibuja una imagen de puntos y cajas del número\(424_{five}\).
- Dibuja una imagen de puntos y cajas del número\(11_{five}\).
- Usa el método de puntos y cajas para encontrar\(424_{five} \div 11_{five}\).
- Reescribe la oración de división\(424_{five} \div 11_{five} = 34_{five}\) en la base diez, y comprueba que sea correcta.
- Usa puntos y cajas para encontrar\(2021_{five} \div 12_{five}\). ¡No conviertas a base 10!
- Usa puntos y cajas para computar estos. $$\ begin {split} 2130 &:10\\ 41300 &: 100\ end {split} $$
- ¿Qué fotos usaste para 10 y para 100? ¿Se puede describir con palabras qué sucede al dividir por 10 y por 100 y por qué?
El algoritmo estándar para la división
Utilizamos puntos y cajas para mostrar que 402:3 = 134.
En la escuela primaria, es posible que hayas aprendido a resolver este problema de división usando un diagrama como el siguiente:
A primera vista esto parece muy misterioso, pero realmente no es diferente del método de puntos y cajas. Esto es lo que significa la tabla.
Para calcular 402:3, primero hacemos una estimación grande en cuanto a cuántos grupos de 3 hay en 402. Adivinemos que hay 100 grupos de tres.
¿Cuánto queda después de llevarse 100 grupos de 3? Nos restamos para encontrar que quedan 102.
¿Cuántos grupos de 3 hay en 102? Vamos a probar 30:
¿Cuántos quedan? Quedan 12 y hay cuatro grupos de 3 en 12.
Eso da cuenta del número entero 402. ¿Y dónde encontramos la respuesta final? Simplemente agregue el conteo total de grupos de tres que contabilizamos:
\[402 : 3 = 100 + 30 + 4 = 134 \ldotp \nonumber \]
- Compara los dos diagramas de división a continuación. ¿De qué manera son iguales? ¿De qué manera son diferentes?
- También mira el método de puntos y cajas. ¿De qué manera es igual o diferente de los dos diagramas?
- ¿Por qué nos gusta el algoritmo estándar? Porque es rápido, no demasiado para anotar, y funciona cada vez.
- ¿Por qué nos gusta el método de puntos y cajas? Porque es fácil de entender. (¡Y dibujar puntos y cajas es divertido!)
División con Restos
Vimos que 402 es uniformemente divisible por 3:402:3 = 134. Esto quiere decir que 403, uno más, no debería ser divisible por tres. Debería ser un punto demasiado grande.
¿Vemos el punto extra si calculamos 402:3 con puntos y cajas?
¡Sí lo hacemos! Nos queda un punto al final que no se puede dividir. Así se ve en el algoritmo estándar.
En la escuela, decimos que tenemos un resto de uno y a veces escribimos:
\[403 \div 3 = 134\; \text{R} 1 \ldotp \nonumber \]
Pero, ¿qué significa eso en realidad? Significa que tenemos 134 grupos de tres con un punto sobrante. Entonces
\[402 = 134 \cdot 3 + 1 \ldotp \nonumber \]
Probemos con otro: 263 ÷ 12. Esto es lo que tenemos:
Y estamos buscando grupos como este:
¡Aquí va!
Inexplotar no ayudará más y de hecho nos queda un punto restante en la posición de las decenas y un punto en la posición unas. Tenemos 21 grupos de doce, y un resto de once.
\[263 = 21 \cdot 12 + 11 \ldotp \nonumber \]
- Usa el método dots and boxes para calcular cada cociente y resto: $$\ begin {split} 5210 &: 4\\ 4857 &: 23\\ 31533 &: 101\ end {split} $$
- Ahora usa el algoritmo estándar (a continuación se muestra un ejemplo) para calcular cada uno de los cocientes y restos anteriores.
\[402 = 134 \cdot 3 + 1 \ldotp \nonumber \]
- ¿Qué método te gusta más: puntos y cajas o el método del algoritmo estándar? ¿O depende del problema que estés haciendo?