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2.8: Encontrar múltiplos y factores (Parte 2)

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    114251

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    Identificar números primos y compuestos

    Algunos números, como\(72\), tienen muchos factores. Otros números, como\(7\), tienen sólo dos factores:\(1\) y el número. Un número con solo dos factores se llama número primo. Un número con más de dos factores se denomina número compuesto. El número no\(1\) es primo ni compuesto. Tiene sólo un factor, en sí mismo.

    Definición: números primos y números compuestos

    Un número primo es un número de conteo mayor a\(1\) cuyos únicos factores son\(1\) y en sí mismo.

    Un número compuesto es un número de conteo que no es primo.

    La figura\(\PageIndex{5}\) enumera los números de conteo desde\(2\) el\(20\) principio junto con sus factores. Los números resaltados son primos, ya que cada uno tiene sólo dos factores.

    Esta figura muestra una tabla con veinte filas y tres columnas. La primera fila es una fila de encabezado. Se etiqueta las columnas como “Número”, “Factor” y “¿Prime o compuesto?” La segunda fila enumera el número 2, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 2 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La tercera fila enumera el número 3, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 3 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La cuarta fila enumera el número 4 debajo de la columna “Número”, los números 1, 2 y 4 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La quinta fila enumera el número 5, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 5 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La sexta fila enumera el número 6 debajo de la columna “Número”, los números 1, 2, 3 y 6 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La séptima fila enumera el número 7, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 7 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La octava fila enumera el número 8 debajo de la columna “Número”, los números 1, 2, 4 y 8 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La novena fila enumera el número 9 debajo de la columna “Número”, los números 1, 3 y 9 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La décima fila enumera el número 10 debajo de la columna “Número”, los números 1, 2, 5 y 10 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La undécima fila enumera el número 11, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 11 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La duodécima fila enumera el número 12 bajo la columna “Número”, los números 1, 2, 3, 4, 6 y 12 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimotercera fila enumera el número 13, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 13 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimocuarta fila enumera el número 14 bajo la columna “Número”, los números 1, 2, 7 y 14 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimoquinta fila enumera el número 15 debajo de la columna “Número”, los números 1, 2, 3, 5 y 15 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimosexta fila enumera el número 16 bajo la columna “Número”, los números 1, 2, 4, 8 y 16 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimoséptima fila enumera el número 17, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 17 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimoctava fila enumera el número 18 bajo la columna “Número”, los números 1, 2, 3, 6, 9 y 18 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna. La decimonovena fila enumera el número 19, en rojo, debajo de la columna “Número”, los números 1 y 19 debajo de la columna “Factores” y la palabra primo bajo la columna “¿Prime o Compuesto?” columna. La vigésima fila enumera el número 20 bajo la columna “Número”, los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 debajo de la columna “Factores” y la palabra compuesta debajo de “¿Prime o Compuesto?” columna.

    Figura\(\PageIndex{5}\): Factores de los números de conteo del 2 al 20, con números primos resaltados

    Los números primos menores que\(20\) son\(2\)\(3\),\(5\),\(7\),\(11\),\(13\),\(17\), y\(19\). También hay muchos números primos más grandes. Para determinar si un número es primo o compuesto, necesitamos ver si el número tiene algún factor que no sea\(1\) y él mismo. Para ello, podemos probar cada uno de los números primos más pequeños para ver si es un factor del número. Si ninguno de los números primos es factor, entonces ese número también es primo.

    COMO: DETERMINAR SI UN NUMERO ES PRIME.
    • Paso 1. Pruebe cada uno de los primos, en orden, para ver si es un factor del número.
    • Paso 2. Comience con\(2\) y pare cuando el cociente sea menor que el divisor o cuando se encuentre un factor primo.
    • Paso 3. Si el número tiene un factor primo, entonces es un número compuesto. Si no tiene factores primos, entonces el número es primo.
    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): prime or composite

    Identificar cada número como primo o compuesto:

    1. \(83\)
    2. \(77\)

    Solución

    1. Pruebe cada primo, en orden, para ver si es un factor de\(83\), comenzando con\(2\), como se muestra. Nos detendremos cuando el cociente sea menor que el divisor.
    Prime Test ¿Factor de 83?
    2 El último dígito de 83 no es 0, 2, 4, 6 o 8. No.
    3 8 + 3 = 11, y 11 no es divisible por 3. No.
    5 El último dígito de 83 no es 5 ni 0. No.
    7 83 ÷ 7 = 11.857... No.
    11 83 ÷ 11 = 7.545... No.

    Podemos parar cuando lleguemos a\(11\) porque el cociente (\(7.545…\)) es menor que el divisor. No encontramos números primos que sean factores de\(83\), así que sabemos que\(83\) es primo.

    1. Pruebe cada primo, en orden, para ver si es un factor de\(77\).
    Prime Test ¿Factor de 77?
    2 El último dígito no es 0, 2, 4, 6 o 8. No.
    3 7 + 7 = 14, y 14 no es divisible por 3. No.
    5 El último dígito no es 5 ni 0. No.
    7 77 ÷ 7 = 11 Sí.

    Ya que\(77\) es divisible por\(7\), sabemos que no es un número primo. Es compuesto.

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Identificar el número como primo o compuesto:\(91\)

    Contestar

    compuesto

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Identificar el número como primo o compuesto:\(137\)

    Contestar

    prime

    Conceptos clave

    Pruebas de Divisibilidad
    Un número es divisible por  
    2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8
    3 si la suma de los dígitos es divisible por 3
    5 si el último dígito es 5 o 0
    6 si es divisible por 2 y 3
    10 si el último dígito es 0
    • Factores Si\(a\cdot b = m\), entonces\(a\) y\(b\) son factores de\(m\), y\(m\) es producto de\(a\) y\(b\).
    • Encuentra todos los factores de un número de conteo.
      • Divida el número por cada uno de los números de conteo, en orden, hasta que el cociente sea menor que el divisor.
        • Si el cociente es un número de conteo, el divisor y el cociente son un par de factores.
        • Si el cociente no es un número de conteo, el divisor no es un factor.
      • Enumere todos los pares de factores.
      • Escribe todos los factores en orden de menor a mayor.
    • Determina si un número es primo.
      • Pruebe cada uno de los primos, en orden, para ver si es un factor del número.
      • Comience con\(2\) y pare cuando el cociente sea menor que el divisor o cuando se encuentre un factor primo.
      • Si el número tiene un factor primo, entonces es un número compuesto. Si no tiene factores primos, entonces el número es primo.

    Glosario

    múltiplo de un número

    Un número es un múltiplo de\(n\) si es producto de un número de conteo y\(n\)

    divisibilidad

    Si un número\(m\) es un múltiplo de\(n\), entonces decimos que\(m\) es divisible por\(n\).

    número primo

    Un número primo es un número de conteo mayor a\(1\) cuyos únicos factores son\(1\) y en sí mismo.

    número compuesto

    Un número compuesto es un número de conteo que no es primo.

    La práctica hace la perfección

    Identificar múltiplos de números

    En los siguientes ejercicios, enumere todos los múltiplos menores a 50 para el número dado.

    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5
    5. 6
    6. 7
    7. 8
    8. 9
    9. 10
    10. 12

    Usar pruebas comunes de divisibilidad

    En los siguientes ejercicios, utilice las pruebas de divisibilidad para determinar si cada número es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.

    1. 84
    2. 96
    3. 75
    4. 78
    5. 168
    6. 264
    7. 900
    8. 800
    9. 896
    10. 942
    11. 375
    12. 750
    13. 350
    14. 550
    15. 1430
    16. 1080
    17. 22,335
    18. 39,075

    Encuentra todos los factores de un número

    En los siguientes ejercicios, encuentra todos los factores del número dado.

    1. 36
    2. 42
    3. 60
    4. 48
    5. 144
    6. 200
    7. 588
    8. 576

    Identificar números primos y compuestos

    En los siguientes ejercicios, determine si el número dado es primo o compuesto.

    1. 43
    2. 67
    3. 39
    4. 53
    5. 71
    6. 119
    7. 481
    8. 221
    9. 209
    10. 359
    11. 667
    12. 1771

    Matemáticas cotidianas

    1. Banca La abuela de Frank le dio 100 dólares en su graduación de secundaria. En lugar de gastarlo, Frank abrió una cuenta bancaria. Cada semana, agregaba 15 dólares a la cuenta. En la tabla se muestra cuánto dinero había puesto Frank en la cuenta al final de cada semana. Completa la mesa rellenando los espacios en blanco.
    Semanas después de la graduación Cantidad total de dólares que Frank puso en la cuenta Total simplificado
    0 100 100
    1 100 + 15 115
    2 100 + 15 • 2 130
    3 100 + 15 • 3  
    4 100 + 15 • []  
    5 100 + []  
    6    
    20    
    x    
    1. Banca En marzo, Gina abrió una cuenta de ahorros del club navideño en su banco. Ella depositó 75 dólares para abrir la cuenta. Cada semana, ella agregaba 20 dólares a la cuenta. En la tabla se muestra cuánto dinero había puesto Gina en la cuenta al final de cada semana. Completa la mesa rellenando los espacios en blanco.
    Semanas después de abrir la cuenta Cantidad total de dólares que Gina puso en la cuenta Total simplificado
    0 75 75
    1 75 + 20 95
    2 75 + 20 • 2 115
    3 75 + 20 • 3  
    4 75 + 20 • []  
    5 75 + []  
    6    
    20    
    x    

    Ejercicios de escritura

    1. Si un número es divisible por 2 y por 3, ¿por qué también es divisible por 6?
    2. ¿Cuál es la diferencia entre números primos y números compuestos?

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    b) En una escala del 1 al 10, ¿cómo calificaría su dominio de esta sección a la luz de sus respuestas en la lista de verificación? ¿Cómo se puede mejorar esto?

    Colaboradores y Atribuciones

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