3.10: Exploraciones de división
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Sabemos que las cajas en un 1←10 tienen valores que son potencias de diez: 1, 10, 100, 1000, 10000...
Y las cajas en un sistema 1←5 son potencias de cinco: 1, 5, 25, 125, 625...
Entonces el sistema de Anu, sea lo que sea, debe ser poderes de x:\(1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4} \ldots\)
\[2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 6 \ldotp \nonumber \]
Y cuando escribe\(12_{x}\) quiere decir:
\[x + 2 \ldotp \nonumber \]
Anu decide computar\(2556_{x} \div 12_{x}\).
Ella obtiene:
\[(2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 6) \div (x + 2) = 2x^{2} + x + 3 \ldotp \nonumber \]
- Consulta la división de Anu calculando el producto $$ (x + 2) (2x^ {2} + x + 3)\ ldotp$ $ ¿Funcionó?
- Usa el método de Anu para encontrar $$ (3x^ {2} + 7x + 2)\ div (x + 2)\ ldotp$$
- Usa el método de Anu para encontrar $$ (2x^ {4} + 3x^ {3} + 5x^ {2} + 4x + 1)\ div (2x + 1)\ ldotp$$
- Usa el método de Anu para encontrar $$ (x^ {4} + 3x^ {3} + 6x^ {2} + 5x + 3)\ div (x^ {2} + x + 1)\ ldotp$$
Anu luego le dice a use que realmente estaba pensando en un sistema 1←10 para que x haga igual a diez. Entonces su número 2556 era realmente dos mil quinientos cincuenta y seis y 12 realmente doce. Su declaración:
\[(2x^{3} + 5x^{2} + 5x + 6) \div (x + 2) = 2x^{2} + x + 3 \ldotp \nonumber \]
es en realidad 2556:12 = 213.
- Comprobar que 2556:12 = 213 es correcto en base 10.
- Siguiendo con el sistema 1←10, ¿qué problemas de división resolvió realmente en las partes (b), (c) y (d) del Problema 28? Comprueba que tus respuestas sean correctas.
Uh ¡Oh! Anu ha cambiado de opinión. Ahora dice que estaba pensando en un sistema 1←11.
Ahora\(2556_{x}\) significa\(2 \cdot 11^{3} + 5 \cdot 11^{2} + 5 \cdot 11 + 6 = 3328_{ten}\).
De igual manera\(1 \cdot 11 + 2 = 13_{ten}\),\(12_{x}\) medios y\(213_{x}\) medios\(2 \cdot 11^{2} + 1 \cdot 11 + 3 = 256_{ten}\).
Así que el cálculo de Anu\(2556_{x} \div 12_{x}\ = 213_{x}\) es en realidad la declaración (base 10):\[3328 : 13 = 256 \ldotp \nonumber \]
- Comprobar que 3328:13 = 256 también es correcto en base diez.
- Siguiendo con el sistema 1←11, ¿qué problemas de división resolvió realmente en las partes (b), (c) y (d) del Problema 28? Verifica que sean correctos.
- Usa el método de Anu para mostrar que $$ (x^ {4} + 4x^ {3} + 6x^ {2} + 4x + 1)\ div (x + 1) = (x^ {3} + 3x^ {2} + 3x + 1)\ ldotp$$
- ¿Qué dice esto para x = 10? Verifique que la división sea correcta.
- ¿Qué dice esto para x = 2? Verifique que la división sea correcta.
- ¿Qué dice esto para x igual a cada uno de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 11? Verifique que cada división sea correcta.
- ¿Qué dice esto para x = 0?