4.2: ¿Qué es una Fracción?

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Una de las cosas que hace que las fracciones sean un concepto tan difícil de enseñar y de aprender es que hay que pensar en ellas de muchas maneras diferentes, dependiendo del problema en cuestión. Por ahora, vamos a pensar en una fracción como la respuesta a un problema de división.

Ejemplo: Tartas por niño

Supongamos que 6 tartas deben ser compartidas equitativamente entre 3 niños. Esto rinde 2 tartas por niño. Escribimos\[\frac{6}{3} = 2 \ldotp \nonumber \]

$imageedit_3_3560964841.png$

La fracción$\frac{6}{3}$ es equivalente al problema de división$6 \div 3 = 2$. Representa el número de tartas que recibe un niño entero cuando tres niños comparten seis pasteles por igual.

De la misma manera...

Compartir 10 tartas entre 2 niños rinde$\frac{10}{2} = 5$ pasteles por niño.
Compartir 8 tartas entre 2 niños rinde$\frac{8}{2} = 4$ pasteles por niño.
Compartir 5 tartas entre 5 niños rinde$\frac{5}{5} = 1$ pastel por niño.
Compartir 1 pastel entre 2 niños rinde$\frac{1}{2}$, que llamamos “la mitad”.

¡Este último ejemplo en realidad es decir algo! También representa cómo se suelen enseñar fracciones a los estudiantes:

Si un pastel se comparte por igual entre dos niños, entonces cada niño recibe una porción de un pastel que elegimos llamar “mitad”.

$imageedit_11_4842747144.png$

Así se enseña a los alumnos a asociar el número$`` \frac{1}{2} " $ a la imagen $onehalf.png$ .

De la misma manera, $onethird.png$ se dice que el cuadro representa “un tercio”, es decir,$\frac{1}{3}$. (Y esta es de hecho la cantidad de pastel que recibiría un niño individual si un pastel se comparte entre tres.)

El cuadro $onefifth.png$ se llama “una quinta parte” y en efecto es$\frac{1}{5}$, la cantidad de pastel que recibe un individuo si se comparten tres pasteles entre cinco niños.

Y la imagen $threefifths.png$ se llama “tres quintas partes” para representar$\frac{3}{5}$, la cantidad de pastel que recibe un individuo si se comparten tres pasteles entre cinco niños.

Pensar/Parejar/Compartir

Explica cuidadosamente por qué esto es cierto: Si cinco niños comparten tres pasteles por igual, cada niño recibe una cantidad que se ve así: $threefifths.png$ .

Tu explicación probablemente requerirá tanto palabras como imágenes.

Por su cuenta

Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.

Dibuja un cuadro asociado a la fracción$\frac{1}{6}$.
Dibuja un cuadro asociado a la fracción$\frac{3}{7}$. ¿Tu foto es realmente la cantidad de pastel que recibiría un individuo si se comparten tres pasteles entre siete niños? ¡Sea muy claro en esto!
¡Trabajemos al revés! Aquí está la respuesta a un problema de división:
$two-fifths.png$
Esto representa la cantidad de pastel que recibe un niño individual si algún número de pasteles se comparte entre algún número de niños. ¿Cuántas tartas? ¿Cuántos niños? ¿Cómo puedes justificar tus respuestas?
Aquí hay otra respuesta a un problema de división:
$four-fifths.png$
¿Cuántas tartas? ¿Cuántos niños? ¿Cómo puedes justificar tus respuestas?
Aquí hay otra respuesta a un problema de división:
$four-sevenths.png$
¿Cuántas tartas? ¿Cuántos niños? ¿Cómo puedes justificar tus respuestas?
Leigh dice que “$\frac{3}{5}$es tres veces más grande que”$\frac{1}{5}$. ¿Es esto correcto? Explica tu respuesta.
Dibuja un cuadro para la respuesta al problema de división$\frac{4}{8}$. Describe lo que notas sobre la respuesta.
Dibuja un cuadro para la respuesta al problema de división$\frac{2}{10}$. Describe lo que notas sobre la respuesta.
¿Qué$\frac{1}{1}$ representa el problema de la división? ¿Cuánto pastel recibe un niño individual?
¿Qué$\frac{5}{1}$ representa el problema de la división? ¿Cuánto pastel recibe un niño individual?
¿Qué$\frac{5}{5}$ representa el problema de la división? ¿Cuánto pastel recibe un niño individual?
Aquí está la respuesta a otro problema de división. Esta es la cantidad de pastel que recibe un niño individual:
$one-and-one-half-300x155.png$
¿Cuántas tartas había en el problema de la división? ¿Cuántos niños había en el problema de la división? Justifica tus respuestas.
Aquí está la respuesta a otro problema de división. Esta es la cantidad de pastel que recibe un niño individual:
$two-and-two-thirds-300x115.png$
¿Cuántas tartas había en el problema de la división? ¿Cuántos niños había en el problema de la división? Justifica tus respuestas
Muchos maestros tienen estudiantes jóvenes que dividen las tartas de formas diferentes en fracciones. Por ejemplo, un pastel hexagonal es bueno para ilustrar las fracciones: $$\ frac {1} {6},\ frac {2} {6},\ frac {3} {6},\ frac {4} {6},\ frac {5} {6},\; y\;\ frac {6} {6}\ ldotp$$
$sixths-hexagon.png$

¿Por qué se usa esta forma? ¿Qué aspecto tiene$\frac{1}{6}$ de un pastel?
¿Qué aspecto tiene$\frac{6}{6}$ de un pastel?
¿Qué forma de pastel sería buena para ilustrar las fracciones$\frac{1}{8}$ hasta$\frac{8}{8}$?

Problema 1

Algunas tartas rectangulares se distribuyen a algún número de niños. Esta imagen representa la cantidad de pastel que recibe un niño individual. El rectángulo grande representa un pastel completo.

$rectangular-pie.png$

¿Cuántas tartas? ¿Cuántos niños? ¡Justifica cuidadosamente tus respuestas!

Modelo de tartas por niño

En nuestro modelo, una fracción$\frac{a}{b}$ representa la cantidad de pastel que recibe un niño individual cuando los $a$ pasteles son compartidos por igual por $b$ niños.

$pies-per-child-model.png$

Pensar/Parejar/Compartir

¿Qué es$\frac{2}{2}$? ¿Qué es$\frac{7}{7}$? ¿Qué es$\frac{100}{100}$? ¿Cómo se puede usar el “Modelo de Tartas por Niño”$\frac{a}{a}$ para darle sentido a cualquier número entero positivo $a$ ?
¿Qué es$\frac{2}{1}$? ¿Qué es$\frac{7}{1}$? ¿Qué es$\frac{1876}{1}$? ¿Cómo se puede usar el “Modelo de Tartas por Niño”$\frac{b}{1}$ para darle sentido a cualquier número entero positivo $b$ ?
Escribe la respuesta a este problema de división: “No tengo tartas que compartir entre trece niños”. ¿Cómo se puede generalizar este problema de división para hacer una declaración general sobre las fracciones?

Definición

Para una fracción$\frac{a}{b}$, el número superior $a$ (que, para nosotros, es el número de pasteles) se llama el numerador de la fracción, y el número inferior $b$ (el número de niños), se llama denominador de la fracción.

La mayoría de la gente insiste en que el numerador y el denominador sean cada uno números enteros, pero no tienen que serlo.

Pensar/Parejar/Compartir

Para entender por qué el numerador y el denominador no necesitan ser números enteros, primero debemos ser un poco espantosos. En lugar de dividir las tartas, ¡dividamos a los niños! Aquí hay un niño:

$hairpants.jpg$

¿Cómo sería la mitad de un niño?
¿Cómo sería un tercio de un niño?
¿Cómo serían las tres quintas partes de un niño?

Entonces, ¿qué representaría $$\ frac {1} {\ left (\ dfrac {1} {2}\ right)} $ $?

Esto significa asignar un pastel a cada “grupo” de medio niño. Entonces, ¿cuánto recibiría un niño entero? Bueno, tendríamos una foto como esta:

$1-over-1_2.png$

Todo el niño recibe dos tartas, así que tenemos:

\[\frac{1}{\left( \dfrac{1}{2} \right)} = 2 \ldotp \nonumber \]

Pensar/Parejar/Compartir

¡Haz dibujos para estos problemas si ayuda!

¿Qué representa $$\ frac {1} {\ left (\ dfrac {1} {3}\ right)} $ $? Justifica tu respuesta usando el “Modelo de Tartas Por Niño”.
¿Qué es $$\ frac {1} {\ left (\ dfrac {1} {6}\ derecha)}? $$Justifica tu respuesta.
Explica por qué la fracción $$\ frac {5} {\ left (\ dfrac {1} {2}\ right)} $$representa el número 10. (¿Cuánto pastel se le da a medio niño? ¿A todo un niño?)
¿Qué es $$\ frac {4} {\ left (\ dfrac {1} {3}\ derecha)}? $$Justifica tu respuesta.
Desafío: Dos pasteles y medio deben ser compartidos equitativamente entre cuatro niños y medio. ¿Cuánto pastel recibe un niño individual (entero)? Justifica tu respuesta.

$onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$ $halfpie-1.png$

$onekid.png$ $onekid2.png$ $onekid2.png$ $halfkid.png$

Jerga: Fracciones impropias

Una fracción con un numerador menor que su denominador se llama (en la jerga matemática escolar) una fracción propia. Por ejemplo,$\frac{45}{58}$ es “apropiado”.

Una fracción con numerador mayor que su denominador se denomina (en la jerga matemática escolar) una fracción impropia. Por ejemplo,$\frac{7}{3}$ es “impropio”. (En los años 1800, estas fracciones se llamaban fracciones vulgares. )

Por alguna razón, las fracciones impropias son consideradas, bueno, impropias por algunos maestros. Así que a menudo se les pide a los estudiantes que escriban fracciones impropias como una combinación de un número entero y una fracción propia (a menudo llamados “números mixtos”). A pesar de su nombre y estos prejuicios, ¡fracciones impropias son útiles, no obstante!

Con un número mixto, se tiene una buena idea del tamaño general del número: “un poco más de cinco” o “un poco menos de 17”. Pero muchas veces es más fácil hacer cálculos con fracciones inadecuadas (¿por qué crees que es así?).

Ejemplo:$\frac{7}{3}$

Si se comparten siete pasteles entre tres niños, entonces cada niño sin duda recibirá dos pasteles enteros, dejando un pastel para compartir entre los tres niños.

$onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$ $onepie-150x150.png$

$onekid2.png$ $onekid2.png$ $onekid.png$

Por lo tanto,$\frac{7}{3}$ equivale a 2 más$\frac{1}{3}$. La gente escribe: $$\ frac {7} {3} = 2\ frac {1} {3} $$y llama al resultado un número mixto. También se puede escribir: $$2 +\ frac {1} {3} $$que es lo que$2 \frac{1}{3}$ realmente significa. Pero la mayoría de la gente opta por omitir el signo más.

Ejemplo:$\frac{23}{4}$

Si 4 niños comparten 23 tartas, podemos darles a cada uno 5 tartas enteras. Eso usa 20 tartas, y quedan 3 tartas.

$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onekid.png$

$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onekid2.png$

$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onekid.png$

$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$
$onepie-150x150.png$

Esas tres tartas aún están por ser compartidas por igual por los cuatro niños. Contamos con:\[\frac{23}{4} = 5 \frac{3}{4} \ldotp \nonumber \]

Ejemplo:$2 \frac{1}{5}$

Por diversión, escribamos el número 2 como una fracción con denominador 5:\[2 = \frac{10}{5} \ldotp \nonumber \]

Entonces:\[2 \frac{1}{5} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5} \ldotp \nonumber \]

Hemos escrito el número mixto$2 \frac{1}{5}$ como la fracción impropia$\frac{11}{5}$.

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Escribe cada uno de los siguientes como un número mixto. Explica cómo obtuviste tu respuesta. $$\ frac {17} {3},\ qquad\ frac {8} {5},\ qquad\ frac {100} {3},\ qquad\ frac {200} {199}\ ldotp$$
Convierte cada uno de estos números mixtos en fracciones “impropias”. Explica cómo obtuviste tu respuesta. $$3\ frac {1} {4},\ qquad 5\ frac {1} {6},\ qquad 1\ frac {3} {11},\ qquad 200\ frac {1} {200}\ ldotp$$

A menudo se les pide a los estudiantes que memoricen los nombres “fracciones propias”, “fracciones impropias” y “número mixto” para que puedan seguir instrucciones en pruebas y conjuntos de problemas.

Pero, para un matemático, ¡estos nombres no son para nada importantes! No hay una forma “correcta” de expresar una respuesta (asumiendo, que la respuesta es matemáticamente el número correcto). Muchas veces deseamos expresar nuestra respuesta de una forma más sencilla, pero a veces el contexto te dirá qué forma es “simple” y qué forma es más complicada.

A medida que trabajas en problemas en este capítulo, decide por ti mismo con qué tipo de fracción sería mejor trabajar mientras haces tu tarea.

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Problema 1

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Definición

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Ejemplo:\(\frac{7}{3}\)

Ejemplo:\(\frac{23}{4}\)

Ejemplo:\(2 \frac{1}{5}\)

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