4.5: ¿Qué es una Fracción? Revisitado
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Por supuesto, los pasteles no tienen que ser redondos. Podemos tener tartas cuadradas, o tartas triangulares o tartas squiggly o cualquier forma que te plazca.
Este “Modelo de Pies Por Niño” nos ha servido perfectamente bien para pensar en el significado de fracciones, fracciones equivalentes, e incluso sumar y restar fracciones.
Sin embargo, ¡no hay forma de usar este modelo para dar sentido a multiplicar fracciones! ¿Qué significaría esto?
Entonces, ¿qué son las fracciones, si se nos pide multiplicarlas? Nos vemos obligados a cambiar de modelo y pensar en fracciones de una nueva manera.
Este interruptor es fundamentalmente perturbador. Piense en los estudiantes aprendiendo esto por primera vez. Seguimos cambiando conceptos y modelos, y hablamos de fracciones en cada caso como si todo estuviera naturalmente vinculado y obvio. Nada de esto es obvio, todo es absolutamente confuso. ¡Esta es solo una de las razones por las que las fracciones pueden ser un concepto tan difícil de enseñar y de aprender en la primaria!
Para cada una de las siguientes representaciones visuales de fracciones, existe una expresión simbólica incorrecta correspondiente.
- ¿Por qué la representación simbólica es incorrecta?
- ¿Qué podría resultar confuso a los estudiantes de primaria en estas representaciones visuales?
\[\frac{1}{3} \qquad \qquad \frac{2}{3} > \frac{3}{4}\]
\[\frac{1}{3} \neq 13\]
Unidades y unificación
Al pensar en fracciones, es importante recordar que siempre hay unidades adheridas a una fracción, aunque las unidades estén ocultas. Si ves el número
en un problema, deberías preguntarte “¿la mitad de qué?” La respuesta a esa pregunta es tu unidad, la cantidad que equivale a 1.
Hasta el momento, nuestras unidades han sido consistentes: el “entero” (o unidad) era un pastel entero, y las fracciones estaban representadas por tartas cortadas en trozos de igual tamaño. Pero esto es solo un modelo, y podemos tomar cualquier cosa, cortarlo en trozos de igual tamaño y hablar de fracciones de ese conjunto.
Una cosa que puede dificultar tanto los problemas de fracciones es que las fracciones en el problema pueden darse en diferentes unidades (pueden ser “partes” de diferentes “enteros”).
El señor Li muestra esta imagen a su clase y pregunta qué número muestra la región sombreada.
- Kendra dice que la región sombreada representa el número 5.
- Dylan dice que representa\(2 \frac{1}{2}\).
- Kiana dice que representa\(\frac{5}{8}\).
- Nate dice que lo es\(1 \frac{1}{4}\).
El señor Li exclama: “¡Todos tienen razón!”
- ¿Cómo puede ser que todos tengan razón? Justificar cada respuesta explicando lo que cada estudiante pensaba que era la unidad en la imagen del señor Li.
- Ahora mira esta foto:
- Si la región sombreada representa\(3 \frac{2}{3}\), ¿cuál es la unidad?
- Encuentra otros tres números que podrían ser representados por la región sombreada, y explica cuál es la unidad para cada respuesta.
Esta foto
representa\(\frac{2}{3}\). Todo el segmento (la unidad) se divide en tres piezas iguales por las marcas de verificación, y dos de esas tres piezas iguales están sombreadas.
Para cada imagen de abajo, di qué fracción representa y cómo sabes que tienes razón.
Pedido de fracciones
Si pensamos en las fracciones como “porciones de un segmento”, entonces podemos hablar de sus ubicaciones en una recta numérica. Podemos empezar a tratar fracciones como números. En el fondo de nuestras mentes, debemos recordar que las fracciones son siempre relativas a alguna unidad. Pero en una recta numérica, la unidad es clara: es la distancia entre 0 y 1.
Este modelo de medición hace que sea mucho más fácil abordar preguntas sobre el tamaño relativo de las fracciones en función de dónde aparecen en la recta numérica. Podemos marcar diferentes fracciones como partes del segmento unitario. Al igual que con los números enteros, las fracciones que aparecen más a la derecha son más grandes.
3/5 y 5/8 están muy cerca, pero 5/8 es solo un poco más grande.
- ¿Qué método rápido puedes usar para determinar si una fracción es mayor que 1?
- ¿Qué método rápido puedes usar para determinar si una fracción es mayor que\(\frac{1}{2}\)?
- Organice estas fracciones de menor a mayor usando puntos de referencia: 0\(\frac{1}{2}\) a\(\frac{1}{2}\), a 1 y mayores que 1. Justifica tus elecciones. $$\ frac {25} {23},\ quad\ frac {4} {7},\ quad\ frac {17} {35},\ quad\ frac {2} {9},\ quad\ frac {14} {15}\ ldotp$$
- Organizar cada grupo de fracciones en orden ascendente. Mantenga un registro de su pensamiento y sus métodos.
- $$\ frac {7} {17},\ quad\ frac {4} {17},\ quad\ frac {12} {17}\ ldotp$$
- $$\ frac {3} {7},\ quad\ frac {3} {4},\ quad\ frac {3} {8}\ ldotp$$
- $$\ frac {5} {6},\ quad\ frac {7} {8},\ quad\ frac {3} {4}\ ldotp$$
- $$\ frac {8} {13},\ quad\ frac {12} {17},\ quad\ frac {1} {6}\ ldotp$$
- $$\ frac {5} {6},\ quad\ frac {10} {11},\ quad\ frac {2} {3}\ ldotp$$
Probablemente se le ocurrieron puntos de referencia y métodos intuitivos para pensar en los tamaños relativos de las fracciones. Estos son algunos de estos métodos. (¿Se te ocurrieron otros?)
Fracción Intuición
Mayor que 1: Una fracción es mayor que 1 si su numerador es mayor que su denominador. ¿Cómo podemos ver esto? Bueno, el denominador representa cuántas piezas en un todo (una unidad). El numerador representa cuántas piezas hay en tu porción. Entonces, si el numerador es más grande, eso significa que tienes más que el número de piezas necesarias para hacer una entera.
Mayor que\(\frac{1}{2}\): Una fracción es mayor que\(\frac{1}{2}\) si el numerador es más de la mitad del denominador. Otra forma de verificar (que podría ser un cálculo más fácil): una fracción es mayor que\(\frac{1}{2}\) si dos veces el numerador es mayor que el denominador.
¿Por qué? Bueno, si duplicamos la fracción y obtenemos algo mayor que 1, entonces la fracción original debe ser mayor que\(\frac{1}{2}\).
Mismos denominadores: Si dos fracciones tienen el mismo denominador, basta comparar los numeradores. Las fracciones estarán en el mismo orden que los numeradores. Por ejemplo,\(\frac{5}{7} < \frac{6}{7}\). ¿Por qué? Bueno, las piezas son del mismo tamaño ya que los denominadores son los mismos. Si tienes más piezas del mismo tamaño, tienes un número mayor.
Mismos numeradores: Si los numeradores de dos fracciones son iguales, basta comparar los denominadores. Las fracciones deben estar en el orden inverso de los denominadores. Por ejemplo,\(\frac{3}{4} > \frac{3}{5}\). La justificación de ésta es un poco más complicada: El denominador te dice cuántas piezas componen un todo. Si hay más piezas en un todo (si el denominador es mayor), entonces las piezas deben ser más pequeñas. Y si tomas el mismo número de piezas (mismo numerador), entonces gana la pieza más grande.
Numerador = denominador\(-1\): Se pueden comparar fácilmente dos fracciones cuyos numeradores son ambos uno menos que sus denominadores. Las fracciones estarán en el mismo orden que los denominadores. Piense en cada fracción como un pastel al que le falta una pieza. Cuanto mayor sea el denominador, menor será la pieza faltante, por lo que mayor será la cantidad restante. Por ejemplo,\(\frac{6}{7} < \frac{10}{11}\), desde\(\frac{6}{7} = 1 - \frac{1}{7}\) y\(\frac{10}{11} = 1 - \frac{1}{11}\).
Numerador = denominador − constante: Se puede extender la prueba anterior a fracciones cuyos numeradores sean ambos la misma cantidad menos que sus denominadores. Las fracciones volverán a estar en el mismo orden que los denominadores, exactamente por la misma razón. Por ejemplo,\(\frac{3}{7} < \frac{7}{11}\), porque ambas son cuatro “piezas” menos de un todo, y las\(\frac{1}{11}\) piezas son más pequeñas que las\(\frac{1}{7}\) piezas.
Fracciones equivalentes: Encuentra fracciones equivalentes que te permitan comparar numeradores o denominadores, y luego usar una de las reglas anteriores.
Secuencias Aritméticas
Considera los patrones a continuación.
\[5, \quad 8, \quad 11, \quad 14, \quad 17, \quad 20, \quad 23, \quad 26, \ldots\]
\[2, \quad 9, \quad 16, \quad 23, \quad 30, \quad 37, \quad 4, \quad 51, \ldots\]
\[\frac{1}{5}, \quad \frac{3}{5}, \quad 1, \quad \frac{7}{5}, \quad \frac{9}{5}, \quad \frac{11}{5}, \quad \frac{13}{5}, \quad 3, \ldots\]
Responde estas preguntas sobre cada uno de los patrones.
- ¿Puedes predecir los siguientes cinco números?
- ¿Se puede predecir el número 100?
- ¿Qué tienen en común estas secuencias? Describir el patrón en palabras.
Los patrones anteriores se denominan secuencias aritméticas: una secuencia de números donde la diferencia entre términos consecutivos es una constante. Aquí hay algunos otros ejemplos:
Patrón A:\[\begin{split} \underbrace{1, \quad} \underbrace{2, \quad} \underbrace{3, \quad} \underbrace{4, \quad} 5, & \ldots \\ +1\; \; +1\; \; +1\; \; +1 \quad & \end{split}\]
\[\begin{split} \underbrace{2, \quad} \underbrace{4, \quad} \underbrace{6, \quad} \underbrace{8, \quad} 10, & \ldots \\ +2\; \; +2\; \; +2\; \; +2 \qquad & \end{split}\]
Patrón C:\[\begin{split} \underbrace{\frac{1}{3}, \quad} \underbrace{1, \quad} \underbrace{\frac{5}{3}, \quad} \underbrace{\frac{7}{3}, \quad} 3, & \ldots \\ + \frac{2}{3}\; \; + \frac{2}{3}\; + \frac{2}{3}\; \; + \frac{2}{3}\; \quad & \end{split}\]
Si aún no lo has hecho, encuentra la diferencia común entre los términos para los Patrones 1, 2 y 3. ¿Son realmente secuencias aritméticas?
Entonces crea tu propia secuencia aritmética usando números enteros. Intercambia secuencias con un compañero, y comprueba si la secuencia de tu pareja es realmente una secuencia aritmética.
Aquí hay varios patrones numéricos más:
Patrón 4:\[1, \quad 2, \quad 4, \quad 8, \quad 16, \quad 32, \quad 64, \quad 128, \ldots\]
\[1, \quad 3, \quad 6, \quad 10, \quad 15, \quad 21, \quad 28, \quad 36, \ldots\]
\[\frac{2}{5}, \quad \frac{7}{10}, \quad 1, \quad \frac{13}{10}, \quad \frac{8}{5}, \quad \frac{19}{10}, \quad \frac{11}{5}, \quad \frac{5}{2}, \ldots\]
\[\frac{3}{5}, \quad \frac{6}{5}, \quad \frac{12}{5}, \quad \frac{24}{5}, \quad \frac{48}{5}, \quad \frac{96}{5}, \ldots\]
Para cada una de las secuencias anteriores, decide si es una secuencia aritmética o no. Justifica tus respuestas.
\[\frac{1}{4}, \quad \_\_\_\_, \quad \_\_\_\_, \quad \frac{1}{3}\]
- Encuentra dos fracciones entre\(\frac{1}{4}\) y\(\frac{1}{3}\).
- ¿Las cuatro fracciones resultantes están en una secuencia aritmética? Justifica tu respuesta.
Encuentra dos fracciones entre\(\frac{1}{6}\) y\(\frac{1}{5}\) así los cuatro números resultantes están en una secuencia aritmética.
\[\frac{1}{6}, \quad \_\_\_, \quad \_\_\_\_, \quad \frac{1}{5}\]
Encuentra tres fracciones entre\(\frac{2}{5}\) y\(\frac{5}{7}\) así los cuatro números resultantes están en una secuencia aritmética.
\[\frac{2}{5}, \quad \_\_\_, \quad \_\_\_, \quad \_\_\_\_, \quad \frac{5}{7}\]
Configura dos secuencias de fracciones propias, una que sea una secuencia aritmética y otra que no sea una secuencia aritmética.
Intercambia tus secuencias con un compañero, pero no le digas a tu pareja cuál es cuál.
Cuando obtengas las secuencias de tu pareja: decide cuál es una secuencia aritmética y cuál no. Comprueba si tú y tu pareja están de acuerdo.