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2.10: Factorización de Prime y el Múltiple Mínimo Común (Parte 2)

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    Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de dos números

    Una de las razones por las que miramos múltiplos y primos es utilizar estas técnicas para encontrar el múltiplo menos común de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.

    Método Multiples de Listado

    Un múltiplo común de dos números es un número que es un múltiplo de ambos números. Supongamos que queremos encontrar múltiplos comunes de 10 y 25. Podemos enumerar los primeros varios múltiplos de cada número. Entonces buscamos múltiplos que sean comunes a ambas listas, estos son los múltiplos comunes.

    \[\begin{split} 10 & \colon \; 10, 20, 30, 40, \textbf{50}, 60, 70, 80, 90, \textbf{100}, 110, \ldots \\ 25 & \colon \; 25, \textbf{50}, 75, \textbf{100}, 125, \ldots \end{split} \nonumber \]

    Eso lo vemos\(50\) y\(100\) aparecen en ambas listas. Son múltiplos comunes de\(10\) y\(25\). Encontraríamos múltiplos más comunes si continuáramos la lista de múltiplos para cada uno.

    El número más pequeño que es un múltiplo de dos números se llama el múltiplo menos común (LCM). Entonces el menor LCM de\(10\) y\(25\) es\(50\).

    CÓMO: ENCONTRAR EL MÚLTIPLE MENOS COMÚN (LCM) DE DOS NÚ

    Paso 1. Enumere los primeros varios múltiplos de cada número.

    Paso 2. Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.

    Paso 3. Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.

    Paso 4. Este número es el LCM.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): lcm

    Encuentre el LCM de\(15\) y\(20\) enumerando múltiplos.

    Solución

    Enumere los primeros varios múltiplos de\(15\) y de\(20\). Identificar el primer múltiplo común.

    \[\begin{split}15 & \colon \; 15, 30, 45, \textbf{60}, 75, 90, 105, 120 \\ 20 & \colon \; 20, 40, \textbf{60}, 80, 100, 120, 140, 160 \end{split} \nonumber\]

    El número más pequeño que aparece en ambas listas es\(60\), por lo que\(60\) es el múltiplo menos común de\(15\) y\(20\). Observe que también\(120\) está en ambas listas. Es un múltiplo común, pero no es el múltiplo menos común.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de los números dados:\(9\) y\(12\)

    Contestar

    \(36\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de los números dados:\(18\) y\(24\)

    Contestar

    \(72\)

    Método de factores primos

    Otra forma de encontrar el múltiplo menos común de dos números es usar sus factores primos. Utilizaremos este método para encontrar el LCM de\(12\) y\(18\).

    Comenzamos por encontrar la factorización prima de cada número.

    \[12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \nonumber\]

    Después escribimos cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.

    \[\begin{split} 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 & = 2 \cdot \quad \; 3 \cdot 3 \end{split} \nonumber \]

    Ahora bajamos los primos en cada columna. El LCM es el producto de estos factores.

    La imagen muestra la factorización prima de 12 escrita como la ecuación 12 es igual a 2 veces 2 por 3. Debajo de esta ecuación hay otra que muestra la factorización prima de 18 escrita como la ecuación 18 es igual a 2 veces 3 por 3. Las dos ecuaciones se alinean verticalmente en el símbolo igual. El primero 2 en la factorización prima de 12 se alinea con el 2 en la factorización prima de 18. Bajo el segundo 2 en la factorización prima de 12 hay una brecha en la factorización prima de 18. Bajo el 3 en la factorización prima de 12 es el primero 3 en la factorización primo de 18. El segundo 3 en la desfactorización primo no tiene factores por encima de él de la factorización primo de 12. Se dibuja una línea horizontal bajo la factorización prima de 18. Por debajo de esta línea se encuentra la ecuación LCM igual a 2 veces 2 veces 3 veces 3 veces 3. Las flechas se dibujan verticalmente desde la factorización prima de 12 hasta la factorización principal de 18 terminando en la ecuación LCM. La primera flecha comienza en los primeros 2 en la factorización prima de 12 y continúa hacia abajo a través de la 2 en la factorización prima de 18. Terminando con los 2 primeros en la LCM. La segunda flecha comienza en los 2 siguientes en la factorización prima de 12 y continúa hacia abajo a través de la brecha en la factorización prima de 18. Terminando con el segundo 2 en la LCM. La tercera flecha comienza en el 3 en la factorización prima de 12 y continúa hacia abajo a través de los primeros 3 en la factorización prima de 18. Terminando con los 3 primeros en la LCM. La última flecha comienza en el segundo 3 en la factorización principal de 18 y apunta hacia abajo a la segunda 3 en el LCM.

    Observe que los factores primos de\(12\) y los factores primos de\(18\) están incluidos en el MCM. Al hacer coincidir los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. Esto asegura que\(36\) es el múltiplo menos común.

    CÓMO: ENCONTRAR LA LCM USANDO EL MÉTODO DE FACTORES PRIM

    Paso 1. Encuentra la factorización primo de cada número.

    Paso 2. Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.

    Paso 3. Baje los primos en cada columna.

    Paso 4. Multiplica los factores para obtener el LCM.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\): lcm

    Encuentra el LCM de\(15\) y\(18\) usando el método de factores primos.

    Solución

    Escribe cada número como producto de primos. \(15 = 3 \cdot 5 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
    Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible. \(\begin{split} 15 & = \quad \; 3 \cdot \qquad 5 \\ 18 & = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{split}\)
    Baje los primos en cada columna.
    Multiplica los factores para obtener el LCM.

    LCM = 2 • 3 • 3 • 5

    El LCM de 15 y 18 es de 90.
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(15\) y\(20\)

    Contestar

    \(60\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(15\) y\(35\)

    Contestar

    \(105\)

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): lcm

    Encuentra el LCM de\(50\) y\(100\) usando el método de factores primos.

    Solución

    Escribe la factorización prima de cada número. \(50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \qquad 100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\)
    Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible. \(\begin{split} 50 & = \quad \; 2 \cdot 5 \cdot 5 \\ 100 & = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \end{split}\)
    Baje los primos en cada columna.
    Multiplica los factores para obtener el LCM.

    LCM = 2 • 2 • 5 • 5

    El LCM de 50 y 100 es de 100.
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(55, 88\)

    Contestar

    \(440\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(60, 72\)

    Contestar

    \(360\)

    Conceptos clave

    • Encuentre la factorización primo de un número compuesto usando el método de árbol.
      • Encuentra cualquier par de factores del número dado, y usa estos números para crear dos ramas.
      • Si un factor es primo, esa rama está completa. Da un círculo a la prima.
      • Si un factor no es primo, escríbelo como producto de un par de factores y continúe el proceso.
      • Escriba el número compuesto como el producto de todos los primos en un círculo.
    • Encuentre la factorización primo de un número compuesto usando el método de escalera.
      • Divide el número por el primo más pequeño.
      • Continúa dividiendo por ese primo hasta que ya no se divida uniformemente.
      • Divide por el siguiente primo hasta que ya no se divida uniformemente.
      • Continuar hasta que el cociente sea primo.
      • Escriba el número compuesto como producto de todos los primos en los lados y la parte superior de la escalera.
    • Encuentra el LCM enumerando múltiplos.
      • Enumere los primeros varios múltiplos de cada número.
      • Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
      • Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.
      • Este número es el LCM.
    • Encuentra el LCM usando el método de factores primos.
      • Encuentra la factorización primo de cada número.
      • Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
      • Baje los primos en cada columna.
      • Multiplique los factores para obtener el LCM.

    Glosario

    mínimo común múltiplo

    El número más pequeño que es un múltiplo de dos números se llama el múltiplo menos común (LCM).

    factorización prima

    La desfactorización de un número es el producto de números primos que es igual al número.

    La práctica hace la perfección

    Encuentre la factorización principal de un número compuesto

    En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando el método del árbol de factores.

    1. 86
    2. 78
    3. 132
    4. 455
    5. 693
    6. 420
    7. 115
    8. 225
    9. 2475
    10. 1560

    En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando el método de escalera.

    1. 56
    2. 72
    3. 168
    4. 252
    5. 391
    6. 400
    7. 432
    8. 627
    9. 2160
    10. 2520

    En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando cualquier método.

    1. 150
    2. 180
    3. 525
    4. 444
    5. 36
    6. 50
    7. 350
    8. 144

    Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de dos números

    En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (LCM) enumerando múltiplos.

    1. 8, 12
    2. 4, 3
    3. 6, 15
    4. 12, 16
    5. 30, 40
    6. 20, 30
    7. 60, 75
    8. 44, 55

    En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (LCM) usando el método de factores primos.

    1. 8, 12
    2. 12, 16
    3. 24, 30
    4. 28, 40
    5. 70, 84
    6. 84, 90

    En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (MCM) usando cualquier método.

    1. 6, 21
    2. 9, 15
    3. 24, 30
    4. 32, 40

    Matemáticas cotidianas

    1. Compras de comestibles Los hot dogs se venden en paquetes de diez, pero los bollos de hot dog vienen en paquetes de ocho. ¿Cuál es el menor número de perritos calientes y bollos que se pueden comprar si quieres tener el mismo número de hot dogs y bollos? (Pista: ¡es el LCM!)
    2. Compras de comestibles Los platos de papel se venden en paquetes de 12 y los vasos de fiesta vienen en paquetes de 8. ¿Cuál es el menor número de platos y tazas que puedes adquirir si quieres tener el mismo número de cada uno? (Pista: ¡es el LCM!)

    Ejercicios de escritura

    1. ¿Prefiere encontrar la factorización prima de un número compuesto usando el método de árbol de factores o el método de escalera? ¿Por qué?
    2. ¿Prefiere encontrar el LCM enumerando múltiplos o usando el método de factores primos? ¿Por qué?

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?

    Colaboradores y Atribuciones

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