Saltar al contenido principal

# 2.4: Evaluar, simplificar y traducir expresiones (Parte 2)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Traducir palabras a expresiones algebraicas

En la sección anterior, enumeramos muchos símbolos de operación que se utilizan en álgebra, y luego traducimos expresiones y ecuaciones en frases y oraciones de palabras. Ahora invertiremos el proceso y traduciremos frases de palabras en expresiones algebraicas. Los símbolos y variables de los que hemos hablado nos ayudarán a lograrlo. Se resumen en la Tabla$$\PageIndex{3}$$.

Mesa$$\PageIndex{3}$$
Operación Frase Expresión

a más b

la suma de a y b

b más de a

el total de a y b

a + b
Resta

a menos b

la diferencia de a y b

a disminuyó en b

b menos de a

a - b
Multiplicación

a veces b

el producto de a y b

a • b, ab, a (b), (a) (b)
División

a dividido por b

el cociente de a y b

la relación de a y b

b dividido en a

a ÷ b, a/b$$\dfrac{a}{b}$$,$$b \overline{) a}$$

Observe de cerca estas frases usando las cuatro operaciones:

• la suma de$$a$$ y$$b$$
• la diferencia de$$a$$ y$$b$$
• el producto de$$a$$ y$$b$$
• el cociente de$$a$$ y$$b$$

Cada frase te dice que operes con dos números. Busca las palabras de y y para encontrar los números.

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$: translate

1. la diferencia de$$20$$ y$$4$$
2. el cociente de$$10x$$ y$$3$$

Solución

1. La palabra clave es diferencia, que nos dice que la operación es resta. Busca las palabras de y y para encontrar los números para restar.

la diferencia de$$20$$ y$$4$$

$$20$$menos$$4$$

$$20 − 4$$

1. La palabra clave es cociente, lo que nos dice que la operación es división.

el cociente de$$10x$$ y$$3$$

dividir$$10x$$ por$$3$$

$$10x ÷ 3$$

Esto también se puede escribir como 1$$0x / 3$$ o$$\dfrac{10x}{3}$$

##### ejercicio$$\PageIndex{21}$$

1. la diferencia de$$47$$ y$$41$$
2. el cociente de$$5x$$ y$$2$$
Contestar a

$$47-41$$

Respuesta b

$$5x\div 2$$

##### ejercicio$$\PageIndex{22}$$

1. la suma de$$17$$ y$$19$$
2. el producto de$$7$$ y$$x$$
Contestar a

$$17+19$$

Respuesta b

$$7x$$

¿Cuántos años vas a tener en ocho años? ¿Qué edad es ahora ocho años más que tu edad? ¿Agregaste$$8$$ a tu edad actual? Ocho más que significa ocho agregados a tu edad actual.

¿Cuántos años tenía hace siete años? Esto es siete años menos que tu edad ahora. Te restas$$7$$ de tu edad actual. Siete menos que significa siete restado de tu edad actual.

##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$: translate

1. Ocho más de$$y$$
2. Siete menos de$$9z$$

Solución

1. Las palabras clave son más que. Nos dicen que la operación es suma. Más que significa “agregado a”.

Ocho más de$$y$$

Ocho agregados a$$y$$

$$y + 8$$

1. Las palabras clave son menores que. Nos dicen que la operación es resta. Menos que significa “restado de”.

Siete menos de$$9z$$

Siete restados de$$9z$$

$$9z − 7$$

##### ejercicio$$\PageIndex{23}$$

1. Once más de$$x$$
2. Catorce menos de$$11a$$
Contestar a

$$x+11$$

Respuesta b

$$11a-14$$

##### ejercicio$$\PageIndex{24}$$

1. $$19$$más de$$j$$
2. $$21$$menos de$$2x$$
Contestar a

$$j+19$$

Respuesta b

$$2x-21$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{13}$$: translate

1. cinco veces la suma de$$m$$ y$$n$$
2. la suma de cinco veces$$m$$ y$$n$$

Solución

1. Hay dos palabras de operación: los tiempos nos dicen multiplicar y la suma nos dice que sumemos. Porque estamos$$5$$ multiplicando por la suma, necesitamos paréntesis alrededor de la suma de$$m$$ y$$n$$.

cinco veces la suma de$$m$$ y$$n$$

$$5(m + n)$$

1. Para tomar una suma, buscamos las palabras de y y para ver qué se está agregando. Aquí estamos tomando la suma de cinco veces$$m$$ y$$n$$.

la suma de cinco veces$$m$$ y$$n$$

$$5m + n$$

Observe cómo el uso de paréntesis cambia el resultado. En la parte (a), sumamos primero y en la parte (b), multiplicamos primero.

##### ejercicio$$\PageIndex{25}$$

Traduce la frase de la palabra en una expresión algebraica:

1. cuatro veces la suma de$$p$$ y$$q$$
2. la suma de cuatro veces$$p$$ y$$q$$
Contestar a

$$4(p+q)$$

Respuesta b

$$4p+q$$

##### ejercicio$$\PageIndex{26}$$

Traduce la frase de la palabra en una expresión algebraica:

1. la diferencia de dos veces$$x$$ y$$8$$
2. dos veces la diferencia de$$x$$ y$$8$$
Contestar a

$$2x-8$$

Respuesta b

$$2(x-8)$$

Más adelante en este curso, aplicaremos nuestras habilidades en álgebra a la resolución de ecuaciones. Por lo general, comenzaremos traduciendo una frase de palabras a una expresión algebraica. Habrá que tener claro lo que representará la expresión. Veremos cómo hacer esto en los siguientes dos ejemplos.

##### Ejemplo$$\PageIndex{14}$$: write an expression

La altura de una ventana rectangular es 6 pulgadas menos que el ancho. Deje que w represente el ancho de la ventana. Escribe una expresión para la altura de la ventana.

Solución

 Escribe una frase sobre la altura. 6 menos que el ancho Sustituya w por el ancho. 6 menos que w Reescribe 'menos que' como 'restado de'. 6 restado de w Traducir la frase al álgebra. w - 6
##### ejercicio$$\PageIndex{27}$$

La longitud de un rectángulo es$$5$$ pulgadas menos que el ancho. Dejar$$w$$ representar el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.

Contestar

$$w-5$$

##### ejercicio$$\PageIndex{28}$$

El ancho de un rectángulo es$$2$$ metros mayor que la longitud. Dejar$$l$$ representar la longitud del rectángulo. Escribe una expresión para el ancho del rectángulo.

Contestar

$$l+2$$

##### Ejemplo$$\PageIndex{15}$$: write an expression

Blanca tiene diez centavos y cuartos en su bolso. El número de dimes es$$2$$ menor que$$5$$ veces el número de trimestres. Dejar$$q$$ representar el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de diez centavos.

Solución

 Escribe una frase sobre el número de diez centavos. dos menos de cinco veces el número de trimestres Sustituir q por el número de cuartos. 2 menos de cinco veces q Traducir 5 veces q. 2 menos de 5q Traducir la frase al álgebra. 5q - 2
##### ejercicio$$\PageIndex{29}$$

Geoffrey tiene diez centavos y cuartos en el bolsillo. El número de diez centavos es siete menos de seis veces el número de trimestres. Dejar$$q$$ representar el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de diez centavos.

Contestar

$$6q-7$$

##### ejercicio$$\PageIndex{30}$$

Lauren tiene diez centavos y cinco centavos en su bolso. El número de diez centavos es ocho más de cuatro veces el número de cinco centavos. Dejar$$n$$ representar el número de cinco centavos. Escribe una expresión para el número de diez centavos.

Contestar

$$4n+8$$

## Conceptos clave

• Combina términos similares.
• Identificar términos similares.
• Reorganice la expresión para que los términos estén juntos.
• Sumar los coeficientes de los términos similares

## Glosario

término

Un término es una constante o producto de una constante y una o más variables.

coeficiente

La constante que multiplica la (s) variable (s) en un término se denomina coeficiente.

términos similares

Los términos que son constantes o tienen las mismas variables con los mismos exponentes son términos similares.

evaluar

Evaluar una expresión algebraica significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable es reemplazada por un número dado.

## La práctica hace la perfección

### Evaluar expresiones algebraicas

En los siguientes ejercicios, evaluar la expresión para el valor dado.

1. 7x + 8 cuando x = 2
2. 9x + 7 cuando x = 3
3. 5x − 4 cuando x = 6
4. 8x − 6 cuando x = 7
5. x 2 cuando x = 12
6. x 3 cuando x = 5
7. x 5 cuando x = 2
8. x 4 cuando x = 3
9. 3 x cuando x = 3
10. 4 x cuando x = 2
11. x 2 + 3x − 7 cuando x = 4
12. x 2 + 5x − 8 cuando x = 6
13. 2x + 4y − 5 cuando x = 7, y = 8
14. 6x + 3y − 9 cuando x = 6, y = 9
15. (x − y) 2 cuando x = 10, y = 7
16. (x + y) 2 cuando x = 6, y = 9
17. a 2 + b 2 cuando a = 3, b = 8
18. r 2 − s 2 cuando r = 12, s = 5
19. 2l + 2w cuando l = 15, w = 12
20. 2l + 2w cuando l = 18, w = 14

### Identificar términos, coeficientes y términos similares

En los siguientes ejercicios, enumere los términos en la expresión dada.

1. 15x 2 + 6x + 2
2. 11x 2 + 8x + 5
3. 10y 3 + y + 2
4. 9y 3 + y + 5

En los siguientes ejercicios, identificar el coeficiente del término dado.

1. 8a
2. 13m
3. 5r 2
4. 6x 3

En los siguientes ejercicios, identifique todos los conjuntos de términos similares.

1. x 3, 8x, 14, 8y, 5, 8x 3
2. 6z, 3w 2, 1, 6z 2, 4z, w 2
3. 9a, a 2, 16ab, 16b 2, 4ab, 9b 2
4. 3, 25r 2, 10s, 10r, 4r 2, 3s

### Simplificar expresiones combinando términos similares

En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada combinando términos similares.

1. 10x + 3x
2. 15x + 4x
3. 17a + 9a
4. 18z + 9z
5. 4c + 2c + c
6. 6y + 4y + y
7. 9x + 3x + 8
8. 8a + 5a + 9
9. 7u + 2 + 3u + 1
10. 8d + 6 + 2d + 5
11. 7p + 6 + 5p + 4
12. 8x + 7 + 4x − 5
13. 10a + 7 + 5a − 2 + 7a − 4
14. 7c + 4 + 6c − 3 + 9c − 1
15. 3x 2 + 12x + 11 + 14x 2 + 8x + 5
16. 5b 2 + 9b + 10 + 2b 2 + 3b − 4

### Traducir frases en inglés en expresiones algebraicas

En los siguientes ejercicios, traduzca la frase de la palabra dada a una expresión algebraica.

1. La suma de 8 y 12
2. La suma de 9 y 1
3. La diferencia de 14 y 9
4. 8 menos de 19
5. El producto de 9 y 7
6. El producto de 8 y 7
7. El cociente de 36 y 9
8. El cociente de 42 y 7
9. La diferencia de x y 4
10. 3 menos que x
11. El producto de 6 y y
12. El producto de 9 y y
13. La suma de 8x y 3x
14. La suma de 13x y 3x
15. El cociente de y y 3
16. El cociente de y y 8
17. Ocho veces la diferencia de y y nueve
18. Siete veces la diferencia de y y uno
19. Cinco veces la suma de x e y
20. Nueve por cinco menos de dos veces x

En los siguientes ejercicios, escribir una expresión algebraica.

1. Adele compró una falda y una blusa. La falda costó 15 dólares más que la blusa. Que b represente el costo de la blusa. Escribe una expresión por el costo de la falda.
2. Eric tiene discos de rock y clásicos en su auto. El número de CDs de rock es 3 más que el número de CDs clásicos. Que c represente el número de CDs clásicos. Escribe una expresión para el número de CDs de rock.
3. El número de niñas en una clase de segundo grado es 4 menos que el número de niños. Que b represente el número de niños. Escribe una expresión para el número de chicas.
4. Marcella tiene 6 primos varones menos que primos femeninos. Que f represente el número de primas femeninas. Escribe una expresión para el número de primos chicos.
5. Greg tiene cinco centavos y centavos en el bolsillo. El número de centavos es de siete menos del doble del número de centavos. Que n represente el número de cinco centavos. Escribe una expresión para el número de centavos.
6. Jeannette tiene billetes de $5 y$10 en su billetera. El número de cincos es tres más de seis veces el número de decenas. Que t represente el número de decenas. Escribe una expresión para el número de cincos.

## Matemáticas cotidianas

En los siguientes ejercicios, utilice expresiones algebraicas para resolver el problema.

1. Seguro de auto El seguro de auto de Justin tiene un deducible de $750 por incidente. Esto significa que paga 750 dólares y su compañía de seguros pagará todos los costos más allá de los 750 dólares. Si Justin presenta un reclamo por$2,100, ¿cuánto pagará y cuánto pagará su compañía de seguros?
2. Seguros de hogar El seguro de hogar de Pam y Armando tiene un deducible de $2,500 por incidente. Esto significa que pagan$2,500 y su compañía de seguros pagará todos los costos más allá de los \$2,500. Si Pam y Armando presentan un reclamo por 19.400 dólares, ¿cuánto pagarán y cuánto pagará su compañía de seguros?

## Ejercicios de escritura

1. Explique por qué “la suma de x e y” es lo mismo que “la suma de y y x”, pero “la diferencia de x e y” no es lo mismo que “la diferencia de y y x”. Intenta sustituir dos números aleatorios por x e y para ayudarte a explicar. 146. Explique la diferencia entre “4 veces la suma de x e y” y “la suma de 4 veces x e y”.

## Autocomprobación

(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?