2.6: Resolver ecuaciones usando las propiedades de resta y suma de la igualdad (Parte 2)
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Recuerde, una ecuación tiene un signo igual (\(=\)) entre dos expresiones algebraicas. Entonces, si tenemos una oración que nos dice que dos frases son iguales, podemos traducirla en una ecuación. Buscamos palabras clave que signifiquen iguales. Algunas palabras que se traducen al signo igual son:
- es igual a
- es lo mismo que
- es
- da
- fue
- será
Puede ser útil poner una caja alrededor de la (s) palabra (s) igual (s) en la oración para ayudarte a enfocarte por separado en cada frase. Después traduzca cada frase en una expresión, y escríbelas a cada lado del signo igual.
Practicaremos la traducción de oraciones de palabras en ecuaciones algebraicas. Algunas de las oraciones serán datos básicos de números sin variables que resolver. Algunas oraciones se traducirán en ecuaciones con variables. El foco ahora mismo es sólo traducir las palabras al álgebra.
Traducir la oración en una ecuación algebraica: La suma de\(6\) y\(9\) es\(15\).
Solución
La palabra es nos dice que el signo igual va entre\(9\) y\(15\).
| Localice la (s) palabra (s) “iguales”. | La suma de 6 y 9 es 15 |
| Escribe el signo =. | La suma de 6 y 9 = 15 |
| Traducir las palabras a la izquierda de la palabra igual en una expresión algebraica. | 6 + 9 = _____ |
| Traducir las palabras a la derecha de la palabra igual en una expresión algebraica. | 6 + 9 = 15 |
Traducir la oración en una ecuación algebraica: La suma de\(7\) y\(6\) da\(13\).
- Responder
-
\(7+6=13\)
Traducir la oración en una ecuación algebraica: La suma de\(8\) y\(6\) es\(14\).
- Responder
-
\(8+6=14\)
Traducir la oración en una ecuación algebraica: El producto de\(8\) y\(7\) es\(56\).
Solución
La ubicación de la palabra es nos dice que el signo igual va entre\(7\) y\(56\).
| Localice la (s) palabra (s) “iguales”. | El producto de 8 y 7 es 56 |
| Escribe el signo =. | El producto de 8 y 7 = 56 |
| Traducir las palabras a la izquierda de la palabra igual en una expresión algebraica. | 8 • 7 = _____ |
| Traducir las palabras a la derecha de la palabra igual en una expresión algebraica. | 8 • 7 = 56 |
Traducir la oración en una ecuación algebraica: El producto de\(6\) y\(9\) es\(54\).
- Responder
-
\(6\cdot 9 = 54\)
Traducir la oración en una ecuación algebraica: El producto de\(21\) y\(3\) da\(63\).
- Responder
-
\(21\cdot 3 = 63\)
Traducir la oración en una ecuación algebraica: Dos veces la diferencia de\(x\) y\(3\) da\(18\).
Solución
| Localice la (s) palabra (s) “iguales”. |  |
| Reconocer las palabras clave: dos veces; diferencia de... y... | Dos veces significa dos veces. |
| Traducir. |  |
Traducir la oración dada en una ecuación algebraica: Dos veces la diferencia de\(x\) y\(5\) da\(30\).
- Responder
-
\(2(x-5)=30\)
Traducir la oración dada en una ecuación algebraica: Dos veces la diferencia de\(y\) y\(4\) da\(16\).
- Responder
-
\(2(y-4)=16\)
Traducir a una ecuación y resolver
Ahora vamos a practicar la traducción de oraciones en ecuaciones algebraicas y luego resolverlas. Resolveremos las ecuaciones usando las Propiedades de Suma y Suma de Igualdad.
Traducir y resolver: Tres más de lo que\(x\) es igual a\(47\).
Solución
| Tres más de x es igual a 47. | |
| Traducir. | \(x + 3 = 47\) |
| Restar 3 de ambos lados de la ecuación. | \(x + 3 \textcolor{red}{-3} = 47 \textcolor{red}{-3}\) |
| Simplificar | \(x = 44\) |
| Podemos comprobarlo. Dejar x = 44. | \(44 + 3 \stackrel{?}{=} 47\) |
| \(47 = 47 \; \checkmark\) |
Así\(x = 44\) es la solución.
Traducir y resolver: Siete más de lo que\(x\) es igual a\(37\).
- Responder
-
\(x + 7 = 37; x = 30\)
Traducir y resolver: Once más de lo que\(y\) es igual a\(28\).
- Responder
-
\(y + 11 = 28; y = 17\)
Traducir y resolver: La diferencia de\(y\) y\(14\) es\(18\).
Solución
| La diferencia de y y 14 es 18. | |
| Traducir. | \(y - 14 = 18\) |
| Agrega 14 a ambos lados. | \(y - 14 \textcolor{red}{+14} = 18 \textcolor{red}{+14}\) |
| Simplificar. | \(y = 32\) |
| Podemos comprobarlo. Dejar y = 32. | \(32 - 14 \stackrel{?}{=} 18\) |
| \(18 = 18 \; \checkmark\) |
Así\(y = 32\) es la solución.
Traducir y resolver: La diferencia de\(z\) y\(17\) es igual a\(37\).
- Responder
-
\(z - 17 = 37; z = 54\)
Traducir y resolver: La diferencia de\(x\) y\(19\) es igual a\(45\).
- Responder
-
\(x - 19 = 45; x = 64\)
Acceda a recursos adicionales en línea
Conceptos clave
- Determinar si un número es una solución a una ecuación.
- Sustituir el número por la variable en la ecuación.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Determinar si la ecuación resultante es verdadera. Si es cierto, el número es una solución.
- Resta Propiedad de Igualdad
- Para cualquier número\(a\),\(b\), y\(c\),
- Resuelve una ecuación usando la Propiedad de Sustracción de Igualdad.
- Utilice la Propiedad de Sustracción de Igualdad para aislar la variable.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Consulta la solución.
- Adición Propiedad de Igualdad
- Para cualquier número\(a\),\(b\), y\(c\),
- Resolver una ecuación usando la Propiedad de Suma de Igualdad.
- Utilice la Propiedad de Suma de Igualdad para aislar la variable.
- Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Consulta la solución.
Glosario
- solución de una ecuación
-
Una solución a una ecuación es un valor de una variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación. El proceso de encontrar la solución a una ecuación se llama resolver la ecuación.
La práctica hace la perfección
Determinar si un número es una solución de una ecuación
En los siguientes ejercicios, determinar si cada valor dado es una solución a la ecuación.
- x + 13 = 21
- x = 8
- x = 34
- y + 18 = 25
- y = 7
- y = 43
- m − 4 = 13
- m = 9
- m = 17
- n − 9 = 6
- n = 3
- n = 15
- 3p + 6 = 15
- p = 3
- p = 7
- 8q + 4 = 20
- q = 2
- q = 3
- 18d − 9 = 27
- d = 1
- d = 2
- 24 f − 12 = 60
- f = 2
- f = 3
- 8u − 4 = 4u + 40
- u = 3
- u = 11
- 7v − 3 = 4v + 36
- v = 3
- v = 11
- 20h − 5 = 15h + 35
- h = 6
- h = 8
- 18k − 3 = 12k + 33
- k = 1
- k = 6
Modelar la Propiedad de Sustracción de Igualdad
En los siguientes ejercicios, escribe la ecuación modelada por los sobres y contadores y luego resuelve usando la propiedad de resta de igualdad.
Resolver ecuaciones usando la Propiedad de Sustracción de Igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación usando la propiedad de resta de igualdad.
- a + 2 = 18
- b + 5 = 13
- p + 18 = 23
- q + 14 = 31
- r + 76 = 100
- s + 62 = 95
- 16 = x + 9
- 17 = y + 6
- 93 = p + 24
- 116 = q + 79
- 465 = d + 398
- 932 = c + 641
Resolver ecuaciones usando la propiedad de suma de igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación usando la propiedad de suma de igualdad.
- y − 3 = 19
- x − 4 = 12
- u − 6 = 24
- v − 7 = 35
- f − 55 = 123
- g − 39 = 117
- 19 = n − 13
- 18 = m − 15
- 10 = p − 38
- 18 = q − 72
- 268 = y − 199
- 204 = z − 149
Traducir Word Phrase a ecuaciones algebraicas
En los siguientes ejercicios, traducir la oración dada en una ecuación algebraica.
- La suma de 8 y 9 es igual a 17.
- La suma de 7 y 9 es igual a 16.
- La diferencia de 23 y 19 es igual a 4.
- La diferencia de 29 y 12 es igual a 17.
- El producto de 3 y 9 es igual a 27.
- El producto de 6 y 8 es igual a 48.
- El cociente de 54 y 6 es igual a 9.
- El cociente de 42 y 7 es igual a 6.
- Dos veces la diferencia de n y 10 da 52.
- Dos veces la diferencia de m y 14 da 64.
- La suma de tres veces y y 10 es 100.
- La suma de ocho veces x y 4 es 68.
Traducir a una ecuación y resolver
En los siguientes ejercicios, traducir la oración dada en una ecuación algebraica y luego resolverla.
- Cinco más que p es igual a 21.
- Nueve más de q es igual a 40.
- La suma de r y 18 es 73.
- La suma de s y 13 es 68.
- La diferencia de d y 30 es igual a 52.
- La diferencia de c y 25 es igual a 75.
- 12 menos que u es 89.
- 19 menos que w es 56.
- 325 menos que c da 799.
- 299 menos que d da 850.
Matemáticas cotidianas
- Seguros El seguro de auto de Vince tiene un deducible de $500. Encuentra el monto que la aseguradora pagará, p, por un reclamo de $1800 resolviendo la ecuación 500 + p = 1800.
- Seguros La póliza de seguro de vivienda de Marta tiene un deducible de $750. La aseguradora pagó 5800 dólares para reparar los daños causados por una tormenta. Encuentra el costo total del daño por tormenta, d, resolviendo la ecuación d − 750 = 5800.
- Venta compra Arthur compró un traje que estaba a la venta por $120 de descuento. Pagó 340 dólares por el traje. Encuentra el precio original, p, del palo resolviendo la ecuación p − 120 = 340.
- Venta compra Rita compró un sofá que estaba a la venta por $1299. Ella pagó un total de $1409, incluyendo el impuesto a las ventas. Encuentra el monto del impuesto sobre ventas, t, resolviendo la ecuación 1299 + t = 1409.
Ejercicios de escritura
- ¿Es x = 1 una solución a la ecuación 8x − 2 = 16 − 6x? ¿Cómo lo sabes?
- Escribe la ecuación y − 5 = 21 en palabras. Entonces, inventemos un problema de palabras para esta ecuación.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?