2.10: Factorización de Prime y el Múltiple Mínimo Común (Parte 2)
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Una de las razones por las que miramos múltiplos y primos es utilizar estas técnicas para encontrar el múltiplo menos común de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.
Método Multiples de Listado
Un múltiplo común de dos números es un número que es un múltiplo de ambos números. Supongamos que queremos encontrar múltiplos comunes de 10 y 25. Podemos enumerar los primeros varios múltiplos de cada número. Entonces buscamos múltiplos que sean comunes a ambas listas, estos son los múltiplos comunes.
\[\begin{split} 10 & \colon \; 10, 20, 30, 40, \textbf{50}, 60, 70, 80, 90, \textbf{100}, 110, \ldots \\ 25 & \colon \; 25, \textbf{50}, 75, \textbf{100}, 125, \ldots \end{split} \nonumber \]
Eso lo vemos\(50\) y\(100\) aparecen en ambas listas. Son múltiplos comunes de\(10\) y\(25\). Encontraríamos múltiplos más comunes si continuáramos la lista de múltiplos para cada uno.
El número más pequeño que es un múltiplo de dos números se llama el múltiplo menos común (LCM). Entonces el menor LCM de\(10\) y\(25\) es\(50\).
Paso 1. Enumere los primeros varios múltiplos de cada número.
Paso 2. Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
Paso 3. Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.
Paso 4. Este número es el LCM.
Encuentre el LCM de\(15\) y\(20\) enumerando múltiplos.
Solución
Enumere los primeros varios múltiplos de\(15\) y de\(20\). Identificar el primer múltiplo común.
\[\begin{split}15 & \colon \; 15, 30, 45, \textbf{60}, 75, 90, 105, 120 \\ 20 & \colon \; 20, 40, \textbf{60}, 80, 100, 120, 140, 160 \end{split} \nonumber\]
El número más pequeño que aparece en ambas listas es\(60\), por lo que\(60\) es el múltiplo menos común de\(15\) y\(20\). Observe que también\(120\) está en ambas listas. Es un múltiplo común, pero no es el múltiplo menos común.
Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de los números dados:\(9\) y\(12\)
- Contestar
-
\(36\)
Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de los números dados:\(18\) y\(24\)
- Contestar
-
\(72\)
Método de factores primos
Otra forma de encontrar el múltiplo menos común de dos números es usar sus factores primos. Utilizaremos este método para encontrar el LCM de\(12\) y\(18\).
Comenzamos por encontrar la factorización prima de cada número.
\[12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \nonumber\]
Después escribimos cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
\[\begin{split} 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 & = 2 \cdot \quad \; 3 \cdot 3 \end{split} \nonumber \]
Ahora bajamos los primos en cada columna. El LCM es el producto de estos factores.
Observe que los factores primos de\(12\) y los factores primos de\(18\) están incluidos en el MCM. Al hacer coincidir los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. Esto asegura que\(36\) es el múltiplo menos común.
Paso 1. Encuentra la factorización primo de cada número.
Paso 2. Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
Paso 3. Baje los primos en cada columna.
Paso 4. Multiplica los factores para obtener el LCM.
Encuentra el LCM de\(15\) y\(18\) usando el método de factores primos.
Solución
Escribe cada número como producto de primos. | \(15 = 3 \cdot 5 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\) |
Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible. | \(\begin{split} 15 & = \quad \; 3 \cdot \qquad 5 \\ 18 & = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{split}\) |
Baje los primos en cada columna. | ![]() |
Multiplica los factores para obtener el LCM. |
LCM = 2 • 3 • 3 • 5 El LCM de 15 y 18 es de 90. |
Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(15\) y\(20\)
- Contestar
-
\(60\)
Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(15\) y\(35\)
- Contestar
-
\(105\)
Encuentra el LCM de\(50\) y\(100\) usando el método de factores primos.
Solución
Escribe la factorización prima de cada número. | \(50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \qquad 100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\) |
Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible. | \(\begin{split} 50 & = \quad \; 2 \cdot 5 \cdot 5 \\ 100 & = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \end{split}\) |
Baje los primos en cada columna. | ![]() |
Multiplica los factores para obtener el LCM. |
LCM = 2 • 2 • 5 • 5 El LCM de 50 y 100 es de 100. |
Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(55, 88\)
- Contestar
-
\(440\)
Encuentre el LCM usando el método de factores primos:\(60, 72\)
- Contestar
-
\(360\)
Acceda a recursos adicionales en línea
- Ex 1: Factorización Prime
- Ex 2: Factorización Prime
- Ex 3: Factorización Prime
- Ejemplo 1: Factorización Prime Usando División Apilada
- Ex 2: Factorización Prime Usando División Apilada
- El múltiplo menos común
- Ejemplo: Determinar el múltiplo menos común usando una lista de múltiplos
- Ejemplo: Determinación del Múltiple Mínimo Común Usando Factorización Prima
Conceptos clave
- Encuentre la factorización primo de un número compuesto usando el método de árbol.
- Encuentra cualquier par de factores del número dado, y usa estos números para crear dos ramas.
- Si un factor es primo, esa rama está completa. Da un círculo a la prima.
- Si un factor no es primo, escríbelo como producto de un par de factores y continúe el proceso.
- Escriba el número compuesto como el producto de todos los primos en un círculo.
- Encuentre la factorización primo de un número compuesto usando el método de escalera.
- Divide el número por el primo más pequeño.
- Continúa dividiendo por ese primo hasta que ya no se divida uniformemente.
- Divide por el siguiente primo hasta que ya no se divida uniformemente.
- Continuar hasta que el cociente sea primo.
- Escriba el número compuesto como producto de todos los primos en los lados y la parte superior de la escalera.
- Encuentra el LCM enumerando múltiplos.
- Enumere los primeros varios múltiplos de cada número.
- Busque múltiplos comunes a ambas listas. Si no hay múltiplos comunes en las listas, escriba múltiplos adicionales para cada número.
- Busque el número más pequeño que sea común a ambas listas.
- Este número es el LCM.
- Encuentra el LCM usando el método de factores primos.
- Encuentra la factorización primo de cada número.
- Escribe cada número como producto de primos, haciendo coincidir los primos verticalmente cuando sea posible.
- Baje los primos en cada columna.
- Multiplique los factores para obtener el LCM.
Glosario
- mínimo común múltiplo
-
El número más pequeño que es un múltiplo de dos números se llama el múltiplo menos común (LCM).
- factorización prima
-
La desfactorización de un número es el producto de números primos que es igual al número.
La práctica hace la perfección
Encuentre la factorización principal de un número compuesto
En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando el método del árbol de factores.
- 86
- 78
- 132
- 455
- 693
- 420
- 115
- 225
- 2475
- 1560
En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando el método de escalera.
- 56
- 72
- 168
- 252
- 391
- 400
- 432
- 627
- 2160
- 2520
En los siguientes ejercicios, encuentra la factorización prima de cada número usando cualquier método.
- 150
- 180
- 525
- 444
- 36
- 50
- 350
- 144
Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de dos números
En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (LCM) enumerando múltiplos.
- 8, 12
- 4, 3
- 6, 15
- 12, 16
- 30, 40
- 20, 30
- 60, 75
- 44, 55
En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (LCM) usando el método de factores primos.
- 8, 12
- 12, 16
- 24, 30
- 28, 40
- 70, 84
- 84, 90
En los siguientes ejercicios, encuentra el múltiplo menos común (MCM) usando cualquier método.
- 6, 21
- 9, 15
- 24, 30
- 32, 40
Matemáticas cotidianas
- Compras de comestibles Los hot dogs se venden en paquetes de diez, pero los bollos de hot dog vienen en paquetes de ocho. ¿Cuál es el menor número de perritos calientes y bollos que se pueden comprar si quieres tener el mismo número de hot dogs y bollos? (Pista: ¡es el LCM!)
- Compras de comestibles Los platos de papel se venden en paquetes de 12 y los vasos de fiesta vienen en paquetes de 8. ¿Cuál es el menor número de platos y tazas que puedes adquirir si quieres tener el mismo número de cada uno? (Pista: ¡es el LCM!)
Ejercicios de escritura
- ¿Prefiere encontrar la factorización prima de un número compuesto usando el método de árbol de factores o el método de escalera? ¿Por qué?
- ¿Prefiere encontrar el LCM enumerando múltiplos o usando el método de factores primos? ¿Por qué?
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?