4.8: Dividir fracciones- Invertir y Multiplicar
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\[\frac{3}{4} \div \frac{1}{3} = \_\_ \nonumber \]
se puede reescribir como
\[\frac{1}{3} \cdot \_\_ = \frac{3}{4} \ldotp \nonumber \]
Quieres preguntar:
- Para el numerador:\(1 \cdot \_\_ = 3\). Podemos rellenar el espacio en blanco con un 3.
- Para el denominador:\(3 \cdot \_\_ = 4\). Podemos rellenar el espacio en blanco con\(\frac{4}{3}\). (¿Por qué funciona eso?)
Así que tenemos:\[\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \ldotp \nonumber \]
Aprendiste sobre fracciones como\[\frac{3}{\frac{4}{3}} \nonumber \]
de vuelta en el “¿Qué es una Fracción?” capítulo. Esto significa que cada uno\(\frac{4}{3}\) de un niño recibe 3 tartas. Entonces, ¿cuánto obtiene un niño individual (un niño completo)? Podrías dibujar un cuadro que te ayude a resolverlo. Pero también podemos usar la regla de la fracción clave para ayudarnos.
\[\frac{3}{\frac{4}{3}} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{9}{4} \ldotp \nonumber \]
Este proceso va a ser clave para entender por qué la regla de “invertir y multiplicar” para la división de fracciones realmente tiene sentido.
Simplifica una Fracción Fea
\(7 \frac{2}{3}\)los pasteles son compartidos por igual por\(5 \frac{1}{4}\) los niños. ¿Cuánto pastel recibe cada niño?
Técnicamente, podríamos simplemente anotar la respuesta como $$\ frac {7\ frac {2} {3}} {5\ frac {1} {4}} $$y ¡listo! La respuesta es equivalente a esta fracción, entonces ¿por qué no?
¿Hay alguna manera de hacer que esto se vea más amigable? Bueno, si cambiamos esos números mixtos a fracciones “impropias”, ayuda un poco:
\[\frac{7 \frac{2}{3}}{5 \frac{1}{4}} = \frac{\frac{23}{3}}{\frac{21}{4}} \nonumber \]
Eso es un poco mejor, pero aún no está claro cuánto pastel recibe cada niño. Usemos la regla de la fracción clave para que la fracción sea aún más amigable. Multipliquemos el numerador y denominador cada uno por 3. (¿Por qué tres?) Recuerda, esto significa que estamos multiplicando la fracción por\(\frac{3}{3}\), que es solo una forma especial de 1, así que no cambiamos su valor.
\[\frac{3 \cdot \frac{23}{3}}{3 \cdot \frac{21}{4}} = \frac{23}{\frac{63}{4}} \ldotp \nonumber \]
Ahora multiplicar numerador y denominador cada uno por 4. (¿Por qué cuatro?)
\[\frac{4 \cdot 23}{4 \cdot \frac{63}{4}} = \frac{92}{63} \ldotp \nonumber \]
Ahora vemos que la respuesta es\(\frac{92}{63}\). Eso significa que compartir\(7 \frac{2}{3}\) pasteles entre\(5 \frac{1}{4}\) niños es lo mismo que compartir 92 pasteles entre 63 niños. (En ambas situaciones, el niño individual recibe exactamente la misma cantidad de pastel).
Olvidemos el contexto ahora y solo centrémonos en los cálculos para que podamos ver lo que está pasando con mayor claridad. Prueba este:
\[\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{3}} \ldotp \nonumber \]
Multiplicando el numerador y denominador cada uno por 5 (¿por qué elegimos 5?) da
\[\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{5 \cdot \frac{3}{5}}{5 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{10}{3}} \ldotp \nonumber \]
Ahora multiplique el numerador y el denominador cada uno por 3 (¿por qué elegimos 3?) :
\[\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot \frac{10}{3}} = \frac{9}{10} \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
- Cada una de las siguientes es una fracción perfectamente agradable, pero podría escribirse de una forma más simple. ¡Así que haz eso! Escribe cada uno de ellos de una forma más simple siguiendo los ejemplos anteriores. $$\ frac {\ frac {2} {3}} {\ frac {1} {3}},\ qquad\ frac {2\ frac {1} {5}} {2\ frac {1} {4}},\ qquad\ frac {5} {7}} {\ frac {3} {5}},\ qquad\ frac {5}\ frac {3} {7}} {\ frac {4} {5}}\ ldotp$$
- Jessica calculó el segundo ejercicio por encima de esta manera: $$\ frac {2\ frac {1} {5}} {2\ frac {1} {4}} =\ frac {\ frac {1} {5}} {\ frac {1} {4}} =\ frac {\ frac {1} {5}\ cdot 4} {\ frac {1} {4}\ punto 4} =\ frac {\ frac {4} {5}} {1} =\ frac {4} {5}\ ldotp$$ ¿Su solución es correcta, o está malentendiendo algo? Explique cuidadosamente qué está pasando con su solución, y qué harías como maestra de Jessica.
- Isaac calculó el último ejercicio por encima de esta manera: $$\ frac {\ frac {3} {7}} {\ frac {4} {5}} =\ frac {\ frac {3} {7}\ cdot 7} {\ frac {4} {5}\ cdot 5} =\ misfrac {3} {4}\ ldotP$$es su solución correcta, o es él ¿Entender algo? Explique cuidadosamente qué está pasando con su solución, y qué harías como maestro de Isaac.
Quizás sin darte cuenta, acabas de encontrar otro método para dividir fracciones.
Considerar\(\frac{3}{5} \div \frac{4}{7}\). Sabemos que una fracción es la respuesta a un problema de división, es decir
\[\frac{3}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{7}} \ldotp \nonumber \]
¡Y ahora sabemos simplificar fracciones feas como esta! Multiplica el numerador y el denominador cada uno por 5:
\[\frac{(\frac{3}{5}) \cdot 5}{(\frac{4}{7}) \cdot 5} = \frac{3}{\frac{20}{7}} \ldotp \nonumber \]
Ahora multiplíquelos cada uno por 7:
\[\frac{(3) \cdot 7}{(\frac{20}{7}) \cdot 7} = \frac{21}{20} \ldotp \nonumber \]
¡Hecho! Entonces
\[\frac{3}{5} \div \frac{4}{7} = \frac{21}{20} \ldotp \nonumber \]
¡Hagamos otro! Considerar\(\frac{5}{9} \div \frac{8}{11}\):
\[\frac{5}{9} \div \frac{8}{11} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{11}} \ldotp \nonumber \]
Multipliquemos el numerador y denominador cada uno por 9 y por 11 al mismo tiempo. (¿Por qué no?)
\[\frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{11}} = \frac{(\frac{5}{9}) \cdot 9 \cdot 11}{(\frac{8}{11}) \cdot 9 \cdot 11} = \frac{5 \cdot 11}{8 \cdot 9} \ldotp \nonumber \]
(¿Ves lo que pasó aquí?)
Así que tenemos
\[\frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{11}} = \frac{5 \cdot 11}{8 \cdot 9} = \frac{55}{72} \ldotp \nonumber \]
Por su cuenta
Calcule cada uno de los siguientes, utilizando la técnica de simplificación en los ejemplos anteriores.
\[\frac{1}{2} \div \frac{1}{3}, \qquad \frac{4}{5} \div \frac{3}{7}, \qquad \frac{2}{3} \div \frac{1}{5}, \qquad \frac{45}{59} \div \frac{902}{902}, \qquad \frac{10}{13} \div \frac{2}{13} \ldotp \nonumber \]
Invertir y multiplicar
Considera el problema\(\frac{5}{12} \div \frac{7}{11}\). Janine Escribió:
\[\frac{\frac{5}{12}}{\frac{7}{11}} = \frac{\frac{5}{12} \cdot 12 \cdot 11}{\frac{7}{11} \cdot 12 \cdot 11} = \frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 12} = \frac{5}{12} \cdot \frac{11}{7} \ldotp \nonumber \]
Se detuvo antes de completar su paso final y exclamó: “¡Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción con la segunda fracción al revés!”
Primero revisa aquí cada paso del trabajo de Janine y asegúrate de que esté en lo correcto en lo que hizo hasta este momento. Entonces contesta estas preguntas:
- ¿Entiendes lo que dice Janine? Explícalo muy claramente.
- Hacer ejercicio\(\frac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{13}}\) utilizando el método de simplificación. ¿La respuesta es la misma que\(\frac{3}{7} \cdot \frac{13}{4}\)?
- Hacer ejercicio\(\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{10}}\) utilizando el método de simplificación. ¿La respuesta es la misma que\(\frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3}\)?
- Hacer ejercicio\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\) utilizando el método de simplificación. ¿La respuesta es la misma que\(\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\)?
- ¿Janine tiene razón? ¿Dividir dos fracciones es siempre lo mismo que multiplicar las dos fracciones con la segunda al revés? ¿Qué opinas? (No se limite a pensar en ejemplos. Esta es una pregunta si algo siempre es cierto.)
Resumen
Ahora tenemos varios métodos para resolver problemas que requieren dividir fracciones:
- Dibuja un dibujo usando el método del rectángulo, y úsalo para resolver el problema de división.
- Encuentra un denominador común y divide los numeradores.
- Reescribir la división como un problema de multiplicación de factores faltantes, y resolver ese problema.
- Simplifica una fracción fea.
- Invertir la segunda fracción (el dividendo) y luego multiplicar.
Discuta sus opiniones sobre nuestros cuatro métodos para resolver problemas de división de fracciones con un socio:
- ¿Qué método de división de fracciones es el más fácil de entender por qué funciona?
- ¿Qué método de división de fracciones es el más fácil de usar en cálculos?
- ¿Cuáles son los beneficios e inconvenientes de cada método? (Piense tanto como un futuro maestro como como alguien que resuelve problemas de matemáticas aquí.)