4.6: Multiplicar fracciones
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Uno de nuestros modelos para multiplicar números enteros fue un modelo de área. Por ejemplo, el producto\(23 \times 37\) es el área (número de cuadrados 1 × 1) de un rectángulo de 23 por 37:
Entonces el producto de dos fracciones, digamos, también\(\frac{4}{7} \times \frac{2}{3}\) debería corresponder a un problema de área.
Empecemos con un segmento de cierta longitud que llamamos 1 unidad:
Ahora, construye un cuadrado que tenga una unidad a cada lado:
El área de la plaza, por supuesto, es unidad\(1 \times 1 = 1\) cuadrada.
Ahora, dividamos el segmento en la parte superior en tres piezas de igual tamaño. (Entonces cada pieza es\(\frac{1}{3}\).) Y dividiremos el segmento del costado en siete piezas de igual tamaño. (Entonces cada pieza es\(\frac{1}{7}\).)
Podemos usar esas marcas para dividir todo el cuadrado en rectángulos pequeños de igual tamaño. (Cada rectángulo tiene un lado que mide\(\frac{1}{3}\) y otro lado que mide\(\frac{1}{7}\).)
Ahora podemos marcar cuatro séptimos en un lado y dos tercios en el otro lado.
El resultado de la multiplicación debe ser el área del rectángulo con\(\frac{4}{7}\) en un lado y\(\frac{2}{3}\) en el otro. ¿Cuál es esa zona?
Recuerden, toda la plaza era una unidad. Ese cuadrado de una unidad se divide en 21 piezas de igual tamaño, y nuestro rectángulo (el que tiene lados\(\frac{4}{7}\) y\(\frac{2}{3}\)) contiene ocho de esos rectángulos. Como el área sombreada es la respuesta a nuestro problema de multiplicación concluimos que
\[\frac{4}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{21} \ldotp \nonumber \]
- Se utilizan modelos para calcular cada uno de los siguientes productos. Dibuja el cuadro para ver la respuesta con claridad. $$\ frac {3} {4}\ veces\ frac {5} {6},\ qquad\ frac {3} {8}\ veces\ frac {4} {5},\ qquad\ frac {5} {8}\ veces\ frac {3} {7}\ ldotp$$
- El problema de área\(\frac{4}{7} \times \frac{2}{3}\) arrojó un diagrama con un total de 21 rectángulos pequeños. Explique por qué 21 aparece como el número total de rectángulos de igual tamaño.
- El problema de área\(\frac{4}{7} \times \frac{2}{3}\) arrojó un diagrama con 8 pequeños rectángulos sombreados. Explique por qué 8 aparece como el número de rectángulos sombreados.
¿Cómo se puede extender el modelo de área para fracciones mayores a 1? Trate de dibujar una imagen para cada uno de estos:\[\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}, \qquad \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3}, \qquad \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{4}, \qquad \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{4} \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
Trabaja en los siguientes ejercicios por tu cuenta o con un compañero.
- Calcular los siguientes productos, simplificando al máximo cada una de las respuestas. No es necesario que hagas dibujos, ¡pero ciertamente puedes optar por hacerlo si te ayuda! $$\ frac {5} {11}\ veces\ frac {7} {12},\ qquad\ frac {4} {7}\ veces\ frac {4} {8},\ qquad\ frac {1} {2}\ veces\ frac {1} {3},\ qquad\ frac {2} {1}\ veces\ frac {3} {1},\ qquad\ frac {1} {5}\ veces\ frac {5} {1}\ ldotp$$
- Calcule los siguientes productos. (¡No trabajes demasiado duro!) $$\ frac {3} {4}\ veces\ frac {1} {3}\ veces\ frac {2} {5},\ qquad\ frac {5} {5}\ veces\ frac {7} {8},\ qquad\ frac {88} {88}\ veces\ frac {541} {788},\ qquad\ frac {77876} {311}\ veces\ frac {311} {77876}\ ldotp$$
- Prueba este. ¿Puedes hacer uso de la regla de la fracción\(\frac{xa}{xb} = \frac{a}{b}\) para ayudarte a calcular? ¿Cómo? $$\ frac {1} {2}\ veces\ frac {2} {3}\ veces\ frac {3} {4}\ veces\ frac {4} {5}\ veces\ frac {5} {6}\ veces\ frac {6} {7}\ veces\ frac {7} {8}\ veces\ frac {8} {9}\ veces\ frac {9}} {10}\ ldotp$$
¿En qué se diferencian estos dos problemas? Dibuja una imagen de cada uno.
- Pam tenía\(\frac{2}{3}\) de un pastel en su refrigerador, y se lo\(\frac{1}{2}\) comió. ¿Cuánto pastel total comió?
- El lunes, Pam comió\(\frac{2}{3}\) de un pastel. El martes, Pam comió\(\frac{1}{2}\) de un pastel. Ambos pasteles eran del mismo tamaño. ¿Cuánto pastel total comió?
Cuando un problema incluye una frase como “\(\frac{2}{3}\)de...”, se enseña a los estudiantes a tratar “de” como multiplicación, y a usarla para resolver el problema. Como muestran los problemas anteriores, en algunos casos esto tiene sentido, y en algunos casos no lo hace. Es importante leer atentamente y entender lo que se plantea un problema, no memorizar reglas sobre “traducir” problemas de palabras.
Explicando la Regla
Probablemente simplificaste tu trabajo en los ejercicios anteriores usando una regla de multiplicación como la siguiente.
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \ldotp \nonumber \]
Por supuesto, entonces puedes optar por simplificar la respuesta final, pero la respuesta siempre es equivalente a esta. ¿Por qué? El modelo de área puede ayudarnos a explicar lo que está pasando.
Primero, escribamos claramente cómo dice el modelo de área que se multiplique\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\). Queremos construir un rectángulo donde un lado tenga longitud\(\frac{a}{b}\) y el otro lado tenga longitud\(\frac{c}{d}\). Comenzamos con un cuadrado, una unidad a cada lado.
- Divida el segmento superior en piezas
de igual tamaño. Sombra
de esas piezas. (Este será el lado del rectángulo con longitud\(\frac{a}{b}\).) - Divida el segmento izquierdo en trozos
de igual tamaño. Sombra
de esas piezas. (Este será el lado del rectángulo con longitud\(\frac{c}{d}\).) - Divida todo el rectángulo de acuerdo con las marcas de los lados, haciendo rectángulos de igual tamaño.
- Sombra el rectángulo delimitado por los segmentos sombreados.
Si la respuesta es\(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\), eso significa que hay piezas\(b \cdot d\) totales del mismo tamaño en el cuadrado, y\(a \cdot c\) de ellas están sombreadas. Podemos ver en el modelo por qué este es el caso:
- El segmento superior se dividió en piezas de igual tamaño. Entonces hay columnas en el rectángulo.
- El segmento lateral se dividió en piezas de igual tamaño. Entonces hay filas en el rectángulo.
- Un rectángulo con columnas y filas tiene\(b \cdot d\) piezas. (¡El modelo de área para la multiplicación de números enteros!)
Apégate a la regla general de multiplicación
\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \ldotp \nonumber \]
Escribe una explicación clara de por qué\(a \cdot c\) de los pequeños rectángulos serán sombreados.
Multiplicar fracciones por números enteros
A menudo, a los estudiantes de primaria se les enseña a multiplicar fracciones por números enteros usando la regla de fracción.
Por ejemplo, para multiplicar\(2 \cdot \frac{3}{7}\), pensamos en “2” como\(\frac{2}{1}\), y computamos de esta manera\[2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 7} = \frac{6}{7} \ldotp \nonumber \]
También podemos pensar en términos de nuestro modelo original “Pies por niño” para responder preguntas como esta.
Sabemos que eso\(\frac{3}{7}\) significa la cantidad de pastel que recibe cada niño cuando 7 niños comparten uniformemente 3 pasteles.
Si calculamos\(2 \cdot \frac{3}{7}\) eso significa que duplicamos la cantidad de pastel que recibe cada niño. Podemos hacer esto duplicando el número de tartas. Entonces la respuesta es la misma que\(\frac{6}{7}\): la cantidad de pastel que recibe cada niño cuando 7 niños comparten uniformemente 6 pasteles.
Por último, podemos pensar en términos de unidades y unificar.
La fracción\(\frac{3}{7}\) significa que tengo 7 piezas iguales (de algo), y tomo 3 de ellas.
Entonces\(2 \cdot \frac{3}{7}\) significa hacer eso dos veces. Si tomo 3 piezas y luego 3 piezas otra vez, obtengo un total de 6 piezas. Todavía quedan 7 piezas iguales en el conjunto, así que la respuesta es\(\frac{6}{7}\).
- Usa los tres métodos para explicar cómo encontrar cada producto: $ $3\ cdot\ frac {2} {5},\ qquad 4\ cdot\ frac {3} {8},\ qquad 6\ cdot\ frac {1} {5}\ ldotp$$
- Compara estas diferentes formas de pensar sobre la multiplicación de fracciones. ¿Alguno de ellos es más natural para ti? ¿Uno tiene más sentido que los demás? ¿Los números particulares en el problema afectan tu respuesta? ¿Tu pareja está de acuerdo?
Explicación de la regla de la fracción clave
Roy dice que la regla de la fracción
\[\frac{xa}{xb} = \frac{a}{b} \nonumber \]
es “obvio” si piensas en términos de multiplicar fracciones. Mociona de la siguiente manera:
Sabemos que multiplicar cualquier cosa por 1 no cambia un número:
\[\begin{split} 1 \cdot 4 &= 4 \\ 1 \cdot 2014 &= 2014 \\ 1 \cdot \frac{5}{7} &= \frac{5}{7} \end{split} \nonumber \]
Entonces, en general,
\[1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \ldotp \nonumber \]
Ahora,\(\frac{2}{2} = 1\), entonces eso significa que
\[\frac{2}{2} \cdot \frac{a}{b} = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}, \nonumber \]
lo que significa
\[\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} \ldotp \nonumber \]
Por el mismo razonamiento,\(\frac{3}{3} = 1\), entonces eso significa que
\[\frac{3}{3} \cdot \frac{a}{b} = 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}, \nonumber \]
lo que significa
\[\frac{3a}{3b} = \frac{a}{b} \ldotp \nonumber \]
¿Qué opinas del razonamiento de Roy? ¿Tiene sentido? ¿Cómo explicaría Roy la regla general para números
enteros positivos?
\[\frac{xa}{xb} = \frac{a}{b} ? \nonumber \]