3.7: Modelo de área para multiplicación
- Page ID
- 112724
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Hasta el momento nos hemos centrado en un modelo de medición lineal, utilizando la recta numérica. Pero hay otra manera común de pensar en la multiplicación: usar el área.
Por ejemplo, supongamos que nuestra unidad básica es un cuadrado:
Podemos fotografiar 4 × 3 como 4 grupos, con 3 cuadrados en cada grupo, todos alineados:
Pero también podemos fotografiarlos apilados en lugar de alineados. Tendríamos 4 filas, con 3 cuadrados en cada fila, así:
Entonces podemos pensar en 4×3 como un rectángulo que tiene largo 3 y ancho 4. El producto, 12, es el número total de cuadrados en ese rectángulo. (Esa es también el área del rectángulo, ya que cada cuadrado era una unidad!)
Vera dibujó este cuadro como modelo para 15 × 17. Usa su foto para ayudarte a calcular 15 × 17. Explique su trabajo.
Haz dibujos como los de Vera para cada uno de estos ejercicios de multiplicación. Usa tus imágenes para encontrar los productos sin usar una calculadora o el algoritmo estándar.
\[23 \times 37 \qquad \qquad 8 \times 43 \qquad \qquad 371 \times 42 \nonumber \]
El algoritmo estándar para la multiplicación
¿Cómo te enseñaron a computar 83 × 27 en la escuela? ¿Te enseñaron a escribir algo como lo siguiente?
¿O tal vez te enseñaron a poner los ceros extra en lugar de dejarlos fuera?
¡Esto realmente no es diferente a dibujar el rectángulo y usar la imagen de Vera para calcular!
- Usa el ejemplo anterior para explicar por qué el método rectangular de Vera y el algoritmo estándar son realmente los mismos.
- Calcule los productos a continuación utilizando ambos métodos. Explica dónde estás calculando las mismas piezas en cada algoritmo. $$23\ times 14\ qquad\ qquad 106\ times 21\ qquad\ qquad 213\ times 31$$
Líneas e Intersecciones
Aquí hay una forma inusual de realizar la multiplicación. Para calcular 22 × 13, por ejemplo, dibuje dos conjuntos de líneas verticales, el conjunto izquierdo que contiene dos líneas y el derecho establece dos líneas (para los dígitos en 22) y dos conjuntos de líneas horizontales, conteniendo el conjunto superior una línea y el conjunto inferior tres (para los dígitos en 13).
Hay cuatro conjuntos de puntos de intersección. Contar el número de intersecciones en cada una y agregar los resultados diagonalmente como se muestra:
¡Aparece la respuesta 286!
Hay una posible falla como se ilustra por el cálculo 246 × 32:
Si bien la respuesta 6 miles, 16 cientos, 26 decenas y 12 unas es absolutamente correcta, hay que llevar dígitos y traducir esto como 7,872.
- Calcule 131 × 122 mediante este método. Comprueba tu respuesta usando otro método.
- Calcular 15 × 1332 mediante este método. Comprueba tu respuesta usando otro método.
- ¿Se puede adaptar el método para computar 102 × 3054? (¿Por qué es necesaria alguna adaptación?)
- ¿Por qué funciona el método en general?
Multiplicación de celosía
En el 1500 en Inglaterra, a los estudiantes se les enseñó a calcular la multiplicación utilizando el siguiente método de galera, ahora más comúnmente conocido como el método de celosía.
Para multiplicar 43 y 218, por ejemplo, dibujar una cuadrícula de cuadrados de 2 × 3. Escribe los dígitos del primer número a lo largo del lado derecho de la cuadrícula y los dígitos del segundo número a lo largo de la parte superior.
Divida cada celda de la cuadrícula en diagonal y escriba en el producto del dígito de columna y el dígito de fila de esa celda, separando las decenas de las unidades a través de la diagonal de esa celda. (Si el producto es una respuesta de un dígito, coloque un 0 en el lugar de las decenas).
Para obtener la respuesta, agregue las entradas en cada diagonal, llevando decenas de dígitos a la siguiente diagonal si es necesario. En nuestro ejemplo, tenemos
\[218 \times 43 = 9374 \ldotp \nonumber \]
- Calcular 5763 × 345 mediante el método de celosía.
- Explique por qué el método de celosía es realmente el algoritmo estándar disfrazado.
- ¿Cuál es la función específica de las líneas diagonales en la cuadrícula?