4.10: Fracciones que implican cero
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¿Tiene\(\frac{0}{11}\) sentido la fracción?
- Escribe un cuento de “tartas por niño” para la fracción\(\frac{0}{11}\). ¿Tiene sentido? ¿Cuánto pastel recibe cada niño en su historia?
- Piense en\(\frac{0}{11}\) como la respuesta a un problema de división. ¿Cuál es ese problema de división? ¿Puedes resolverlo?
Parece bastante claro que cero pasteles entre once niños da cero pasteles por niño:
\[\frac{0}{11} = 0 \ldotp \nonumber \]
El mismo razonamiento nos llevaría a decir:
\[\frac{0}{b} = 0\; \text{for any positive number}\; b \ldotp \nonumber \]
El “Modelo Pies Por Niño” ofrece una explicación: Si no hay tartas para que compartamos, nadie obtiene pastel alguno. No importa cuántos niños haya. No pastel no es pastel no es pastel.
También podemos justificar esta afirmación pensando en un problema de multiplicación de factores faltantes:
\[\frac{0}{b}\; \text{is asking us to fill in the blank} :\; \_\_ \cdot \; b = 0 \ldotp \nonumber \]
La única manera de rellenar eso y hacer una declaración verdadera es con 0, entonces\(\frac{0}{b} = 0\).
Cero en el Denominador
¿Qué pasa si las cosas se dan la vuelta al revés?
¿Tiene\(\frac{11}{0}\) sentido la fracción?
- Escribe un cuento de “tartas por niño” para la fracción\(\frac{11}{0}\). ¿Tiene sentido? ¿Cuánto pastel recibe cada niño en su historia?
- Piense en\(\frac{11}{0}\) como la respuesta a un problema de división. ¿Cuál es ese problema de división? ¿Puedes resolverlo?
Los alumnos suelen aprender en la escuela que “dividir por 0 es indefinido”. Pero aprenden esto por regla general, en lugar de pensar por qué tiene sentido o cómo se conecta con otras ideas en matemáticas. En este caso, la conexión más natural es con un hecho de multiplicación, la propiedad cero para la multiplicación:
\[\text{any number} \cdot 0 = 0 \ldotp \nonumber \]
Eso dice que nunca podremos encontrar soluciones a problemas como
\[\_\_ \cdot 0 = 5, \qquad \_\_ \cdot 0 = 17, \qquad \_\_ \cdot 0 = 1 \ldotp \nonumber \]
Usando la conexión entre fracciones y división, y la conexión entre división y multiplicación, eso significa que no hay número\(\frac{5}{0}\). No hay número\(\frac{17}{0}\). Y no hay número\(\frac{1}{0}\). Todos son “indefinidos” porque no son iguales a ningún número en absoluto.
¿Podemos darle sentido al\(\frac{0}{0}\) menos? Después de todo, ¡aparecería un cero en ambos lados de esa ecuación!
- Cyril dice que\(\frac{0}{0} = 2\) desde\(0 \cdot 2 = 0\).
- Ethel dice que\(\frac{0}{0} = 17\) desde\(0 \cdot 17 = 0\).
- Wonhi dice que\(\frac{0}{0} = 887231243\) desde\(0 \cdot 887231243 = 0\).
¿Quién tiene razón? ¿Pueden estar todos en lo correcto? ¿Qué opinas?
Cyril dice eso\(\frac{0}{0} = 2\), y cree que tiene razón porque pasa el cheque:\(0 \cdot 2 = 0\).
Pero 17 también pasa el cheque, y también lo hace 887231243. De hecho, puedo elegir cualquier número para x, ¡y\(0 \cdot x = 0\) pasaré el cheque!
El problema con la expresión\(\frac{a}{0}\) (sin cero) es que
no hay ningún valor significativo para asignarle. El problema con\(\frac{0}{0}\) es diferente: ¡Hay demasiados valores posibles para darle!
¡Dividir por cero es simplemente demasiado problemático para hacerlo! Lo mejor es evitar hacerlo y nunca vamos a permitir que el cero sea el denominador de una fracción. (Pero todo está bien con 0 como numerador.)