5.2: Apoyos y Presentaciones

Así como los diagramas de cableado para prepedidos monoidales simétricos no requerían etiquetas en las cajas, esto significa que los diagramas de cableado para accesorios no requieren etiquetas en los cables. Esto hace que los apoyos sean particularmente adecuados para describir formalismos diagramáticos como gráficos de flujo de señal, que solo tienen cables de un solo tipo.

Finalmente, muchos sistemas se comportan de lo que se llama una forma lineal, y los sistemas lineales forman una parte fundamental de la teoría del control, una rama de la ingeniería que trabaja en sistemas ciberfísicos. Del mismo modo, el álgebra lineal es una parte fundamental de las matemáticas modernas, tanto puras como aplicadas, que incluye no sólo la teoría del control, sino también la práctica de la computación, la física, la estadística y muchos otros. Al analizar los gráficos de flujo de señal, veremos que de hecho son una forma de refundir álgebra lineal, más específicamente, operaciones matriciales en términos gráficos. De manera más formal, diremos que las gráficas de flujo de señal tienen semántica funcionaria como matrices.

Props: definición y primeros ejemplos

Recordemos la definición de categoría monoidal estricta simétrica de Definición 4.45 y Re- marca 4.46.

Definición: 5.2.

Un prop es una categoría monoidal estricta simétrica (C,0, +) para la cual Ob (C) =\(\mathbb{N}\), la unidad monoidal es 0\(\in\)\(\mathbb{N}\), y el producto monoidal en los objetos viene dado por adición.

Tenga en cuenta que cada objeto n es el producto monoidal n veces del objeto 1; llamamos a 1 el objeto generador. Dado que los objetos de un prop son siempre los números naturales, para especificar un prop P es suficiente especificar cinco cosas:

1. un conjunto C (m, n) de morfismos m → n, para m, n\(\in\)\(\mathbb{N}\).
2. para todos n\(\in\)\(\mathbb{N}\), un mapa de identidad id n: n → n.
3. para todos m, n\(\in\)\(\mathbb{N}\), un mapa de simetría σ\(_{m,n}\): m + n → n + m.
4. una regla de composición: dada f: m → n y g: n → p, un mapa (f; g): m → p.
5. un producto monoidal sobre morfismos: dado f: m → m ′ y g: n → n ′, un mapa (f + g): m + n → m ′ + n ′.

Una vez que se especifican los datos anteriores, deberá verificar que sus especificaciones cumplan con las reglas de categorías monoidales simétricas (ver Definición 4.45). \(^{2}\)

Ejemplo 5.3.

Hay un prop finSet donde los morfismos f: m → n son funciones de\(\underline{m}\) = {1,. m} a\(\underline{n}\) = {1,.., n}. (Las identidades, simetrías y regla de composición son obvias.)

El producto monoidal sobre las funciones viene dado por la unión disjunta de funciones: es decir, dada f: m → m ′ y g: n → n ′,

definimos f + g: m + n → m ′ + n ′ por

Ejercicio 5.5.

En el Ejemplo 5.3 dijimos que las identidades, simetrías y regla de composición en FinSet “son obvias”. En la jerga matemática, esto solo significa “confiamos en que el lector pueda resolverlas, si pasa el tiempo rastreando las definiciones y encajándolas”.

1. Dibuja un morfismo f: 3 → 2 y un morfismo g: 2 → 4 en FinSet.
2. Empate f + g.
3. ¿Cuál es la regla de composición para los morfismos f: m → n y g: n → p en FinSet? 4. ¿Cuáles son las identidades en FinSet? Dibuja algunos.
5. Elige m, n\(\in\)\(\mathbb{N}\), y dibuja el mapa de simetría σ\(_{m,n}\) en FinSet? ♦

Ejemplo 5.6.

Recordemos de la Definición 1.22 que una biyección es una función que es tanto suryectiva como inyectiva. Hay un puntal Bij donde los morfismos f: m → n son bijecciones\(\underline{m}\) →\(\underline{n}\).

Tenga en cuenta que en este caso los morfismos m → n solo existen cuando m = n; cuando m\(\neq\) n el homset Bij (m, n) está vacío. Dado que Bij es una subcategoría de FinSet, podemos definir el producto monoidal para que sea como en la Ec. (5.4).

Ejemplo 5.7.

El compacto cerrado categoría Corel, en el que los morfismos f: m → n son particiones en\(\underline{m}\)\(\underline{n}\) (ver Ejemplo 4.61), es un puntal.

Ejemplo 5.8.

Hay un prop Rel para el cual los morfismos m → n son relaciones, R\(\subseteq\)\(\underline{m}\) ×\(\underline{n}\).

La composición de R con S\(\subseteq\)\(\underline{n}\) ×\(\underline{p}\) es

\(R \text { ; } S:=\{(i, k) \in \underline{m} \times p \mid \exists(j \in \underline{n}) \cdot(i, j) \in R \text { and }(j, k) \in S\}\)

El producto monoidal es relativamente fácil de formalizar usando propiedades universales, pero uno podría obtener una mejor intuición a partir de las imágenes:

Ejercicio 5.9.

Un prop posetal es un puntal que también es un poset. Es decir, un prop posetal es un preorden monoidal simétrico de la forma (\(\mathbb{N}\),), para alguna relación poset on\(\mathbb{N}\), donde el producto monoidal sobre los objetos es la adición. Hemos pasado mucho tiempo discutiendo estructuras de orden en los números naturales. Dé tres ejemplos de un prop posetal. ♦

Definición: 5.11.

Deje que C y D sean apoyos. Un functor F: C → D se llama un functor prop si

(a) F es la identidad de los objetos, es decir, F (n) = n para todos los n\(\in\) Ob (C) = Ob (D) =\(\mathbb{N}\), y

(b) para todos f: m\(_{1}\) → m\(_{2}\) y g: n\(_{1}\) → n\(_{2}\) en C, tenemos F (f) + F (g) = F (f + g) en D.

Ejemplo 5.12.

La inclusión i: Bij → FinSet es un funtor prop. Quizás más interesante, hay un functor prop F: FinSet → Rel\(_{Fin}\). Envía una función f: m → n a la relación F (f) := {(i, j) | f (i) = j}\(\subseteq\)\(\underline{m}\) ×\(\underline{n}\).

El apoyo de las gráficas portuarias

Un ejemplo importante de un apuntalamiento es aquel en el que los morfismos son gráficos de puertos abiertos, dirigidos, acíclicos, como definimos a continuación. Simplemente los llamaremos gráficos de puertos.

Definición: 5.13.

Para m, n\(\in\) N, una gráfica (m, n) -puerto (V, entrada, salida, i) se especifica por

1. un conjunto V, cuyos elementos se llaman vértices,
2. funciones entrada, salida: V →\(\mathbb{N}\), donde in (v) y out (v) se denominan el grado de entrada y salida de cada v\(\in\) V, y
3. a biyección i:\(\underline{m} \sqcup O \stackrel{\cong}{\rightarrow} I \sqcup \underline{n}, \text { where } I=\{(v, i) \mid v \in V, 1 \leq i \leq \operatorname{in}(v)\}\) es el conjunto de entradas de vértice, y O = {(v, i) | v\(\in\) V, 1 ≤ i ≤ out (v)} es el conjunto de salidas de vértice.

Estos datos deben obedecer la siguiente condición de aciclicidad. Primero, usa la biyección ι para construir la gráfica con vértices V y con una flecha\(e_{v, j}^{u, i}: u \rightarrow v\) por cada i, j\(\in\) N tal que ι (u, i) = (v, j); llámala la gráfica de flujo interno. Si el gráfico de flujo interno es acíclico es decir, si el único camino desde cualquier vértice v a sí mismo es el camino trivial entonces decimos que (V, in, out, ι) es una gráfica de puerto.

Esta parece una construcción bastante técnica, pero es bastante intuitiva una vez que la desempaquetas un poco. Hagamos esto.

Ejemplo 5.14.

Aquí hay un ejemplo de un gráfico de puerto (2, 3), es decir, con m = 2 y n = 3:

Dado que la gráfica de puertos tiene tipo (2, 3), dibujamos dos puertos en el lado izquierdo de la caja exterior, y tres a la derecha. El conjunto de vértices es V = {a, b, c} y, por ejemplo in (a) = 1 y out (a) = 3, así dibujamos un puerto en el lado izquierdo y tres puertos en el lado derecho de la caja etiquetados como a. La bijección es lo que nos dice cómo se conectan los puertos por cables:

El gráfico de flujo interno, que se puede ver es acíclico, se muestra a continuación:

Como puede adivinar a partir de (5.15), los gráficos de puertos están estrechamente relacionados con los diagramas de cableado para categorías monoidales, e incluso más estrechamente relacionados con los diagramas de cableado para accesorios.

Una categoría PG cuyos morfismos son gráficas portuarias. Dado un gráfico (m, n) -port (V, in, out, ι) y un gráfico (n, p) -port (V ′, in ′, out ′, ι′), podemos componerlos para producir un puerto (m, p) gráfico (V V ′, [in, in ′], [out, out ′], ι′′). Aquí [in, in ′] denota la función V V ′ → N que mapea elementos de V según in, y elementos de V ′ según in ′, y de manera similar para [out, out ′]. La bijección ι′′\(\underline{m}\): O O ′ → I I ′\(\underline{p}\) se define de la siguiente manera:

Ejercicio 5.16.

Describir cómo se ve la composición de la gráfica portuaria, con respecto a la representación visual del Ejemplo 5.14, y dar un ejemplo no trivial. ♦

Tenemos así una categoría PG, cuyos objetos son números naturales Ob (PG) =\(\mathbb{N}\), cuyos morfismos son gráficas de puertos PG (m, n) = {(V, in, out, ι) | como en la Definición 5.13}. La composición de las gráficas de puertos es la anterior, y la gráfica de puerto de identidad en n es la gráfica de puerto (n, n) (Ø,! ,! , id n), donde! : Ø →\(\mathbb{N}\) es la función única. La identidad en un objeto, digamos 3, se representa de la siguiente manera:

La estructura de la estructura monoidal en PG. Esta categoría PG es de hecho un prop. El producto monoidal de dos gráficas de puertos G: = (V, in, out, ι) y G ′: = (V ′, in ′, out ′, ι′) se da tomando la unión disjunta de ι y ι′:

\(G+G^{\prime}:=\left(\left(V \sqcup V^{\prime}\right),\left[\text { in }, \text { in }^{\prime}\right],\left[\text { out }, \text { out }^{\prime}\right],\left(\iota \sqcup \iota^{\prime}\right)\right)\)(5.17)

La unidad monoidal es (Ø,! ,! ,!).

Ejercicio 5.18.

Dibujar consigo mismo el producto monoidal del morfismo mostrado en la Ec. (5.15). Será una gráfica (4, 6) -port, es decir, un morfismo 4 → 6 en PG. ♦

Construcciones gratuitas y propiedades universales

Dado algún tipo de estructura categórica, como un preorden, una categoría o un prop, es útil poder construir uno de acuerdo con su propia especificación. (Esto no debería ser sorprendente.) La estructura mínima restringida que contiene todos los datos que especifique se llama estructura libre en su especificación: ¡está libre de restricciones innecesarias! Ya hemos visto algunos ejemplos de estructuras libres; vamos a recordarlas y explorarlas.

Ejemplo 5.19 (El preorden gratuito en una relación).

Para los pedidos anticipados, vimos la construcción de tomar el cierre reflexivo y transitivo de una relación. Es decir, dada una relación R\(\subseteq\) P × P, el cierre reflexivo y transitivo de R es el llamado preorden libre sobre R. En lugar de especificar todas las desigualdades en el preorden (P, ≤), podemos especificar solo algunas desigualdades p ≤ q, y dejar que nuestra “máquina de cierre” agregue el número mínimo de otras desigualdades necesarias para hacer de P un preorden. Para obtener un preorden de una gráfica, o diagrama de Hasse, consideramos el gráfico (V, A, s, t) como definiendo una relación {(s (a), t (a)) | a \(\in\)A}\(\subseteq\) V × V, y aplique esta máquina de cierre.
Pero, ¿en qué sentido es el cierre reflexivo y transitivo de una relación R\(\subseteq\) P × P realmente el preorden mínimo restringido que contiene R? Una forma de entender esto es que las igualdades adicionales no imponen más restricciones a la hora de definir un mapa monótona a partir de P. ¡Estamos reclamando que la libertad tiene algo que ver con los mapas fuera! Por extraño que parezca una asimetría aquí (uno podría preguntarse, “¿por qué no los mapas adentro?”) , el lector tendrá la oportunidad de explorarlo por sí misma en los Ejercicios 5.20 y 5.21.

Una justificación de nivel superior entiende la libertad como una izquierda colindante (ver Ejemplo 3.74), pero no vamos a discutir eso aquí.

Ejercicio 5.20.

Sea P un conjunto, que R\(\subseteq\) P × P sea una relación, que (P, ≤\(_{P}\)) sea el preorden obtenido tomando el cierre reflexivo y transitivo de R, y dejar que (Q, ≤\(_{Q}\)) sea un preorden arbitrario . Finalmente, que f: P → Q sea una función, no asumida monótona.

1. Supongamos que por cada x, y\(\in\) P, si R (x, y) entonces f (x) ≤ f (y). Mostrar que f define un mapa monótona f: (P, ≤\(_{P}\)) → (Q, ≤\(_{Q}\)).

2. Supongamos que f define un mapa monótona f: (P, ≤\(_{P}\)) → (Q, ≤\(_{Q}\)). Mostrar que por cada x, y\(\in\) P, si R (x, y) entonces f (x) ≤\(_{Q}\) f (y). A esto lo llamamos la propiedad universal del preorden gratuito (P, ≤\(_{P}\)) . ♦

Ejercicio 5.21.

Que P, Q, R, etc. sean como en el Ejercicio 5.20. Queremos ver que la propiedad universal se trata realmente de mapas fuera de y no mapas dentro del cierre reflexivo, transitivo (P, ≤). Así que deja que g: Q → P sea una función.

1. Supongamos que por cada a, b\(\in\) Q, si a ≤ b entonces (g (a), g (b))\(\in\) R. ¿Es automáticamente cierto que g define un mapa monótona g: (Q, ≤ Q) → (P, ≤ P)?

2. Supongamos que g define un mapa monótona g :( Q, ≤\(_{Q}\)) → (P, ≤\(_{P}\)).

¿Es automáticamente cierto que por cada a, b\(\in\) Q, si a ≤ b entonces (g (a), g (b))\(\in\) R?

La lección es que los mapas entre objetos estructurados se definen para preservar las restricciones. Esto significa que el dominio de un mapa debe estar de alguna manera más restringido que el codominio. Por lo tanto, tener la menor cantidad de restricciones adicionales coincide con tener la mayor cantidad de mapas, cada función que respete nuestras restricciones generadoras debe definir un mapa. ♦

Ejemplo 5.22 (La categoría libre en una gráfica).

Hay una historia similar para las categorías. En efecto, vimos en la Definición 3.7 la construcción de la categoría libre Libre (G) en una gráfica G. Los objetos de Libre (G) y los vértices de G son los mismos nada nuevo aquí sino los morfismos de Libre (G) no son solo las flechas de G porque los morfismos en una categoría tienen requisitos más estrictos: deben componer y debe haber una identidad. Así, los morfismos en Libre (G) son el cierre del conjunto de flechas en G bajo estas operaciones. Por suerte (aunque esto sucede a menudo en la teoría de categorías), el resultado resulta ya ser un concepto gráfico relevante: los morfismos en Libre (G) son exactamente los caminos en G. Entonces Libre (G) es una categoría que en cierto sentido contiene G y no obedece ninguna otra ecuación que las que las categorías se ven obligadas a obedecer. Solución

Agrega texto aquí.

Ejercicio 5.23.

Deje que G = (V, A, s, t) sea una gráfica, y deje que G sea la categoría libre en G. Sea C otra categoría cuyo conjunto de morfismos se denota Mor (C).

1. Alguien te dice que hay funciones de “dominio y codominio” dom, cod: Mor (C) → Ob (C); interpreta esta afirmación.

2. Mostrar que el conjunto de funtores G → C están en correspondencia uno a uno con el conjunto de pares de funciones (f, g), donde f: V → Ob (C) y g: A → Mor (C) para el cual dom (g (a)) = f (s (a)) y bacalao (g (a)) = f (t (a)) para todos a.

3. ¿Es (Mor (C), Ob (C), dom, cod) una gráfica? Si es así, vea si puede usar la palabra “adjunto” en una oración que describa la declaración en la parte 2. Si no, explica por qué no. ♦

Ejercicio 5.24 (El monoide libre en un set).

Recordemos del Ejemplo 3.13 que los monoides son categorías de un objeto. Para cualquier conjunto A, hay una gráfica Bucle (A) con un vértice y con una flecha desde el vértice a sí mismo para cada \(\in\)una a. Entonces, si A = {a, b} entonces Loop (A) se ve así:

La categoría libre en esta gráfica es una categoría de un objeto, y de ahí un monoide; se llama el monoide libre en A.

1. ¿Cuáles son los elementos del monoide libre en el conjunto A = {a}?

2. ¿Se puede encontrar un monoide conocido que sea isomórfico al monoide libre en {a}?

3. ¿Cuáles son los elementos del monoide libre en el conjunto A = {a, b}? ♦

El apoyo gratuito en una firma

Hemos estado discutiendo construcciones libres, en particular para preordenes y categorías. Existe una construcción similar para los accesorios. Como ya sabemos cuáles serán los objetos del prop —los números naturales— todo lo que necesitamos especificar es un conjunto G de generar morfismos, junto con las aridades,4 que queremos estar en nuestro prop. Esta información se llamará firma. Así como podemos generar la categoría libre a partir de una gráfica, también podemos generar el prop libre a partir de una firma.

Ahora damos una construcción explícita del prop libre en términos de gráficos portuarios (ver Definición 5.13).

Definición: 5.25.

Una firma prop es una tupla (G, s, t), donde G es un conjunto y s, t: G →\(\mathbb{N}\) son funciones; cada elemento \(\in\)g G se llama generador y s (g), t (g)\(\in\)\(\mathbb{N}\) se denominan su in-arity y out-arity. A menudo denotamos (G, s, t) simplemente por G, tomando s, t como implícito.

Un G -etiquetado de una gráfica de puertos γ = (V, in, out, ι) es una función l: V → G tal que las aridades coinciden: s (l (v)) = in (v) y t (l (v)) = out (v) por cada \(\in\)v V.

Definir el apuntalamiento libre en G, denotado Libre (G), para tener como morfismos m → n todos G etiquetados (m, n) gráficos de puertos. La composición y estructura monoidal son solo las de las gráficas de puertos PG (ver Ec. (5.17)); las etiquetas (las l's) simplemente se llevan a lo largo.

Los morfismos en Libre (G) son gráficas portuarias (V, in, out, ι) como en la Definición 5.13, que están equipadas con un etiquetado G. Para dibujar una gráfica de puertos, al igual que en el Ejemplo 5.14, dibujamos cada vértice \(\in\)v V como una caja con in (v) -many ports a la izquierda y out (v) muchos puertos a la derecha. En diagramas de cableado, representamos la función de etiquetado l: V → G usando l para agregar etiquetas (en el sentido habitual) a nuestras cajas. Tenga en cuenta que varias cajas pueden etiquetarse con el mismo generador. Por ejemplo, si G = {f: 1 → 1, g: 2 → 2, h: 2 → 1}, entonces lo siguiente es un morfismo 3 → 2 en Libre (G):

Tenga en cuenta que el generador g se usa dos veces, mientras que el generador f no se usa en absoluto en la Ec. (5.26). Esto está perfectamente bien.

Ejemplo 5.27.

El puntal libre en el conjunto vacío Ø es Bij.

Esto se debe a que cada morfismo debe tener una función etiquetadora de la forma V → Ø, y por lo tanto debemos tener V = Ø; ver Ejercicio 1.25. Así los únicos morfismos (n, m) son los que dan las gráficas portuarias (Ø,! ,! , σ), donde σ: n → m es una biyección.

Ejercicio 5.28.

Considere la siguiente firma de utilería:

\(G:=\left\{\rho_{m, n} \mid m, n \in \mathbb{N}\right\}, \quad s\left(\rho_{m, n}\right):=m, \quad t\left(\rho_{m, n}\right):=n\)

es decir, tener uno generando morfismo por cada (m, n)\(\in\) N\(^{2}\). Mostrar que Free (G) es el prop PG de las gráficas portuarias de la Sección 5.2.2. ♦

Al igual que los pedidos anticipados gratuitos y las categorías gratuitas, el prop gratuito se caracteriza por una propiedad universal en cuanto a mapas fuera. Se puede probar lo siguiente de manera similar al Ejercicio 5.23.

Proposición 5.29.

El prop libre Free (G) en una firma (G, s, t) tiene la propiedad de que, para cualquier prop C, los functores prop Libre (G) → C están en correspondencia uno a uno con las funciones G → C que envían cada g \(\in\)G a un morfismo s (g) → t (g) en C.

Una forma alternativa de describir los morfismos en Libre (G). Las gráficas portuarias proporcionan un formalismo conve- niente de pensar en morfismos en el apuntalamiento libre sobre una firma G, pero hay otro enfoque que también es útil. Es sintáctico, en el sentido de que comenzamos con un pequeño stock de morfismos básicos, incluyendo elementos de G, y luego inductivamente

construir nuevos morfismos a partir de ellos utilizando las operaciones básicas de utilería: a saber, composición y producto monoidal. A veces las condiciones de categorías monoidales por ejemplo asociatividad, unidad, funcionalidad, ver Definición 4.45 obligan a dos de esos morfismos a ser iguales, y así los equiparamos obedecidamente. Cuando terminemos, el resultado vuelve a ser el prop libre Libre (G). Hagamos esto más formal.

Primero, necesitamos la noción de una expresión prop. Así como las firmas de prop son el análogo de las gráficas utilizadas para presentar categorías, las expresiones prop son el análogo de caminos en estas gráficas.

Definición: 5.30.

Supongamos que tenemos un conjunto G y funciones s, t: G → N. Definimos una expresión prop generada por G, o simplemente la expresión e: m → n, donde m, n \(\in\)N, inductivamente como sigue:

• El morfismo vacío\(id_{0}\): 0 → 0, el morfismo de identidad\(id_{1}\): 1 → 1, y la simetría σ: 2 → 2 son expresiones. \(^{5}\)

• los generadores g\(\in\) G son expresiones g: s (g) → t (g).

• si α: m → n y β: p → q son expresiones, entonces α + β: m + p → n + q es una expresión.

• si α: m → n y β: n → p son expresiones, entonces α; β: m → p es una expresión.

Escribimos Expr (G) para el conjunto de expresiones en G. Si e: m → n es una expresión, nos referimos a (m, n) como su aritdad.

Ejemplo 5.31.

Dejar G = {f:1 → 1, g: 2 → 2, h: 2 → 1}. Entonces

• id\(_{1}\): 1 → 1,

• f:1 → 1,

• f; id\(_{1}\): 1 → 1,

• h + id\(_{1}\): 3 → 2, y

• (h + id\(_{1}\)); σ; g; σ: 3 → 2

son todas expresiones de prop generadas por G.

Tanto las gráficas de puertos etiquetadas con G como las expresiones de prop generadas por G son formas de describir morfismos en el prop libre Free (G). Tenga en cuenta, sin embargo, que a diferencia de las gráficas de puertos etiquetadas con G, puede haber dos expresiones de prop generadas por G que representan el mismo mor- fismo. Por ejemplo, queremos considerar f; id\(_{1}\) y f como el mismo morfismo, ya que el axioma de unidad para categorías dice f; id\(_{1}\) = f. Sin embargo, solo consideramos dos expresiones de prop generadas por G iguales cuando algún axioma de la definición de prop requiere que sean así; nuevamente, el prop libre es la forma mínima restringida de tomar G y obtener un prop.

Dado que tanto las gráficas portuarias como las expresiones prop describen morfismos en Free (G), tal vez se esté preguntando cómo traducir entre ellos. A continuación, le indicamos cómo convertir un gráfico de puertos en una expresión de prop: imagine una línea vertical que se mueve a través del gráfico de puertos de izquierda a derecha. Siempre que veas “acción” —ya sea una caja o hilos cruzados anota la suma (usando +) de todas las casillas g, todas las simetrías σ y todos los hilos id\(_{1}\) en esa columna. Por último, componer todas esas columnas de acción. Por ejemplo, en la imagen de abajo vemos cuatro columnas de acción:

Aquí el resultado es (g + id\(_{1}\)); (id\(_{1}\) +σ); (id\(_{1}\) + g); (h + id\(_{1}\)).

Ejercicio 5.32.

Considera nuevamente el prop libre sobre generadores G = {f: 1 → 1, g: 2 → 2, h: 2 → 1}.

Dibuja una imagen de (f + id\(_{1}\) + id\(_{1}\)); (σ + id\(_{1}\)); (id\(_{1}\) + h); σ; g, donde σ: 2 → 2 es el mapa de simetría.

Otra forma de describir cuándo debemos considerar dos expresiones prop iguales es decir que son iguales si y solo si representan la misma gráfica portuaria. En cualquier caso, estas nociones inducen una relación de equivalencia en el conjunto de expresiones prop. Decir que consideramos iguales estas ciertas expresiones prop es decir que los morfismos del prop libre en G son las expresiones prop generadas por G cocimentadas por esta relación de equivalencia (ver Definición 1.21).

Apoyos a través de presentaciones

En la Sección 3.2.2 vimos que una presentación para una categoría, o esquema de base de datos, consiste en una gráfica junto con ecuaciones impuestas entre caminos. Del mismo modo aquí, a veces queremos construir un puntal cuyos morfismos obedecen ecuaciones específicas. Pero más que simples caminos, las cosas que queremos igualar son expresiones prop como en la Definición 5.30.

Definición aproximada 5.33.

Una presentación (G, s, t, E) para un prop es un conjunto G, funciones s, t: G → N, y un conjunto E\(\subseteq\) Expr (G) × Expr (G) de pares de expresiones prop generadas por G, de tal manera que e 1 y e 2 tienen la misma aridad para cada (e 1, e 2)\(\in\) E. Nos referimos a G como el conjunto de generadores y a E como el conjunto de ecuaciones en la presentación. \(^{6}\)

El prop G presentado por la presentación (G, s, t, E) es el prop cuyos morfismos son elementos en Expr (G), cocimentados por ambas ecuaciones e 1 = e 2 donde (e 1, e 2) \(\in\)E, y por los axiomas de categorías monoidales estrictas simétricas.

Obración 5.34. Ante una presentación (G, s, t, E), se puede demostrar que el prop G tiene una propiedad universal en términos de “mapas hacia fuera”. A saber, prop functors de G a cualquier

otros prop C están en correspondencia uno a uno con las funciones f de G al conjunto de morfismos en C tal que

• para todo g\(\in\) G, f (g) es un morfismo s (g) → t (g), y

• para todos (e 1, e 2)\(\in\) E, tenemos que f (e 1) = f (e 2) en C, donde f (e) denota el morfismo en C obtenido aplicando f a cada generador en la expresión e, y luego componiendo el resultado en C.

Ejercicio 5.35.

¿Es el caso de que el apuntalamiento libre sobre generadores (G, s, t), definido en la Definición 5.25, es lo mismo que el prop presentado por (G, s, t, Ø), no teniendo relaciones, como se define en la Definición 5.33? ¿O hay una diferencia sutil de alguna manera? ♦