4.3: La regla de la fracción clave
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pasteles son compartidos por igual entre
los niños.
¿Qué pasa si duplicamos el número de pastel y duplicamos el número de niños? ¡Nada! La cantidad de pastel por niño sigue siendo la misma:
\[\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} \ldotp \nonumber \]
Por ejemplo, como muestra la imagen,\(\frac{6}{3}\) y\(\frac{12}{6}\) ambos dan dos pasteles por cada niño.
Y triplicar el número de tartas y el número de niños tampoco cambia la cantidad final de tartas por niño, ni cuadruplicar cada número, ¡ni un billón de mil millones multiplicando los números!
\[\frac{6}{3} = \frac{12}{6} = \frac{18}{9} = \ldots = \text{two pies per child} \ldotp \nonumber \]
Esto nos lleva a querer creer:
\[\frac{xa}{xb} = \frac{a}{b}, \nonumber \]
(al menos para números enteros positivos
).
Decimos que las fracciones\(\frac{xa}{xb}\) y\(\frac{a}{b}\) son equivalentes.
Por ejemplo,
\[\frac{3}{5}\; \text{(sharing three pies among five kids)} \nonumber \]
produce el mismo resultado que
\[\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}\; \text{(sharing six pies among ten kids)} \nonumber \]
y como
\[\frac{3 \cdot 100}{5 \cdot 100} = \frac{300}{500}\; \text{(sharing 300 pies among 500 kids)} \ldotp \nonumber \]
Anote muchas fracciones equivalentes para\(\frac{1}{2}\)\(\frac{10}{3}\), para y para 1.
\[\frac{20}{32}\; \text{(sharing 20 pies among 32 kids)} \nonumber \]
es el mismo problema que:
\[\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{5}{8}\; \text{(sharing five pies among eight kids)} \ldotp \nonumber \]
La mayoría de la gente dice que hemos cancelado o tomado un factor común 4 del numerador y denominador.
Los matemáticos llaman a este proceso reducir la fracción a los términos más bajos. (¡Hemos hecho que el numerador y el denominador sean más pequeños, de hecho tan pequeños como podamos hacerlos!)
Los maestros tienden a decir que estamos simplificando la fracción. (Hay que admitir que\(\frac{5}{8}\) sí se ve más simple que\(\frac{20}{32}\).)
Como otro ejemplo, ciertamente se\(\frac{280}{350}\) puede simplificar al notar que hay un factor común de 10 tanto en el numerador como en el denominador:
\[\frac{280}{350} = \frac{28 \cdot 10}{35 \cdot 10} = \frac{28}{35} \ldotp \nonumber \]
Podemos ir más allá ya que 28 y 35 son ambos múltiplos de 7:
\[\frac{28}{35} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{4}{5} \ldotp \nonumber \]
Así, ¡compartir 280 tartas entre 350 niños da el mismo resultado que compartir 4 pasteles entre 5 niños!
\[\frac{280}{350} = \frac{4}{5} \ldotp \nonumber \]
Dado que 4 y 5 no comparten factores comunes, esto es lo más lejos que podemos llegar con este ejemplo (mientras nos quedamos con números enteros).
Por su cuenta
Mix and Match: En la parte superior hay algunas fracciones que no se han simplificado. En la parte inferior están las respuestas simplificadas, pero en orden aleatorio. ¿Cuál respuesta simplificada va con qué fracción? (¡Observe que hay menos respuestas que preguntas!)
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Utilice el “Modelo de Tartas por Niño” para explicar por qué se mantiene la regla de fracción clave. Es decir, explicar por qué cada niño recibe la misma cantidad de pastel en estas dos situaciones:
- si tienes tartas y niños, o
- si tienes
tartas y
niños.