3.9: Propiedades de Operaciones (Parte 2)
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Ahora vamos a centrar nuestra atención en propiedades familiares de multiplicación y división, con el foco aún en explicar por qué estas propiedades son siempre ciertas.
Estas son las cuatro propiedades en las que pensarás:
- La multiplicación de números enteros es conmutativa.
- La multiplicación de números enteros es asociativa.
- La multiplicación de números enteros se distribuye sobre la suma
- El número 1 es una identidad para la multiplicación de números enteros
Para cada una de las propiedades, recuerda mantener recto:
- cómo se llama la propiedad y qué significa (la definición),
- algunos ejemplos que demuestren la propiedad, y
- una explicación de por qué se mantiene la propiedad.
Una vez más, es importante distinguir entre ejemplos y explicaciones. ¡No son lo mismo! Dado que hay infinitamente muchos números enteros, es imposible verificar cada caso, por lo que los ejemplos nunca serán suficientes para explicar por qué se mantienen estas propiedades. Hay que averiguar las razones para que estas propiedades se mantengan, con base en lo que sepa de las operaciones.
1 ES UNA IDENTIDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN
Vamos a elaborar la explicación para el último de estos hechos, y tú trabajarás en los demás.
Propiedad:
El número 1 es una identidad para la multiplicación de números enteros.
Lo que significa (palabras):
Cuando multiplico un número por 1 (en cualquier orden), el producto es ese número.
Lo que significa (símbolos):
Para cualquier número entero m,\[m \times 1 = m \quad \text{and} \quad 1 \times m = m \ldotp \nonumber \]
Ejemplos:
\[1 \times 5 = 5, \qquad 19 \times 1 = 19, \qquad \text{and}\; 1 \times 1 = 1 \ldotp \nonumber \]
¿Por qué el número 1 actúa de esta manera con la multiplicación?
Por qué es verdad, Explicación 1:
Pensemos primero en la definición de multiplicación como suma repetida:
- m × 1 significa sumar el número uno a sí mismo m veces: $$\ begin {split}\ underbrackets {1 + 1 +\ cdots + 1} &\\ m\;\ text {times}\ quad &\ end {split} $$Así vemos que m × 1 = m para cualquier número entero m.
- Por otro lado, 1 × m significa sumar el número m a sí mismo solo una vez. Entonces 1 × m = m también.
Por qué es verdad, Explicación 2:
También podemos usar el modelo de línea numérica para crear una justificación. Si Zed calcula 1× m, comenzará en 0 y enfrentará la dirección positiva. Entonces dará m pasos hacia adelante, y lo hará solo una vez. Entonces aterriza en m, lo que significa 1 × m = m.
Si Zed calcula m × 1, comienza en 0 y mira hacia la dirección positiva. Entonces da un paso adelante, y repite eso m veces. Entonces aterriza en m. Vemos que m × 1 = m.
Por qué es verdad, Explicación 3:
En el modelo de área, m × 1 representa m filas con un cuadrado en cada fila. Eso hace un total de m cuadrados. Entonces m × 1 = m.
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De igual manera, 1 × m representa una fila de m cuadrados. Eso también es un total de m cuadrados. Entonces 1 × m = m.
El ejemplo presentó varias explicaciones diferentes. ¿Crees que uno es más convincente que los otros? ¿O más claro y más fácil de entender?
LA MULTIPLICACIÓN ES CONMUTATIVA
Propiedad: La multiplicación de números enteros es conmutativa.
Lo que significa (palabras): Cuando multiplico dos números enteros, cambiar el orden en que los multiplique no afecta al producto.
Lo que significa (símbolos): Para dos números enteros cualesquiera a y b,\[a \cdot b = b \cdot a \ldotp \nonumber \]
- Llegar con al menos tres ejemplos para demostrar la conmutatividad de la multiplicación.
- Usa nuestros modelos de multiplicación para llegar a una explicación. ¿Por qué se mantiene la conmutatividad en todos los casos? Nota: Su explicación no debe usar números particulares. ¡No es un ejemplo!
LA MULTIPLICACIÓN ES ASOCIATIVA
Propiedad: La multiplicación de números enteros es asociativa.
Lo que significa (palabras): Cuando multiplico tres números enteros en un orden dado, la forma en que los agrupo (para multiplicar dos a la vez) no afecta al producto.
Lo que significa (símbolos): Para cualquiera de tres números enteros a, b y c,\[(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \ldotp \nonumber \]
- Llegar con al menos tres ejemplos para demostrar la asociatividad de la multiplicación.
- Usa nuestros modelos de multiplicación para llegar a una explicación. ¿Por qué se sostiene la asociatividad en todos los casos?
LA MULTIPLICACIÓN DISTRIBUYE SOBRE LA SUMA
Propiedad: La multiplicación distribuye sobre la suma.
Qué significa: La ley distributiva para la multiplicación sobre la suma es un poco difícil de afirmar en palabras, así que saltaremos directamente a los símbolos. Para cualquiera de los tres números enteros x, y y z:\[x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \ldotp \nonumber \]
Ejemplos: En realidad hicimos cálculos muy parecidos a los ejemplos anteriores, cuando miramos el modelo de área para multiplicar.
\[8 \cdot (23) = 8 \cdot (20 + 3) = 8 \cdot 20 + 8 \cdot 3 = 160 + 24 = 184 \nonumber \]
\[5 \cdot (108) = 5 \cdot (100 + 8) = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 8 = 500 + 40 = 540 \nonumber \]
¿Cuál de las siguientes imágenes representa mejor la ley distributiva en la ecuación?
\[3 \cdot (2 + 4) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4 ? \nonumber \]
Explica tu elección.
Usa la ley distributiva para calcular fácilmente cada uno de estos en tu cabeza (¡sin calculadoras!). Explique sus soluciones.
\[45 \times 11 \qquad 63 \times 101 \qquad 172 \times 1001 \nonumber \]
Usa uno de nuestros modelos para multiplicar y sumar para explicar por qué la regla distributiva funciona cada vez.
PROPIEDADES DE DIVISIÓN
Es natural preguntarse cuál, si alguna, de estas propiedades también tiene para la división (ya que sabes que las operaciones de multiplicación y división están conectadas).
Si la división fuera asociativa, entonces para cualquier elección de tres números enteros a, b y c, tendríamos
\[a : (b : c) = (a : b) : c \ldotp \nonumber \]
Recuerda, los paréntesis te indican cuáles dos números dividir primero.
Probemos el ejemplo a = 9, b = 3 y c = 1. Entonces tenemos:
\[9 : ( 3 : 1 ) = 9 : 3 = 3 \nonumber \]
y
\[(9 : 3 ) : 1 = 3 : 1 = 3 \ldotp \nonumber \]
Entonces, ¿es verdad? ¿La división es asociativa? Bueno, no podemos estar seguros. Este es sólo un ejemplo. Pero “la división es asociativa” es una declaración universal. Si es cierto, tiene que funcionar para todos los ejemplos posibles. A lo mejor nos topamos con una buena elección de números, pero no siempre va a funcionar.
Sigamos buscando. Prueba a = 16, b = 4 y c = 2.
\[16 : ( 4 : 2 ) = 16 : 2 = 8 \nonumber \]
y
\[(16 : 4) : 2 = 4 : 2 = 2 \ldotp \nonumber \]
¡Eso es todo lo que necesitamos! Un solo contraejemplo nos permite concluir:
La división no es asociativa.
¿Qué pasa con las otras propiedades? ¡Es tu turno de decidir!
- Exponer lo que significaría para la división ser conmutativa. Deberías usar palabras y símbolos.
- Decidir si la división es conmutativa o no. Explica cuidadosamente cómo tomaste tu decisión y cómo sabes que tienes razón.
- Exponer lo que significaría para la división distribuir sobre la suma. ¡Definitivamente quieres usar símbolos!
- Decidir si la división distribuye sobre la suma o no. Explica cuidadosamente cómo tomaste tu decisión y cómo sabes que tienes razón.
- Declarar lo que significaría para el número 1 ser una identidad para la división. Deberías usar palabras y símbolos.
- Decidir si 1 es una identidad para división o no. Explica cuidadosamente cómo tomaste tu decisión y cómo sabes que tienes razón.
PROPIEDAD CERO PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Probablemente conozcas otra propiedad de multiplicación que aún no se ha mencionado:
Si multiplico cualquier número por 0 (en cualquier orden), el producto es 0. Esto a veces se llama la propiedad cero de la multiplicación. ¡Observe que la propiedad cero es muy diferente a la propiedad de ser una identidad!
1. Escribe lo que significa la propiedad cero usando palabras y símbolos:
Por cada número entero n.
2. Dar al menos tres ejemplos de la propiedad cero para multiplicar.
3. Utilice uno de nuestros modelos de multiplicación para explicar por qué se mantiene la propiedad cero.
- Para cada problema de división a continuación, conviértelo en un problema de multiplicación. Resuelve esos problemas si puedes. Si no puedes, explica lo que está mal. $$5:0\ qquad 0:5\ qquad 7:0\ qquad 0:7\ qquad 0:0$$
- Usa tu trabajo para explicar por qué decimos que la división por 0 es indefinida.
- Usa uno de nuestros modelos de división para explicar por qué la división por 0 no está definida.
Cuatro familias de hechos
En la escuela primaria, a menudo se alienta a los estudiantes a memorizar “familias de cuatro hechos”, por ejemplo:
\[\begin{split} 2 + 3 &= 5 \\ 3 + 2 &= 5 \end{split} \quad \begin{split} 5 - 3 &= 2 \\ 5 - 2 &= 3 \end{split} \nonumber \]
Aquí hay una “familia de cuatro hechos” diferente:
\[\begin{split} 2 \cdot 3 &= 6 \\ 3 \cdot 2 &= 6 \end{split} \quad \begin{split} 6 : 3 &= 2 \\ 6 : 2 &= 3 \end{split} \nonumber \]
- ¿En qué sentido son estos grupos de ecuaciones “familias”?
- Anote al menos dos familias más de suma/resta cuatro hechos.
- Utilice las propiedades de suma y resta para explicar por qué estas cuatro familias de hechos son cada una realmente un hecho.
- Anote al menos dos familias más de multiplicación/división cuatro hechos.
- Utilice las propiedades de multiplicación y división para explicar por qué estas cuatro familias de hechos son cada una realmente un hecho.
- Aquí hay un hecho verdadero en la base seis:\(2_{six} + 3_{six} = 5_{six}\). Escribe el resto de esta familia de cuatro hechos.
- Aquí hay un hecho verdadero en la base seis:\(11_{six} - 5_{six} = 2_{six}\). Escribe el resto de esta familia de cuatro hechos.
Profundizando con la División
Hasta el momento hemos estado pensando en la división en lo que se llama el modelo citativo. En el modelo cotizativo, queremos hacer grupos de igual tamaño. Sabemos el tamaño del grupo, y nos preguntamos cuántos grupos. Por ejemplo, pensamos en 20 ÷ 4 como:
¿Cuántos grupos de 4 hay en un grupo de 20?
Pensando en cuatro familias de hechos, sin embargo, nos damos cuenta de que podemos darle un poco la vuelta a la pregunta. Podríamos pensar en el modelo partitivo de división. En el modelo partitivo, queremos hacer un número igual de grupos. Sabemos cuántos grupos, y preguntamos el tamaño del grupo. En el modelo partitivo, pensamos en 20 ÷ 4 como:
20 es 4 grupos de qué tamaño?
Cuando conocemos la cantidad original y el número de piezas, utilizamos la división partitiva para encontrar el tamaño de cada pieza.
Cuando conocemos la cantidad original y el tamaño de cada parte, utilizamos la división cotizativa para encontrar el número de piezas.
Aquí hay algunos ejemplos en problemas de palabras:
| Partitivo | Cotizativo |
|---|---|
|
número de grupos conocidos encontrar el número en cada grupo |
número en cada grupo conocido encontrar el número de grupos |
|
Una sala de cine hizo 6450 dólares en una noche de venta de entradas. 430 personas compraron un ticker. ¿Cuánto cuesta un boleto? |
Una sala de cine hizo 6450 dólares en una noche de venta de entradas. Cada boleto cuesta $12.50. ¿Cuántas personas compraron un boleto? |
Para cada problema de palabras a continuación:
- Dibuja un cuadro para mostrar lo que está pidiendo el problema.
- Usa tu imagen para ayudarte a decidir si se trata de un problema de división citativa o partitiva.
- Resuelve el problema usando cualquier método que te guste.
- David hizo 36 galletas para la venta de horneados. Envasó las galletas en cajas de 9. ¿Cuántas cajas usó?
- David hizo 36 galletas para compartirlas con sus amigos en el almuerzo. Había 12 personas en su mesa de almuerzo (entre ellos David). ¿Cuántas galletas obtuvo cada persona?
- Liz pasó un verano caminando por el sendero de los Apalachin. Completó 1,380 millas del sendero y promedió 15 millas por día. ¿Cuántos días estuvo de excursión ese verano?
- El 1 de abril de 2012, Chase Norton se convirtió en la primera persona en recorrer toda la cumbre de Ko'olau en un solo viaje. (¡Historia verdadera!) Le tomó ocho días recorrer las 48 millas de principio a fin. Si mantenía un ritmo constante, ¿cuántas millas recorría cada día?
Escribe tus propios problemas de palabras: Escribe un problema de división partitiva y un problema de división citativa. Elige tus números cuidadosamente para que la respuesta salga bien. ¡Asegúrate de resolver tus problemas!
¿Por qué pensar en estos dos modelos para división? No estarás enseñando las palabras partitivo y citativo a tus alumnos. Pero reconocer los dos tipos de problemas de división (y poder idear ejemplos de cada uno) te hará un mejor maestro.
Es importante que tus alumnos estén expuestos a ambas formas de pensar sobre la división, y a problemas de ambos tipos. De lo contrario, pueden pensar en la división de manera demasiado estrecha y no entender realmente lo que está pasando. Si entiendes los dos tipos de problemas, puedes diagnosticar y remediar más fácilmente las dificultades de los estudiantes.
La mayoría de los problemas de división que hemos visto hasta ahora han salido de manera uniforme, sin resto. Pero claro, ¡eso no siempre sucede! A veces, una respuesta de número entero tiene sentido, y el contexto del problema debería decirte cuál número entero es el correcto para elegir.
¿Qué es 43:4?
- Escribe un problema que utilice el cálculo 43:4 y dé 10 como respuesta correcta.
- Escribe un problema que utilice el cálculo 43:4 y dé 11 como respuesta correcta.
- Escribe un problema que utilice el cálculo 43:4 y dé 10.75 como respuesta correcta.
Podemos pensar en división con resto en términos de algunos de nuestros modelos para operaciones. Por ejemplo, podemos calcular que 23:4 = 5 R3. Podemos imaginarlo de esta manera:
\[23 = 5 \cdot 4 + 3 \ldotp \nonumber \]
- Explica cómo ilustra la imagen de arriba 23 = 5 · 4 + 3. ¿Dónde ves el resto de 3 en la imagen?
- Explica la conexión entre estas dos ecuaciones. $$23:4 = 5\;\ text {R} 3\ quad\ text {y}\ quad 23 = 5\ cdot 4 + 3\ ldotp$$
- ¿Cómo podría usar el modelo de línea numérica para mostrar el cálculo 23 = 5 · 4 + 3? ¿Qué aspecto tiene un “resto” en este modelo?
- Dibuje modelos de área para cada uno de estos problemas de división. Encuentra el cociente y resto. $$40:12\ qquad 59:10\ qquad 91:16$$