Saltar al contenido principal

# 2.2: Usar el lenguaje del álgebra (Parte 2)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Simplificar las expresiones usando el orden de las operaciones

Hemos introducido la mayoría de los símbolos y notación utilizados en álgebra, pero ahora necesitamos aclarar el orden de las operaciones. De lo contrario, las expresiones pueden tener diferentes significados, y pueden dar como resultado valores diferentes. Por ejemplo, considere la expresión:$4 + 3 \cdot 7 \nonumber$

 Algunos estudiantes dicen que simplifica 49 Algunos estudiantes dicen que simplifica 25 Desde 4 + 3 da 7. 4 + 3 • 7 = 7 • 7 Desde 3 • 7 es 21. 4 + 3 • 7 = 4 + 21 Y 7 • 7 es 49. 7 • 7 = 49 Y 21 + 4 hace 25. 4 + 21 = 25

Imagínese la confusión que podría resultar si cada problema tuviera varias respuestas correctas diferentes. La misma expresión debería dar el mismo resultado. Por lo que los matemáticos establecieron algunas pautas llamadas el orden de las operaciones, que esboza el orden en que deben simplificarse las partes de una expresión.

##### Definición: Orden de Operaciones

Al simplificar las expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:

1. P arentesis y otros símbolos de agrupación
• Simplifica todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
1. E xponentes
• Simplifica todas las expresiones con exponentes.
1. M ultiplicación y D ivision
• Realiza toda la multiplicación y división en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
1. Una ddición y sustracción S
• Realizar todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.

Los estudiantes a menudo preguntan: “¿Cómo voy a recordar el orden?” Aquí hay una manera de ayudarte a recordar: Toma la primera letra de cada palabra clave y sustituye la frase tonta. P arrendamiento E xcuse M y D oreja A unt S aliado.

Mesa$$\PageIndex{8}$$
Orden de Operaciones
P arrendamiento P arentesis
E xcuse E xponentes
Oreja M y D M ultiplicación y D ivision
Un aliado unt S Una ddición y sustracción S

Es bueno que 'M y D oreja' vaya de la mano, ya que esto nos recuerda que m ultiplicación y d ivisión tienen igual prioridad. No siempre hacemos multiplicación antes de la división o siempre hacemos división antes de multiplicar. Los hacemos en orden de izquierda a derecha.

De igual manera, 'A unt S ally' va de la mano y así nos recuerda que una ddition y una s ubtracción también tienen igual prioridad y las hacemos en orden de izquierda a derecha.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$: simplify

Simplifica las expresiones:

1. $$4 + 3 • 7$$
2. $$(4 + 3) • 7$$

Solución

 ¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. $$4 + 3 \cdot 7$$ Multiplicar primero. $$4 + \textcolor{red}{3 \cdot 7}$$ Agregar. $$4 + 21$$ $$25$$
 ¿Hay paréntesis? Sí. $$(4 + 3) \cdot 7$$ Simplifica dentro de los paréntesis. $$\textcolor{red}{(4 + 3)} \cdot 7$$ ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. $$(7)7$$ Multiplicar. $$49$$
##### ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Simplifica las expresiones:

1. $$12 − 5 • 2$$
2. $$(12 − 5) • 2$$
Contestar a

$$2$$

Respuesta b

$$14$$

##### ejercicio$$\PageIndex{16}$$

Simplifica las expresiones:

1. $$8 + 3 • 9$$
2. $$(8 + 3) • 9$$
Contestar a

$$35$$

Respuesta b

$$99$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$: simplify

Simplificar:

1. $$18 ÷ 9 • 2$$
2. $$18 • 9 ÷ 2$$

Solución

 ¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. $$18 \div 9 \cdot 2$$ Multiplicar y dividir de izquierda a derecha. Dividir. $$\textcolor{red}{2} \cdot 2$$ Multiplicar. $$4$$
 ¿Hay paréntesis? No. ¿Hay exponentes? No. ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. $$18 \cdot 9 \div 2$$ Multiplicar y dividir de izquierda a derecha. Multiplicar. $$\textcolor{red}{162} \div 2$$ Dividir. $$81$$
##### ejercicio$$\PageIndex{17}$$

Simplificar:$$42 ÷ 7 • 3$$

Responder

$$18$$

##### ejercicio$$\PageIndex{18}$$

Simplificar:$$12 • 3 ÷ 4$$

Responder

$$9$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$: simplify

Simplificar:$$18 ÷ 6 + 4(5 − 2)$$.

Solución

 ¿Paréntesis? Sí, restar primero. $$18 \div 6 + 4(5-2)$$ ¿Exponentes? No. ¿Multiplicación o división? Sí. $$18 \div 6 + 4(\textcolor{red}{3})$$ Dividir primero porque multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha. $$\textcolor{red}{3} + 4(3)$$ ¿Alguna otra multiplicación o división? Sí. Multiplicar. $$3 + \textcolor{red}{12}$$ ¿Alguna otra multiplicación o división? No. ¿Alguna suma o resta? Sí $$15$$
##### ejercicio$$\PageIndex{19}$$

Simplificar:$$30 ÷ 5 + 10(3 − 2)$$

Responder

$$16$$

##### ejercicio$$\PageIndex{20}$$

Simplificar:$$70 ÷ 10 + 4(6 − 2)$$

Responder

$$23$$

Cuando hay múltiples símbolos de agrupación, simplificamos primero los paréntesis más internos y trabajamos hacia afuera.

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$: simplify

Simplificar:$$5 + 2^3 + 3[6 − 3(4 − 2)]$$.

Solución

 ¿Hay paréntesis (u otro símbolo de agrupación)? Sí. $$5 + 2^{3} + 3[6-3(4-2)]$$ Enfócate en los paréntesis que están dentro de los corchetes. $$5 + 2^{3} + 3[6-3 \textcolor{red}{(4-2)}]$$ Restar. $$5 + 2^{3} + 3[6- \textcolor{red}{3(2)}]$$ Continuar dentro de los corchetes y multiplicar. $$5 + 2^{3} + 3[6- \textcolor{red}{6}]$$ Continuar dentro de los corchetes y restar. $$5 + 2^{3} + 3[\textcolor{red}{0}]$$ La expresión dentro de los corchetes no requiere más simplificación. ¿Hay exponentes? Sí. $$5 + \textcolor{red}{2^{3}} + 3[0]$$ Simplifica los exponentes. $$5 + \textcolor{red}{8} + 3[0]$$ ¿Hay alguna multiplicación o división? Sí. $$5 + 8 + \textcolor{red}{3[0]}$$ Multiplicar. $$5 + 8 + \textcolor{red}{0}$$ ¿Hay alguna suma o resta? Sí. $$textcolor{red}{5+8+0}$$ Agregar. $$\textcolor{red}{13} + 0$$ Agregar. $$13$$
##### ejercicio$$\PageIndex{21}$$

Simplificar:$$9 + 5^3 − [4(9 + 3)]$$

Responder

$$86$$

##### ejercicio$$\PageIndex{22}$$

Simplificar:$$7^2 − 2[4(5 + 1)]$$

Responder

$$1$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$: simplify

Simplificar:$$2^3 + 34 ÷ 3 − 5^2$$.

Solución

 Si una expresión tiene varios exponentes, pueden simplificarse en un mismo paso. $$2^{3} + 3^{4} \div 3 - 5{2}$$ Simplifica los exponentes. $$\textcolor{red}{2^{3}} + \textcolor{red}{3^{4}} \div 3 - \textcolor{red}{5^{2}}$$ Dividir. $$8 + \textcolor{red}{81 \div 3} - 25$$ Agregar. $$\textcolor{red}{8+27} - 25$$ Restar. $$\textcolor{red}{35-25}$$ $$10$$
##### ejercicio$$\PageIndex{23}$$

Simplificar:$$3^2 + 2^4 ÷ 2 + 4^3$$

Responder

$$81$$

##### ejercicio$$\PageIndex{24}$$

Simplificar:$$6^2 − 5^3 ÷ 5 + 8^2$$

Responder

$$75$$

## Conceptos clave

Operación Notación Decir: El resultado es...
Multiplicación El producto de
Resta la diferencia de
División $$a\div b, a/b, \dfrac{a}{b}, a \overline{\smash{)}b}$$ El cociente de
• El símbolo$$=$$ se llama el signo igual.
• $$a>b$$se lee$$a$$ es mayor que$$b$$
Notación algebraica Decir
$a$es menor o igual a$b$
$a$es mayor o igual a$b$
• Notación exponencial
• Para cualquier expresión$$a^n$$ es un factor multiplicado por sí mismo
• La expresión de

Orden de Operaciones Al simplificar las expresiones matemáticas, realice las operaciones en el siguiente orden:

• Paréntesis y otros símbolos de agrupación: Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
• Exponentes: Simplifica todas las expresiones con exponentes.
• Multiplicación y División: Realiza todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.
• Suma y resta: Realiza todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen igual prioridad.

## Glosario

expresiones

Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables y símbolos de operación.

ecuación

Una ecuación se compone de dos expresiones conectadas por un signo igual.

## La práctica hace la perfección

### Usar variables y símbolos algebraicos

En los siguientes ejercicios, traduzca de la notación algebraica a las palabras.

1. 16 − 9
2. 25 − 7
3. 5 • 6
4. 3 • 9
5. 28 ÷ 4
6. 45 ÷ 5
7. x + 8
8. x + 11
9. (2) (7)
10. (4) (8)
11. 14 < 21
12. 17 < 35
13. 36 ≥ 19
14. 42 ≥ 27
15. 3n = 24
16. 6n = 36
17. y − 1 > 6
18. y − 4 > 8
19. 2 ≤ 18 ÷ 6
20. 3 ≤ 20 ÷ 4
21. a ≠ 7 • 4
22. a ≠ 1 • 12

### Identificar expresiones y ecuaciones

En los siguientes ejercicios, determine si cada uno es una expresión o una ecuación.

1. 9 • 6 = 54
2. 7 • 9 = 63
3. 5 • 4 + 3
4. 6 • 3 + 5
5. x + 7
6. x + 9
7. y − 5 = 25
8. y − 8 = 32

### Simplificar expresiones con exponentes

En los siguientes ejercicios, escribe en forma exponencial.

1. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
2. 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4
3. x • x • x • x
4. y • y • y • y • y

En los siguientes ejercicios, escribe en forma expandida.

1. 5 3
2. 8 3
3. 2 8
4. 10 5

### Simplificar las expresiones usando el orden de las operaciones

En los siguientes ejercicios, simplifique.

1. (a) 3 + 8 • 5 (b) (3+8) • 5
2. (a) 2 + 6 • 3 (b) (2+6) • 3
3. 2 3 − 12 ÷ (9 − 5)
4. 3 2 − 18 ÷ (11 − 5)
5. 3 • 8 + 5 • 2
6. 4 • 7 + 3 • 5
7. 2 + 8 (6 + 1)
8. 4 + 6 (3 + 6)
9. 4 • 12/8
10. 2 • 36/6
11. 6 + 10/2 + 2
12. 9 + 12/3 + 4
13. (6 + 10) ÷ (2 + 2)
14. (9 + 12) ÷ (3 + 4)
15. 20 ÷ 4 + 6 • 5
16. 33 ÷ 3 + 8 • 2
17. 20 ÷ (4 + 6) • 5
18. 33 ÷ (3 + 8) • 2
19. 4 2 + 5 2
20. 3 2 + 7 2
21. (4 + 5) 2
22. (3 + 7) 2
23. 3 (1 + 9 • 6) − 4 2
24. 5 (2 + 8 • 4) − 7 2
25. 2 [1 + 3 (10 − 2)]
26. 5 [2 + 4 (3 − 2)]

## Matemáticas cotidianas

1. Basquetbol En los playoffs de la NBA 2014, los San Antonio Spurs vencieron al Miami Heat. En la siguiente tabla se muestran las alturas de los abridores en cada equipo. Utilice esta tabla para rellenar el símbolo apropiado (=, <, >).
Espuelas Altura Calor Altura
Tim Duncan 83″ Rashard Lewis 82"
Boris Diaw 80" LeBron James 80"
Kawhi Leonard 79" Chris Bosh 83"
Tony Parker 74" Dwyane Wade 76"
Danny Green 78" Ray Allen 77"
1. Altura de Tim Duncan____Altura de Rashard Lewis
2. Altura de Boris Diaw____Altura de LeBron James
3. Altura de Kawhi Leonard____Altura de Chris Bosh
4. Altura de Tony Parker____Altura de Dwyane Wade
5. Altura de Danny Green____Altura de Ray Allen
1. Elevación En Colorado hay más de 50 montañas con una elevación de más de 14,000 pies. En la tabla se muestran los diez más altos. Utilice esta tabla para rellenar el símbolo de desigualdad apropiado.
Montaña Elevación
Mt. Elbert 14,433′
Mt. Masiva 14,421′
Mt. Harvard 14,420′
Pico Blanca 14,345′
Pico La Plata 14,336′
Pico Uncompahgre 14,309′
Pico Crestón 14,294′
Mt. Lincoln 14,286′
Pico Grays 14,270′
Mt. Antero 14,269′
1. Elevación de La Plata Pico____Elevación del Monte. Antero
2. Elevación del pico Blanca____Elevación del monte. Elbert
3. Elevación del pico de Gray ____Elevación del monte. Lincoln
4. Elevación del monte. Masiva____Elevación del Pico Crestone
5. Elevación del monte. Cosecha____Elevación del Pico Uncompahgre

## Ejercicios de escritura

1. Explicar la diferencia entre una expresión y una ecuación.
2. ¿Por qué es importante utilizar el orden de las operaciones para simplificar una expresión?

## Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Si la mayoría de sus cheques fueron:

... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

... no, ¡no lo comprendo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.