4.12: Fracciones egipcias
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Supongamos que tomamos esta tarea como un problema muy práctico. Aquí están las siete tartas:
¿Es posible darle a cada uno de los niños un pastel completo? No.
¿Qué tal la siguiente mejor opción: ¿cada niño puede obtener medio pastel? ¡Sí! Ciertamente hay 12 medias tartas para repartir. También queda un pastel aún por compartir entre los 12 niños. Divide esto en doceavos y entrega a cada niño una pieza extra.
Así que cada niño obtiene\(\frac{1}{2} + \frac{1}{12}\) de un pastel, y de hecho es cierto que
\[\frac{7}{12} = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \ldotp \nonumber \]
(Comprueba ese cálculo... ¡no lo creas solo!)
Esto parece bastante razonable. En lugar de siete piezas cada una de tamaño\(\frac{1}{12}\), cada niño recibe una pieza que es\(\frac{1}{2}\) y una pieza que es\(\frac{1}{12}\). Es mucho menos corte, ¡y mucho menos desordenado!
1. Supongamos que quiere compartir cinco pasteles entre seis niños, pero quiere que cada niño obtenga una pequeña cantidad de piezas (relativamente) grandes en lugar de cinco piezas de tamaño\(\frac{1}{6}\). Siguiendo el ejemplo anterior, ¿cómo podrías hacerlo?
- Usando ideas similares, ¿cómo podrías compartir 4 pasteles entre 7 niños?
Historia: Papiro Rród
Los egipcios (probablemente) no estaban particularmente preocupados por dividir los pasteles. Pero de hecho, sí tenían una forma muy extraña (para nosotros) de expresar fracciones. Esto lo sabemos al examinar el Papiro Rhindi. Este antiguo documento indica que las fracciones estaban en uso hasta hace cuatro mil años en Egipto, pero los egipcios parecen haber trabajado principalmente con fracciones unitarias. Insistieron en escribir todas sus fracciones como sumas de fracciones con numeradores iguales a 1, e insistieron en que los denominadores de las fracciones eran todos diferentes.
Preciso ajuste de cuentas para indagar en las cosas, y el conocimiento de todas las cosas, misterios... todos los secretos.
El papiro Rhin es un antiguo relato de las matemáticas egipcias que lleva el nombre de Alexander Henry Rhin. Rback fue un escocés que adquirió el antiguo papiro en 1858 en Luxor, Egipto.
El papiro data de alrededor de 1650 a.C. Fue copiado por un escriba llamado Ahmes (¡el primer contribuyente conocido en el campo de las matemáticas!) de un texto perdido escrito durante el reinado del rey Amenehat III. La cita de apertura está tomada de Ahmes introducción al papiro Rhin [1]. El papiro abarca temas relacionados con fracciones, volumen, área, pirámides y más.
Papiro Rróg
Fracciones egipcias
Para escribir una fracción como fracción egipcia, debes reescribir la fracción como:
- una suma de fracciones unitarias (es decir, el numerador es 1), y
- los denominadores deben ser todos diferentes.
Los egipcios no escribirían\(\frac{3}{10}\), y ni siquiera escribirían\(\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10}\). En cambio, escribieron
\[\frac{1}{4} + \frac{1}{20} \ldotp \nonumber \]
Los egipcios no escribirían\(\frac{5}{7}\), y ni siquiera escribirían\(\frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7}\). En cambio, escribieron
\[\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{70} \ldotp \nonumber \]
(¡Debe verificar que las sumas anteriores den las fracciones resultantes correctas!)
Escribe lo siguiente como una suma de dos fracciones unitarias distintas. Asegúrate de revisar tus respuestas.
\[\frac{2}{3}, \qquad \frac{2}{5}, \qquad \frac{2}{7}, \qquad \frac{2}{9} \ldotp \nonumber \]
¿Puedes encontrar una regla general sobre cómo escribir\(\frac{2}{n}\) como fracción egipcia? (Supongamos que
es un número impar.)
Escribe lo siguiente como una suma de fracciones unitarias distintas. (“Distinto” significa que las fracciones deben tener diferentes denominadores.) Tenga en cuenta que es posible que necesite usar más de dos fracciones unitarias en algunas de las sumas. Asegúrate de revisar tus respuestas.
\[\frac{3}{4}, \qquad \frac{5}{6}, \qquad \frac{3}{5}, \qquad \frac{5}{9} \ldotp \nonumber \]
¿Se puede encontrar un proceso general para fracciones mayores que\(\frac{1}{2}\)?
Escribe las siguientes fracciones como fracciones egipcias.
\[\frac{17}{20}, \qquad \frac{3}{7} \ldotp \nonumber \]
¿Se puede encontrar un algoritmo general que convierta cualquier fracción en una fracción egipcia?
- Imagen de Papiro Rhinchada de Wikimedia Commons, dominio público.