3.8: Propiedades de Operaciones (Parte 1)
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El objetivo en esta sección es utilizar los modelos para entender por qué las operaciones se comportan de acuerdo con las reglas que aprendiste en la primaria. Vamos a seguir preguntándonos “¿Por qué funciona de esta manera?”
Cada uno de estos modelos se presta a pensar en la operación de una manera ligeramente diferente. Antes de que realmente profundicemos en pensar en las operaciones, discuta con un socio:
- De los modelos que discutimos hasta ahora, ¿prefieres uno de ellos?
- ¿Qué tan bien coinciden los modelos que discutimos con la forma en que suele pensar sobre los números enteros y sus operaciones?
- ¿Qué modelos son útiles para la computación? ¿Por qué?
- ¿Qué modelos crees que serán útiles para explicar cómo funcionan las operaciones? ¿Por qué?
Conexiones entre las operaciones
Definimos la suma como la combinación de dos cantidades y la resta como “quitar”. Pero de hecho, estas dos operaciones están íntimamente ligadas entre sí. Estas dos preguntas son exactamente las mismas:
\[27 - 13 = \_\_\_\_ \qquad \qquad 27 = 13 + \_\_\_\_\_\_ \ldotp \nonumber \]
De manera más general, para cualquiera de tres números enteros a, b y c, estas dos ecuaciones expresan el mismo hecho. (Entonces, o ambas ecuaciones son verdaderas o ambas son falsas. ¡Cuál es el caso depende de los valores que elijas para a, b y c!)
\[c - b = a \qquad \qquad c = a + b \ldotp \nonumber \]
En otras palabras, podemos pensar en cada problema de resta como un problema de adición de “adición faltante”. ¡Pruébalo!
Aquí hay una extraña tabla de adiciones. Úselo para resolver los siguientes problemas. Justifica tus respuestas. Importante: No intentes asignar números a A, B y C. ¡Resuelve los problemas solo usando lo que sabes de las operaciones!
| + | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | C | A | B |
| B | A | B | C |
| C | B | C | A |
\[A + C \qquad B + C \qquad A - C \qquad C - A \qquad A - A \qquad B - C \nonumber \]
¿Cómo te ayuda una tabla de sumas a resolver problemas de resta?
Definimos la multiplicación como suma repetida y la división como grupos formadores de igual tamaño. Pero de hecho, estas dos operaciones también están atadas entre sí. Estas dos preguntas son exactamente las mismas:
\[27 : 3 = \_\_\_\_\_ \qquad \qquad 27 = \_\_\_\_\_ \times 3 \ldotp \nonumber \]
De manera más general, para cualquiera de tres números enteros a, b y c, estas dos ecuaciones expresan el mismo hecho. (Entonces, o ambas ecuaciones son verdaderas o ambas son falsas. ¡Cuál es el caso depende de los valores que elijas para a, b y c!)
\[c : b = a \qquad \qquad c = a \cdot b \ldotp \nonumber \]
En otras palabras, podemos pensar en cada problema de división como un problema de multiplicación de “factor faltante”. ¡Pruébalo!
Reescribe cada una de estas preguntas de división como una pregunta de multiplicación de “factor faltante”. ¿Cuáles puedes resolver y cuáles no puedes resolver? Explique sus respuestas.
\[9 : 3 \qquad 100 : 25 \qquad 0 : 3 \qquad 9 : 0 \qquad 0 : 0 \nonumber \]
Aquí hay una tabla de multiplicar.
| \(\times\) | A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (\ times\)” alcance="fila">A | A | A | A | A | A |
| \ (\ times\)” alcance="fila">B | A | B | C | D | E |
| \ (\ times\)” alcance="fila">C | A | C | E | B | D |
| \ (\ times\)” alcance="fila">D | A | D | B | E | C |
| \ (\ times\)” alcance="fila">E | A | E | D | C | B |
- Usa la tabla para resolver los problemas a continuación. Justifica tus respuestas. Importante: No intentes asignar números a las letras. ¡Resuelve los problemas solo usando lo que sabes de las operaciones! $$C\ veces D\ qquad C\ veces A\ qquad A\ veces A\ qquad C: D\ qquad D: C\ qquad D: E$$
- ¿Se puede utilizar la tabla para resolver estos problemas? Explique sus respuestas. Recordemos que\(x^{n}\) significa
copias de
multiplicados juntos,\(x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x\) $$D^ {2}\ qquad C^ {3}\ qquad A: C\ qquad A: D\ qquad D: A\ qquad A: A$$
¿Cómo te ayuda una tabla de multiplicación a resolver problemas de división (y exponenciación)?
A lo largo de este curso, nuestro enfoque está en la explicación y justificación. Como profesores, necesitas saber qué es verdad en matemáticas, pero también necesitas saber por qué es verdad. Y necesitarás muchas formas de explicar por qué, ya que diferentes explicaciones tendrán sentido para diferentes alumnos.
Hecho Aritmético: a + b = c y c — b = a son el mismo hecho matemático.
¿Por qué no es esta una buena explicación?
- “¡Puedo comprobar que esto es verdad! Por ejemplo, 2+3 = 5 y 5 — 3 = 2. Y 3 + 7 = 10 y 10 — 7 = 3. Funciona para cualquier número que intentes”.
Suma y resta: Explicación 1
Hecho Aritmético:
a + b = c y c — b = a son el mismo hecho matemático.
Por qué es verdad, Explicación 1:
Primero usaremos la definición de las operaciones.
Supongamos que sabemos que c — b = a es cierto. Resta significa “llevar”. Entonces
\[c - b = a \nonumber \]
significa que comenzamos con la cantidad c y llevamos la cantidad b, y terminamos con la cantidad a. Comienza con esta ecuación, e imagina sumar cantidad b a ambos lados.
A la izquierda, ese mans empezamos con la cantidad c, nos llevamos b cosas, ¡y luego volvimos a poner esas b cosas! Como nos quitamos alguna cantidad y luego agregamos la misma cantidad exacta, no hay ningún cambio general. Nos quedamos con la cantidad c.
A la derecha, estaríamos combinando (sumando) la cantidad a con la cantidad b. Entonces terminamos con: c = a + b.
Por otro lado, supongamos que sabemos que la ecuación a + b = c es verdadera. Imagínese quitar (restar) la cantidad b de ambos lados de esta ecuación: a + b = c.
A la izquierda, empezamos con a cosas y combinamos eso con b cosas, pero luego inmediatamente nos quitamos esas b cosas. Así que nos quedamos con solo nuestra cantidad original de a.
A la derecha, comenzamos con la cantidad c y nos llevamos b cosas. Esa es la definición misma de c — b. Entonces tenemos la ecuación:
\[a = c - b \ldotp \nonumber \]
Por qué es verdad, Explicación 2:
Usemos el modelo de medición para llegar a otra explicación.
La ecuación a + b = c significa que Zed comienza en 0, camina hacia adelante a pasos, y luego camina hacia adelante b pasos, y termina en c.
Si Zed quiere calcular c — b, comienza en 0, camina hacia adelante c pasos, y luego camina hacia atrás b pasos. Pero sabemos que para caminar hacia adelante c pasos, primero puede caminar hacia adelante a pasos y luego caminar hacia adelante b pasos. Entonces Zed puede calcular c — b de esta manera:
- Empezar en 0.
- Caminar hacia adelante unos pasos.
- Caminar hacia adelante b pasos. (Ahora en c, ya que a + b = c.)
- Caminar hacia atrás b pasos.
Los dos últimos conjuntos de pasos se cancelan entre sí, así que Zed aterriza de nuevo en un. Eso significa c — b = a.
Por otro lado, la ecuación c — b = a significa que Zed comienza en 0, camina hacia adelante c pasos, luego camina hacia atrás b pasos, y termina en a.
Si Zed quiere calcular a + b, comienza en 0, camina hacia adelante a pasos, y luego camina hacia adelante b pasos adicionales. Pero sabemos que para caminar hacia adelante a pasos, primero puede caminar hacia adelante c pasos y luego caminar hacia atrás b pasos. Entonces Zed puede calcular a + b de esta manera:
- Empezar en 0.
- Caminar hacia adelante c pasos.
- Caminar hacia atrás b pasos. (Ahora en a, ya que c — b = a.)
- Caminar hacia adelante b pasos.
Los dos últimos conjuntos de pasos se cancelan entre sí, por lo que Zed aterriza de nuevo en c. Eso significa a + b = c.
- Lea sobre las dos explicaciones del ejemplo anterior. ¿Crees que cualquiera de los dos es más claro que el otro?
- Sube con tu propia explicación (¡no ejemplos!) a explicar: $$c: b = a\ quad\ text {es el mismo hecho que}\ quad c = a\ veces b\ ldotp$$
Propiedades de la Suma y la Resta
Probablemente conoces varias propiedades de adición, pero quizás nunca te hayas parado a preguntarte: ¿Por qué es eso cierto?! ¡Ahora es tu oportunidad! En esta sección, usarás la definición de las operaciones de suma y resta y los modelos que has aprendido para explicar por qué estas propiedades son siempre verdaderas.
Estas son las tres propiedades en las que pensarás:
- La suma de números enteros es conmutativa.
- La suma de números enteros es asociativa.
- El número 0 es una identidad para la suma de números enteros.
Para cada una de las propiedades, no queremos confundir estas tres ideas:
- cómo se llama la propiedad y qué significa (la definición),
- algunos ejemplos que demuestren la propiedad, y
- una explicación de por qué se mantiene la propiedad.
¡Observe que los ejemplos y explicaciones no son lo mismo! También es muy importante no confundir la definición de una propiedad con la razón por la que es verdad!
Estas propiedades son todas declaraciones universales —declaraciones de la forma “para todos”, “cada vez”, “siempre”, etc. Eso significa que para demostrar que son ciertas, o hay que revisar cada caso o encontrar una razón por la que debe ser así.
Dado que hay infinitamente muchos números enteros, es imposible verificar cada caso. ¡Nunca terminarías! Nuestra única esperanza es buscar explicaciones generales. Vamos a elaborar la explicación para el primero de estos hechos, y tú trabajarás en los demás.
LA ADICIÓN ES CONMUTATIVA
Propiedad:
La suma de números enteros es conmutativa.
Lo que significa (palabras):
Cuando agrego dos números enteros, el orden que los agrego no afecta a la suma.
Lo que significa (símbolos):
Para dos números enteros cualesquiera a y b,
\[a + b = b + a \ldotp \nonumber \]
Ahora necesitamos una justificación. ¿Por qué la adición de números enteros es conmutativa?
Por qué es verdad, Explicación 1:
Pensemos en la suma como combinar dos cantidades de puntos.
- Para agregar a + b, tomamos a puntos y b puntos, y los combinamos en una caja. Para mantener las cosas rectas, imaginemos que los puntos a son de color rojo y los puntos b son de color azul. Entonces en la caja tenemos a puntos rojos, b puntos azules y a + b puntos totales.
- Para agregar b + a, tomemos b puntos azules y a puntos rojos, y ponerlos todos juntos en una caja. Tenemos b puntos azules, a puntos rojos y b + a puntos totales.
- ¡Pero el número total de puntos es el mismo en las dos cajas! ¿Cómo sabemos eso? Bueno, hay unos puntos rojos en cada caja, así podemos emparejarlos. Hay b puntos azules en cada caja, así que podemos emparejarlos. ¡Eso es! Si podemos igualar los puntos uno por uno, ¡debe haber el mismo número de ellos!
• Eso significa a + b = b + a.
Por qué es verdad, Explicación 2:
También podemos usar el modelo de medición para explicar por qué a + b = b + a sin importar qué números elijamos para a y b. Imagínese tomar un segmento de longitud a y combinarlo linealmente con un segmento de longitud b. Así es como obtenemos una longitud de a + b.
Pero si solo giramos ese segmento para que quede boca abajo, vemos que tenemos un segmento de longitud b combinado con un segmento de longitud a, lo que hace que una longitud de b + a.
¡Pero claro que es el mismo segmento! ¡Acabamos de darle la vuelta! Entonces los largos deben ser los mismos. Es decir, a + b = b + a.
LA ADICIÓN ES ASOCIATIVA
¡Tu turno! Responderás a la pregunta: “¿Por qué la suma de números enteros es asociativa?”
Propiedad: La suma de números enteros es asociativa.
Lo que significa (palabras): Cuando agrego tres números enteros en un orden dado, la forma en que los agrupo (para agregar dos a la vez) no afecta a la suma.
Lo que significa (símbolos): Para cualquiera de tres números enteros a, b y c,\[(a + b) + c = a + (b + c) \ldotp \nonumber \]
- Lleve con al menos tres ejemplos para demostrar la asociatividad de la adición.
- Usa nuestros modelos de adición para llegar a una explicación. ¿Por qué se sostiene la asociatividad en todos los casos? Nota: su explicación no debe usar números específicos. ¡No es un ejemplo!
0 ES UNA IDENTIDAD PARA LA ADICIÓN
Propiedad: El número 0 es una identidad para la suma de números enteros.
Lo que significa (palabras): Cuando agrego cualquier número entero a 0 (en cualquier orden), la suma es el mismo número entero que agregué a 0.
Lo que significa (símbolos): Para cualquier número entero n,\[n + 0 = n \quad \text{and} \quad 0 + n = n \ldotp \nonumber \]
- Lleve con al menos tres ejemplos para demostrar que 0 es una identidad para la adición.
- Usa nuestros modelos de adición para llegar a una explicación. ¿Por qué esta propiedad de 0 se mantiene en todos los casos posibles?
PROPIEDADES DE LA RESTA
Dado que la suma y la resta están tan estrechamente vinculadas, es natural preguntarse si la resta tiene algunas de las mismas propiedades que la suma, como la conmutatividad y la asociatividad.
Justin preguntó si la operación de resta es conmutativa. Eso significaría que la diferencia de dos números enteros no depende del orden en que los restes.
En símbolos: para cada elección de números enteros a y b tendríamos a — b = b — a.
Jared dice que la resta no es conmutativa ya que 4 — 3 = 1, sino 3 — 4 ≠ 1. (De hecho, 3 — 4 = -1.)
Dado que la afirmación “la resta es conmutativa” es una declaración universal, un contraejemplo es suficiente para demostrar que no es cierto. Entonces el contraejemplo de Jared nos permite decir con confianza:
La resta no es conmutativa.
¿Puedes encontrar algún ejemplo de números enteros a y b donde a — b = b — a es verdad? Explica tu respuesta.
Lyle preguntó si la operación de resta es asociativa.
- Exponer lo que significaría para la resta ser asociativa. Deberías usar palabras y símbolos.
- ¿Qué le dirías a Lyle? Decidir si la resta es asociativa o no. Explica cuidadosamente cómo tomaste tu decisión y cómo sabes que tienes razón.
Jess preguntó si el número 0 es una identidad para restar.
- Exponer lo que significaría para 0 ser una identidad para la resta. Deberías usar palabras y símbolos.
- ¿Qué le dirías a Jess? Decidir si 0 es una identidad para restar o no. Explica cuidadosamente cómo tomaste tu decisión y cómo sabes que tienes razón