4.4: Sumando y restando fracciones
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\[\frac{2}{7}\; \text{represents 2 pies shared by 7 kids} \ldotp \nonumber \]
\[\frac{3}{7}\; \text{represents 3 pies shared by 7 kids} \ldotp \nonumber \]
Entonces tal vez\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\) representa 5 pasteles entre 14 niños, dando la respuesta\(\frac{5}{14}\). Es muy tentador decir que “agregar fracciones” significa “agregar pasteles y agregar niños”.
El problema es que una fracción no es un pastel, y una fracción no es un niño. Entonces agregar pasteles y agregar niños en realidad no es agregar fracciones. Una fracción es algo diferente. Se relaciona con tartas y niños, pero algo más sutil. Una fracción es una cantidad de pastel por niño.
No se pueden agregar tartas, no se pueden agregar niños. Uno debe agregar en su lugar las cantidades que reciben los niños individuales.
Vamos a tomarlo despacio. Considera la fracción\(\frac{2}{7}\). Aquí hay una imagen de la cantidad que recibe un niño individual cuando se dan dos pasteles a siete niños:
Considera la fracción\(\frac{3}{7}\). Aquí está la imagen de la cantidad que recibe un niño individual cuando se le dan tres pasteles a siete niños:
La suma\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\) corresponde a la suma:
La respuesta, de la imagen, es\(\frac{5}{7}\).
Recuerda que\(\frac{5}{7}\) significa “la cantidad de pastel que recibe un niño cuando cinco pasteles son compartidos por siete niños”. Explique cuidadosamente por qué es lo mismo que la imagen dada por la suma anterior:
¡Tu explicación debe usar tanto palabras como imágenes!
La mayoría de la gente lee esto como “dos séptimos más tres séptimos da cinco séptimos” y piensa que el problema es tan fácil como decir “dos manzanas más tres manzanas da cinco manzanas”. Y, al final, ¡tienen razón!
Así es como primero se enseña a los estudiantes la suma de fracciones: Sumando fracciones con el mismo denominador parece tan fácil como agregar manzanas:
4 décimas + 3 décimas + 8 décimas = 15 décimas.
\[\frac{4}{10} + \frac{3}{10} + \frac{8}{10} = \frac{15}{10} \ldotp \nonumber \]
(Y, si quieres,\(\frac{15}{10} = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{2}\).)
82 sesenta quintos + 91 sesenta quintos = 173 sesenta quintos:
\[\frac{82}{65} + \frac{91}{65} = \frac{173}{65} \ldotp \nonumber \]
Realmente estamos sumando cantidades por niño no montos, pero las respuestas coinciden de la misma manera.
Podemos usar el “Modelo Pies Por Niño” para explicar por qué sumar fracciones con denominadores similares funciona de esta manera.
Piense en el problema de la adición\(\frac{2}{7} + \frac{3}{7}\):
\[\begin{split} \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 2 pies} & \\ +\; \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 3 pies} \\ \hline ????? \qquad \qquad \qquad \qquad & \end{split} \nonumber \]
Ya que en ambos casos tenemos 7 niños compartiendo las tartas, podemos imaginar que son los mismos 7 niños en ambos casos. Primero, comparten 2 tartas. Después comparten 3 tartas más. El total que recibe cada niño para cuando se hace todo el pastel compartido es el mismo que si los 7 niños acabaran de compartir 5 pasteles para empezar. Es decir:
\[\begin{split} \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 2 pies} & \\ +\; \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 3 pies} \\ \hline \text{amount of pie each kids gets when 7 kids share 5 pies} \ldotp & \end{split} \nonumber \]
\[\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} \ldotp \nonumber \]
Ahora pensemos en el caso general. Nuestra afirmación es que
\[\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d} \ldotp \nonumber \]
Traduciendo a nuestro modelo, tenemos
hijos. Primero, comparten
pasteles entre ellos, y\(\frac{a}{d}\) representa la cantidad que recibe cada niño. Entonces comparten
más tartas, por lo que la cantidad adicional de pastel que recibe cada niño es\(\frac{b}{d}\). El total que recibe cada niño es\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d}\).
Pero realmente no importa que los niños primero compartan pasteles y luego compartan pasteles. La cantidad que recibe cada niño es la misma que si hubiera comenzado con todos los pasteles —todos ellos— y\(a + b\) los hubiera compartido por igual. Esa cantidad de pastel está representada por\(\frac{a + b}{d}\).
- ¿Cómo se pueden restar fracciones con el mismo denominador? Por ejemplo, ¿qué es $$\ frac {400} {903} -\ frac {170} {903}? $$
- Usa el modelo “Tartas por niño” para explicar cuidadosamente por qué $$\ frac {a} {d} -\ frac {b} {d} =\ frac {a - b} {d}\ ldotp$$
- Explicar por qué el hecho de que los denominadores sean iguales es esencial para este método de suma y resta. ¿Dónde se usa ese hecho en las explicaciones?
Fracciones con diferentes denominadores
Este enfoque para sumar fracciones de repente se vuelve complicado si los denominadores involucrados no son el mismo valor común. Por ejemplo, ¿qué es\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)?
Formemos esta pregunta en términos de tartas y niños:
Supongamos que Podexter forma parte de un equipo de cinco niños que comparte dos pasteles. Entonces más tarde forma parte de un equipo de tres niños que comparte un pastel. ¿Cuánto pastel recibe Podexter en total?
Habla sobre estas preguntas con un compañero antes de seguir leyendo. ¡En realidad es un problema muy difícil! ¿Qué podría decir un estudiante, si no sabe ya de sumar fracciones? Anota cualquiera de tus pensamientos.
- ¿Ves que este es el mismo problema que la computación\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)?
- ¿Cuál podría ser el mejor enfoque para responder al problema?
Una forma de pensar en responder esta pregunta de adición es escribir\(\frac{2}{5}\) en una serie de formas alternativas usando nuestra regla de fracción clave (es decir, multiplicar el numerador y denominador cada uno por 2, y luego cada uno por 3, y luego cada uno por 4, y así sucesivamente) y hacer lo mismo para\(\frac{1}{3}\):
\[\begin{split} \frac{2}{5} + \frac{1}{3} & \\ \frac{4}{10} \quad \frac{2}{6} & \\ \textcolor{red}{\frac{6}{15}} \quad \frac{3}{9} & \\ \frac{8}{20}\; \; \frac{4}{12} & \\ \frac{10}{25}\; \; \textcolor{red}{\frac{5}{15}} & \\ \vdots \qquad \vdots\; & \end{split} \nonumber \]
Vemos que en realidad el problema\(\frac{2}{5} + \frac{1}{3}\) es el mismo que\(\frac{6}{15} + \frac{5}{15}\). Entonces podemos encontrar la respuesta usando el método del mismo denominador:
\[\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15} \ldotp \nonumber \]
Aquí hay otro ejemplo de sumar fracciones con denominadores diferentes:\(\frac{3}{8} + \frac{3}{10}\). En este caso, Valerie forma parte de un grupo de 8 niños que comparten 3 tartas. Posteriormente forma parte de un grupo de 10 niños que comparten 3 tartas diferentes. ¿Cuánto pastel total obtuvo Valerie?
\[\begin{split} \frac{3}{8} + \frac{3}{10} & \\ \frac{6}{16}\; \; \frac{6}{20} & \\ \frac{9}{24}\; \; \frac{9}{30} & \\ \frac{12}{32}\; \; \textcolor{red}{\frac{12}{40}} & \\ \textcolor{red}{\frac{15}{40}}\; \; \frac{15}{50} & \\ \vdots \qquad \vdots\; & \end{split} \nonumber \]
\[\frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{15}{40} + \frac{12}{40} = \frac{17}{40} \ldotp \nonumber \]
Por supuesto, no es necesario enumerar todas las formas equivalentes de cada fracción para encontrar un denominador común. Si puedes ver un denominador de inmediato (o pensar en un método más rápido que siempre funcione), ¡ve a por ello!
Cassie sugiere el siguiente método para el ejemplo anterior:
Cuando los denominadores son iguales, solo agregamos los numeradores. Entonces, cuando los numeradores son iguales, ¿no deberíamos simplemente agregar los denominadores? Me gusta esto:\[\frac{3}{8} + \frac{3}{10} = \frac{3}{18} \ldotp \nonumber \]
¿Qué opinas de la sugerencia de Cassie? ¿Tiene sentido? ¿Qué dirías si fueras la maestra de Cassie?
Por su cuenta
Prueba estos ejercicios por tu cuenta. Para cada ejercicio de adición, anote también una interpretación del problema de “Pies por niño”. También podrías querer dibujar un cuadro.
- ¿Qué es\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)?
- ¿Qué es\(\frac{2}{5} + \frac{37}{10}\)?
- ¿Qué es\(\frac{1}{2} + \frac{3}{10}\)?
- ¿Qué es\(\frac{2}{3} + \frac{5}{7}\)?
- ¿Qué es\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)?
- ¿Qué es\(\frac{3}{10} + \frac{4}{25} + \frac{7}{20} + \frac{3}{5} + \frac{49}{50}\)?
Ahora prueba estos ejercicios de resta.
- ¿Qué es\(\frac{7}{10} - \frac{3}{10}\)?
- ¿Qué es\(\frac{7}{10} - \frac{3}{20}\)?
- ¿Qué es\(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\)?
- ¿Qué es\(\frac{2}{35} - \frac{2}{7} + \frac{2}{5}\)?
- ¿Qué es\(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16}\)?