4.2: Crecimiento Exponencial
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Una cantidad crece exponencialmente si crece por un factor o tasa constante por cada unidad de tiempo.
En esta gráfica, la línea recta azul representa el crecimiento lineal y la línea curva roja representa el crecimiento exponencial.
Una ciudad crece a una tasa de 1.6% anual. La población inicial en 2010 es\(P_{0} = 125,000\). Calcular la población de la ciudad en los próximos años.
Solución
La tasa de crecimiento relativo es de 1.6%. Esto significa que se agrega un 1.6% adicional al 100% de la población que ya existe cada año. Esto es un factor de 101.6%.
- Población en 2011\[125,000(1.016)^{1} = 127,000 \nonumber \]
- Población en 2012\[127,000(1.016) = 125,000(1.016)^{2} = 129,032 \nonumber \]
- Población en 2013\[129,032(1.016) = 125,000(1.016)^{3} = 131,097 \nonumber \]
Podemos crear una ecuación para el crecimiento de la ciudad. Cada año la población es 101.6% más que el año anterior.
\[P(t) = 125,000(1+0.016)^{t} \nonumber \]
Nota: La gráfica del crecimiento de la ciudad sigue un modelo de crecimiento exponencial
St. Louis, Missouri, ha disminuido su población a una tasa de 1.6% anual en los últimos 60 años. La población en 1950 era de 857.000 habitantes. Encuentra la población en 2014. (Wikipedia, n.d.)
Solución
\(P_{0} = 857,000\)
La tasa de crecimiento relativo es de 1.6%. Esto significa que 1.6% de la población se resta del 100% de la población que ya existe cada año. Esto es un factor de 98.4%.
- Población en 1951\[857,000(0.984)^{1} = 843,288\nonumber \]
- Población en 1952\[843,228(0.984) = 857,000(0.984)^{2} = 829,795\nonumber \]
- Población en 1953\[828,795(0.984) = 857,000(0.984)^{3} = 816,519\nonumber \]
Podemos crear una ecuación para el crecimiento de la ciudad. Cada año la población es 1.6% menos que el año anterior.
\[P(t) = 857,000(1-0.016)^{t} \nonumber \]
Entonces la población de St. Louis Missouri en 2014, cuando\(t = 64\), es:
\[\begin{align*} P(64) &= 857,000(1-0.016)^{64} \\[4pt] &=857,000(0.984)^{64} \\[4pt] &= 305,258 \end{align*} \nonumber \]
Nota: La gráfica de la población de St. Louis, Missouri a lo largo del tiempo sigue un modelo de crecimiento exponencial decreciente.
\(\begin{align*}&P_{0} \text{ is the initial population.} \\[4pt]&r \text{ is the relative growth rate}. \\[4pt]&t \text{ is the time unit.} \\[4pt]&r \text{ is the positive if the population is increasing and negative if the population is decreasing.} \end{align*}\)
La tasa de inflación promedio del dólar estadounidense en los últimos cinco años es de 1.7% anual. Si un auto nuevo costara $18,000 hace cinco años, ¿cuánto costaría hoy? (Calculadora de Inflación de Estados Unidos, n.d.)
Solución
Para resolver este problema, utilizamos el modelo de crecimiento exponencial con r = 1 .7%.
\(P_{0} = 18,000\)y\(t=5\)
\[\begin{align*}P(t) &= 18,000(1+0.017)^{t} \\[4pt] P(5) &= 18,000(1+0.017)^{5} = 19,582.91 \end{align*} \nonumber \]
Este auto costaría\($19,582.91\) hoy.
En mayo de 2014 hubo 15 casos de ébola en Sierra Leona. Para agosto, había 850 casos. Si el virus se está propagando al mismo ritmo (crecimiento exponencial), ¿cuántos casos habrá en febrero de 2015? (McKenna, 2014)
Solución
Para resolver este problema, tenemos que encontrar tres cosas; la tasa de crecimiento mensual, el modelo de crecimiento exponencial y el número de casos de ébola en febrero de 2015. Primero calcula la tasa de crecimiento mensual. Para ello, utilice la población inicial\(P_{0} = 15\), en mayo de 2014. También, en agosto, tres meses después, el número de casos fue de 850 así que,\(P(3) = 850\).
Utilice estos valores y el modelo de crecimiento exponencial para resolver\(r\).
\[\begin{align*}P(t) &= P{0}(1+r)^{t} \\[4pt] 850 &= 15(1+r)^{3} \\[4pt] 56.67 &= (1+r)^{3} \\[4pt] \sqrt[3]{56.67} &= \sqrt[3]{(1+r)^{3}} \\[4pt] 3.84 &= 1+r \\[4pt] 2.84 &= r \end{align*} \nonumber \]
La tasa de crecimiento es de 284% mensual. Así, el modelo de crecimiento exponencial es:
\[P(t)=15(1+2.84)^{t} = 15(3.84)^{t} \nonumber \]
Ahora, usamos esto para calcular el número de casos de ébola en Sierra Leona en febrero de 2015, que es 9 meses después del brote inicial así que,\(t=9\)
\[P(9)= 15(3.84)^{9} = 2,725,250 \nonumber \]
Si esta misma tasa de crecimiento exponencial continúa, el número de casos de ébola en Sierra Leona en febrero de 2015 sería de 2,725,250.
Esta es una predicción sombría para la comunidad de Sierra Leona. Afortunadamente, la tasa de crecimiento de este virus mortal debería ser reducida por la comunidad mundial y la Organización Mundial de la Salud al proporcionar los medios necesarios para combatir la propagación inicial.
Nota: La gráfica del número de posibles casos de ébola en Sierra Leona a lo largo del tiempo sigue un modelo de crecimiento exponencial creciente.
Según un nuevo pronóstico, la población de Puerto Rico está en declive. Si la población en 2010 es de 3 mil 978,000 y la predicción para la población en 2050 es de 3 mil 697.000, encuentre la tasa anual de disminución porcentual. (Bloomberg Businessweek, n.d.)
Solución
Para resolver este problema utilizamos el modelo de crecimiento exponencial. Tenemos que resolver para r.
\[\begin{align*}P(t) &= P_{0}(1+r)^{t} \text{where } t = 40 \text{ years}\\[4pt] P(40) &= 3,697,000 \text{and} P_{0} = 3,978,000 \\[4pt] 3,697,000 &= 3,978,000(1+r)^{40} \\[4pt] 0.92936 &= (1+r)^{40} \\[4pt] \sqrt[40]{0.92936} &= \sqrt[40]{(1+r)^{40}} \\[4pt] 0.99817 &= 1+r \\[4pt] -0.0018 &= r \end{align*} \nonumber \]
La disminución porcentual anual es de 0.18%.