4.7: Dividir fracciones- Significado

Dividir fracciones es una de las ideas más difíciles en las matemáticas de la escuela primaria. A estas alturas, estás acostumbrado a la regla: dividir por una fracción, multiplicar por su recíproco. (“invertir y multiplicar”). Pero pregúntate: ¿Por qué funciona esta regla? ¿Realmente tiene sentido para ti? ¿Puedes explicarle por qué tiene sentido a un alumno de tercer grado?

Vamos a construir hasta la regla de “invertir y multiplicar”, pero en el camino, encontraremos algunas formas más significativas de entender la división de fracciones. Entonces, por favor, sigue adelante: finge que no conoces ya la regla de “invertir y multiplicar”, y resuelve los problemas de este capítulo con otros métodos.

Grupos de igual tamaño

Recuerde el modelo citativo para la división:\(18 \div 3\) significa:

¿Cuántos grupos de 3 puedo encontrar en 18?

Comenzamos con 18 puntos (o barras de caramelo o moléculas), y hacemos grupos de 3 puntos (o 3 lo que sea). Nos preguntamos: ¿cuántos grupos podemos hacer?

18 puntos, divididos en grupos de 3 puntos. Ya que hay 6 grupos, tenemos 18:3 = 6.

Esta misma idea se aplica cuando dividimos fracciones. Por ejemplo,\(6 \div 23\) significa:

¿Cuántos grupos de\(\frac{2}{3}\) puedo encontrar en 6?

Ejemplo: 6 ÷ 2/3

Hagamos un dibujo de 6 tartas, y veamos cuántos grupos de\(\frac{2}{3}\) podemos encontrar:

Encontramos nueve grupos iguales de tamaño\(\frac{2}{3}\), por lo que concluimos que\[6 \div \frac{2}{3} = 9 \ldotp \nonumber \]

Desafortunadamente, no siempre es tan sencillo encontrar a los grupos iguales. Por ejemplo,\(\frac{3}{4} \div \frac{1}{3}\) hace la pregunta:

¿Cuántos grupos de\(\frac{1}{3}\) puedo encontrar en\(\frac{3}{4}\)?

Ejemplo: 3/4 ÷ 1/3

Hagamos un dibujo\(\frac{3}{4}\) de un pastel, y veamos cuántos grupos de\(\frac{1}{3}\) podemos encontrar:

Las primeras imágenes muestran\(\frac{3}{4}\) de un pastel. La segunda imagen muestra dos grupos iguales de\(\frac{1}{3}\) dentro de\(\frac{3}{4}\), pero hay un poco sobrante. Concluimos $$\ frac {3} {4}\ div\ frac {1} {3} = 2 +\ text {un poquito más}\ ldotp$$pero ¿cuánto más? ¿Podemos averiguarlo exactamente?

Aquí hay un método que te permitirá hacer el cálculo exactamente. Usaremos tartas rectangulares, y las dividiremos en filas y columnas en función de los denominadores de los números que estamos dividiendo.

Ejemplo: 3/4 ÷ 1/3

Comienza dibujando dos rectángulos idénticos, cada uno con 4 filas (del denominador de\(\frac{3}{4}\) y 3 columnas (del denominador de\(\frac{1}{3}\)).

Sombra\(\frac{3}{4}\) del primer rectángulo (esto es exactamente tres filas), y sombra\(\frac{1}{3}\) del segundo rectángulo (así que esa es una columna).

Ahora pregunta: ¿cuántos ejemplares de\(\frac{1}{3}\) puedo encontrar en\(\frac{3}{4}\)? Bueno,\(\frac{1}{3}\) es igual a cuatro de los cuadrados más pequeños. Entonces encontramos grupos iguales a eso:

En la imagen de\(\frac{3}{4}\), podemos encontrar:

• dos grupos de cuatro cuadrados (dos grupos de\(\frac{1}{3}\)), y
• un cuadrado sobrante, que es\(\frac{1}{4}\) del grupo que estamos buscando.

Concluimos:\[\frac{3}{4} \div \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{4} \ldotp \nonumber \]

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Utilice cualquiera de los métodos anteriores para encontrar los siguientes cocientes. Recuerda, finge que no conoces ningún método para dividir fracciones excepto encontrar grupos de igual tamaño.

\[\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} \qquad \frac{1}{3} \div \frac{1}{2} \qquad \frac{4}{9} \div \frac{1}{3} \qquad \frac{4}{5} \div \frac{1}{3} \qquad \frac{3}{5} \div \frac{3}{4} \qquad \frac{3}{2} \div \frac{1}{2} \qquad \frac{2}{3} \div \frac{1}{2} \nonumber \]

Método del denominador común

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Resuelve cada uno de los siguientes problemas de división de fracciones usando el método “groups of equal size”: $$\ frac {6} {4}\ div\ frac {3} {4}\ qquad\ frac {6} {10}\ div\ frac {3} {10}\ qquad\ frac {8} {9}\ div\ frac {4} {9}\ qquad\ frac {6} {33}\ div\ frac {2} {33}\ qquad\ frac {5} {4}\ div\ frac {2} {4}\ qquad\ frac {5} {2}\ div\ frac {2} {2}\ qquad\ frac {5} {10}\ div\ frac {2} {10} $ $ ¿Qué notas?

Esto lleva a nuestro primer método de división de fracciones:

Método del denominador común

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, entonces cuando las divides, solo puedes dividir los numeradores. En símbolos,\[\frac{a}{d} \div \frac{b}{d} = \frac{a}{b} \ldotp \nonumber \]

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• Usa el método del denominador común para encontrar estos cocientes: $$\ frac {1} {3}\ div\ frac {2} {3},\ qquad\ frac {5} {8}\ div\ frac {3} {8},\ qquad\ frac {3} {8}\ div\ frac {5} {8},\ qquad\ frac {15} {33}\ div\ frac {1} {33}, $$
• ¿Y si las fracciones no tienen un denominador común? ¿El método es inútil, o puedes encontrar la manera de hacerlo funcionar? ¿Puedes resolver estos problemas? $$\ frac {3} {5}\ div\ frac {3} {4},\ qquad\ frac {3} {4}\ div\ frac {8} {7},\ qquad\ frac {2} {3}\ div\ frac {1} {2},\ qquad\ frac {5} {8}\ div\ frac {1} {4} ldotp$$

Método de factor faltante

Sabemos que siempre podemos convertir un problema de división en un problema de multiplicación de “factor faltante”. ¿Eso nos puede ayudar a calcular la división de fracciones? ¡A veces!

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Para cada problema de división, reescribirlo como una pregunta de multiplicación de factores faltantes. Entonces encuentra el cociente usando lo que sabes sobre multiplicar fracciones.

\[\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}, \qquad \frac{7}{8} \div \frac{1}{4}, \qquad \frac{6}{7} \div \frac{3}{7}, \qquad \frac{10}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{25}{12} \div \frac{5}{6} \ldotp \nonumber \]

Desafortunadamente, el método del factor faltante no siempre funciona tan bien. Por ejemplo,

\[\frac{3}{4} \div \frac{1}{3} = \_\_ \nonumber \]

se puede reescribir como

\[\frac{1}{3} \cdot \_\_ = \frac{3}{4} \ldotp \nonumber \]

No hay una buena proporción de números enteros que obviamente llene el espacio en blanco, pero volveremos a esta idea y la resolveremos pronto.