3.6: Modelo de línea numérica

Otra forma en que a menudo pensamos sobre los números es como cantidades abstractas que se pueden medir: la longitud, el área y el volumen son ejemplos.

En un modelo de medida, hay que escoger una unidad básica. La unidad básica es una cantidad (longitud, área o volumen) que se asigna al número uno. Luego puede asignar números a otras cantidades en función de cuántas unidades básicas caben dentro.

Por ahora, nos centraremos en la longitud de la cantidad, y trabajaremos con una línea numérica donde la unidad básica ya esté marcada.

Suma y resta en la línea numérica

Imagina a una persona —le llamaremos Zed— que pueda pararse en la línea numérica. Diremos que la distancia que recorre Zed cuando da un paso es exactamente una unidad.

Cuando Zed quiere sumar o restar con números enteros en la recta numérica, siempre comienza en 0 y mira hacia la dirección positiva (hacia 1). Entonces lo que haga depende del cálculo.

Si Zed quiere sumar dos números, camina hacia adelante (a la derecha de la recta numérica) sin embargo muchos pasos son señalados por el primer número (el primer addend). Después camina hacia adelante (a tu derecha en la recta numérica) el número de pasos que indica el segundo número (el segundo adenda). Donde aterriza es la suma de los dos números.

: 3 + 4

Si Zed quiere sumar 3 + 4, inicia en 0 y se enfrenta hacia los números positivos. Él camina hacia adelante 3 pasos, luego camina hacia adelante 4 pasos más.

Zed termina en el número 7, por lo que la suma de 3 y 4 es 7. 3 + 4 = 7. (¡Pero lo sabías por supuesto! El punto en este momento es darle sentido al modelo de la línea numérica.)

Cuando Zed quiere restar dos números, camina hacia adelante (a la derecha en la recta numérica) sin embargo muchos pasos son señalados por el primer número (el minuendo). Después camina hacia atrás (a la izquierda en la recta numérica) el número de pasos que indica el segundo número (el sustraendo). Donde aterriza es la diferencia de los dos números.

: 11 — 3

Si Zed quiere restar 11 — 3, comienza en 0 y se enfrenta a los números positivos (el lado derecho de la recta numérica). Él camina hacia adelante 11 pasos en la recta numérica, luego camina hacia atrás 3 pasos.

Zed termina en el número 8, por lo que la diferencia de 11 y 3 es 8. 11 — 3 = 8. (¡Pero tú lo sabías!)

Pensar/Parejar/Compartir

• Trabaje cada uno de estos ejercicios en una línea numérica. De hecho, puedes pasarlo en una línea numérica de tamaño natural o dibujar una imagen: $$4 + 5\ qquad 6 + 9\ qquad 10 - 7\ qquad 8 - 1$$
• ¿Por qué tiene sentido caminar hacia adelante para sumar y caminar hacia atrás para restar? ¿De qué manera es esto lo mismo que “combinar” para sumar y “llevar” para restar”?
• ¿Qué sucede si haces estos problemas de resta en una recta numérica? Explica tus respuestas. $$6 - 9\ qquad 1 - 7\ qquad 4 - 11\ qquad 0 - 1$$
• ¿Podrías hacer los problemas de resta anteriores con el modelo de puntos y cajas?

Multiplicación y división en la línea numérica

Dado que la multiplicación es realmente una suma repetida, podemos adaptar nuestro modelo de adición para convertirnos en un modelo de multiplicación también. Pensemos en 3×4. Esto significa agregarse cuatro a sí mismo tres veces (¡esa es simplemente la definición de multiplicación!) :

\[3 \times 4 = 4 + 4 + 4 \ldotp \nonumber \]

Entonces, para multiplicar en la recta numérica, hacemos el proceso para sumar varias veces.

Para multiplicar dos números, Zed comienza en 0 como siempre, y se enfrenta a la dirección positiva. Camina hacia adelante el número de pasos dados por el segundo número (el segundo factor). Repite ese proceso el número de veces dado por el primer número (el primer factor). Donde aterriza es producto de los dos números.

: 3 × 4

Si Zed quiere multiplicar 3×4, puede pensarlo de esta manera:

\[\begin{split} 3& \qquad \qquad \qquad \times \\ \downarrow & \\ \text{how many times}\; & \text{to repeat it} \end{split} \begin{split} 4& \\ \downarrow & \\ \text{how many steps}\; & \text{to take forward} \end{split} \nonumber \]

Zed inicia en 0, mirando hacia la dirección positiva. El repite esto tres veces: dar cuatro pasos adelante.

Termina en el número 12, por lo que el producto de 3 y 4 es 12. Es decir, 3 × 4 = 12.

Recuerda nuestro modelo citativo de división: Una forma de interpretar 15:5 es:

¿Cuántos grupos de 5 caben en 15?

Pensando en la recta numérica, podemos preguntarlo de esta manera:

Zed da 5 pasos a la vez. Si Zed aterriza en el número 15, ¿cuántas veces dio 5 pasos?

Para calcular un problema de división en la recta numérica, Zed comienza en 0, mirando hacia la dirección positiva. Camina hacia adelante el número de pasos dados por el segundo número (el divisor). Repite ese proceso hasta aterrizar en el primer número (el dividendo). El número de veces que repitió el proceso da el cociente de los dos números.

: 15 ÷ 5

Si Zed quiere computar 15:5, puede pensarlo de esta manera:

Comienza en 0, de cara a la dirección positiva.

• Zed da 5 pasos adelante. Ahora está a los 5, no a los 15. Por lo que necesita repetir el proceso.
• Zed da 5 pasos hacia adelante nuevamente. Ahora está a los 10, no a los 15. Por lo que necesita repetir el proceso.
• Zed da 5 pasos más hacia adelante. Está a los 15, por lo que se detiene.

Ya que repitió el proceso tres veces, vemos que hay 3 grupos de 5 en 15. Entonces el cociente de 15 y 5 es 3. Es decir, 15:5 = 3.

Pensar/Parejar/Compartir

• Trabaje cada uno de estos ejercicios en una línea numérica. De hecho, puedes pasarlo en una línea numérica de tamaño natural o dibujar una imagen: $$2\ times 5\ qquad 7\ times 1\ qquad 10:2\ qquad 6:1$$
• ¿Se te ocurre una manera de interpretar estos problemas de multiplicación en una recta numérica? Explica tus ideas. $$4\ times 0\ qquad 0\ times 5\ qquad 3\ times (-2)\ qquad 2\ times (-1) $$
• ¿Qué pasa si intentas resolver estos problemas de división en una línea numérica? ¿Lo puedes hacer? Explica tus ideas. $$0:2\ qquad 0:10\ qquad 3:0\ qquad 5:0$$