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3.2: Introducción a los números enteros (Parte 2)

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    114201
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Tratamos las barras de valores absolutos tal como tratamos los paréntesis en el orden de las operaciones. Simplificamos primero la expresión dentro.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): evaluate

    Evaluar:

    1. \(|x|\)cuando\(x = −35\)
    2. \(|−y|\)cuando\(y = −20\)
    3. \(− |u|\)cuando\(u = 12\)
    4. \(− |p|\)cuando\(p = −14\)

    Solución

    Para encontrar |x| cuando x = −35: \(|x|\)
    Sustituto\(\textcolor{red}{-35}\) por x. \(|\textcolor{red}{-35}|\)
    Toma el valor absoluto. \(35\)
    Para encontrar |− y| cuando y = −20: \(|-y|\)
    Sustituto\(\textcolor{red}{-20}\) de y. \(|-(\textcolor{red}{-20})|\)
    Simplificar. \(|20|\)
    Toma el valor absoluto. \(20\)
    Para encontrar -|u| cuando u = 12: \(-|u|\)
    Sustituto\(\textcolor{red}{12}\) de la u. \(-|\textcolor{red}{12}|\)
    Toma el valor absoluto. \(-12\)
    Para encontrar −|p| cuando p = −14: \(-|p|\)
    Sustituto\(\textcolor{red}{-14}\) de p. \(-|\textcolor{red}{-14}|\)
    Toma el valor absoluto. \(-14\)

    Observe que el resultado es negativo solo cuando hay un signo negativo fuera del símbolo de valor absoluto

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Evaluar:

    1. \(|x|\)cuando\(x = −17\)
    2. \(|−y|\)cuando\(y = −39\)
    3. \(− |m|\)cuando\(m = 22\)
    4. \(− |p|\)cuando\(p = −11\)
    Contestar a

    \(17\)

    Respuesta b

    \(39\)

    Respuesta c

    \(-22\)

    Respuesta d

    \(11\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Evaluar:

    1. \(|y|\)cuando\(y = −23\)
    2. \(|−y|\)cuando\(y = −21\)
    3. \(− |n|\)cuando\(n = 37\)
    4. \(− |q|\)cuando\(q = −49\)
    Contestar a

    \(23\)

    Respuesta b

    \(21\)

    Respuesta c

    \(-37\)

    Respuesta d

    \(-49\)

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): compare expressions

    Rellene\(<\),\(>\) o\(=\) para cada uno de los siguientes:

    1. \(|−5|\)___\(− |−5|\)
    2. \(8\)___\(− |−8|\)
    3. \(−9\)___\(− |−9|\)
    4. \(− |−7|\)___\(−7\)

    Solución

    Para comparar dos expresiones, primero simplifique cada una. A continuación, compare.

      |−5|___− |−5|
    Simplificar. 5___−5
    Orden. 5 > −5
      8___− |−8|
    Simplificar. 8___−8
    Orden. 8 > −8
      −9___− |−9|
    Simplificar. −9___−9
    Orden. −9 = −9
      −|−7|___−7
    Simplificar. −7___−7
    Orden. −7 = −7
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Rellene\(<\),\(>\), o\(=\) para cada uno de los siguientes:

    1. \(|−9|\)___\(− |−9|\)
    2. \(2\)___\(− |−2|\)
    3. \(−8\)___\(|−8|\)
    4. \(− |−5|\)___\(−5\)
    Contestar a

    \(>\)

    Respuesta b

    \(>\)

    Respuesta c

    \(<\)

    Respuesta d

    \(=\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Rellene\(<\),\(>\), o\(=\) para cada uno de los siguientes:

    1. \(7\)___\(− |−7|\)
    2. \(− |−11|\)___\(−11\)
    3. \(|−4|\)___\(− |−4|\)
    4. \(−1\)___\(|−1|\)
    Contestar a

    \(>\)

    Respuesta b

    \(=\)

    Respuesta c

    \(>\)

    Respuesta d

    \(<\)

    Las barras de valores absolutos actúan como símbolos de agrupación. Primero simplifique dentro de las barras de valor absoluto tanto como sea posible. Luego tome el valor absoluto del número resultante, y continúe con cualquier operación fuera de los símbolos de valor absoluto.

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): simplify

    Simplificar:

    1. \(|9−3|\)
    2. \(4|−2|\)

    Solución

    Para cada expresión, siga el orden de las operaciones. Comience dentro de los símbolos de valor absoluto al igual que con los paréntesis.

    Simplificar dentro del signo de valor absoluto. |9−3| = |6|
    Toma el valor absoluto. 6
    Toma el valor absoluto. 4|−2| = 4 • 2
    Multiplicar. 8
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Simplificar:

    1. \(|12 − 9|\)
    2. \(3|−6|\)
    Contestar a

    \(3\)

    Respuesta b

    \(18\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Simplificar:

    1. \(|27 − 16|\)
    2. \(9|−7|\)
    Contestar a

    \(11\)

    Respuesta b

    \(63\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\): simplify

    Simplificar:\(|8 + 7| − |5 + 6|\).

    Solución

    Para cada expresión, siga el orden de las operaciones. Comience dentro de los símbolos de valor absoluto al igual que con los paréntesis.

    Simplifica dentro de cada signo de valor absoluto. |8+7|−|5+6| = |15|−|11|
    Restar. 4
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Simplificar:\(|1 + 8| − |2 + 5|\)

    Contestar

    \(2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Simplificar:\(|9−5| − |7 − 6|\)

    Contestar

    \(3\)

    Ejemplo\(\PageIndex{11}\): simplify

    Simplificar:\(24 − |19 − 3(6 − 2)|\).

    Solución

    Utilizamos el orden de las operaciones. Recuerde simplificar primero los símbolos de agrupación, por lo que los paréntesis dentro de los símbolos de valor absoluto serían los primeros.

    Simplifique primero entre paréntesis. 24 − |19 − 3 (6 − 2) | = 24 − |19 − 3 (4) |
    Multiplicar 3 (4). 24 − |19 − 12|
    Restar dentro del signo de valor absoluto. 24 − |7|
    Toma el valor absoluto. 24 - 7
    Restar. 17
    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

    Simplificar:\(19 − |11 − 4(3 − 1)|\)

    Contestar

    \(16\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

    Simplificar:\(9 − |8 − 4(7 − 5)|\)

    Contestar

    \(9\)

    Traducir frases de palabras en expresiones con números enteros

    Ahora podemos traducir frases de palabras en expresiones con enteros. Busca palabras que indiquen un signo negativo. Por ejemplo, la palabra negativo en “veinte negativo” indica\(−20\). También lo hace la palabra opuesta en “lo contrario de”\(20\).

    Ejemplo\(\PageIndex{12}\): translate

    Traduce cada frase en una expresión con números enteros:

    1. lo contrario de catorce positivos
    2. lo contrario de\(−11\)
    3. dieciséis
    4. dos menos menos siete

    Solución

    1. lo contrario de catorce\(−14\)
    2. lo contrario de\(−11 − (−11)\)
    3. dieciséis menos\(−16\)
    4. dos menos menos siete\(2 − (−7)\)
    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Traduce cada frase en una expresión con números enteros:

    1. lo contrario de nueve positivos
    2. lo contrario de\(−15\)
    3. menos veinte
    4. once menos menos cuatro
    Contestar a

    \(-9\)

    Respuesta b

    \(15\)

    Respuesta c

    \(-20\)

    Respuesta d

    \(11-(-4)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

    Traduce cada frase en una expresión con números enteros:

    1. lo contrario de negativo diecinueve
    2. lo contrario de veintidós
    3. menos nueve
    4. menos ocho menos menos cinco
    Contestar a

    \(19\)

    Respuesta b

    \(-22\)

    Respuesta c

    \(-9\)

    Respuesta d

    \(-8-(-5)\)

    Como vimos al inicio de esta sección, se necesitan números negativos para describir muchas situaciones del mundo real. Veremos algunas aplicaciones más de números negativos en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{13}\): translate

    Traducir en una expresión con números enteros:

    1. La temperatura es\(12\) grados Fahrenheit bajo cero.
    2. El equipo de futbol tuvo una ganancia de\(3\) yardas.
    3. La elevación del Mar Muerto está a\(1,302\) pies por debajo del nivel del mar.
    4. Una cuenta corriente está sobregirada por\($40\).

    Solución

    Busca frases clave en cada oración. Entonces busca palabras que indiquen signos negativos. No olvide incluir las unidades de medida descritas en la oración.

      La temperatura es de 12 grados Fahrenheit bajo cero.
    Bajo cero nos dice que 12 es un número negativo. −12 ºF
      El equipo de futbol tuvo una ganancia de 3 yardas.
    Una ganancia nos dice que 3 es un número positivo. 3 yardas
      La elevación del Mar Muerto es de 1,302 pies bajo el nivel del mar.
    Bajo el nivel del mar nos dice que 1,302 es un número negativo. −1,302 pies
      Una cuenta corriente está sobregirada por $40.
    Sobregirado nos dice que 40 es un número negativo. −$40
    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Traducir en una expresión con enteros: El equipo de fútbol tuvo una ganancia de\(5\) yardas.

    Contestar

    \(5\)yardas

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Traducir en una expresión con enteros: El buceador estaba a\(30\) pies por debajo de la superficie del agua.

    Contestar

    \(-30\)pies

    Conceptos clave

    • Notación opuesta
      • La notación\(-a\) se lee lo contrario de\(a\)
    • Notación de valor absoluto
      • El valor absoluto de un número\(n\) se escribe como\(|n|\).

    Glosario

    valor absoluto

    El valor absoluto de un número es su distancia desde\(0\) la línea numérica.

    enteros

    Los enteros son números contando, sus opuestos, y cero... \(–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ...\)

    número negativo

    Un número negativo es menor que cero.

    opuestos

    Lo contrario de un número es el número que está a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en el lado opuesto de cero.

    La práctica hace la perfección

    Localizar números positivos y negativos en la línea numérica

    En los siguientes ejercicios, localice y etiquete los puntos dados en una recta numérica.

    1. (a) 2 (b) −2 (c) −5
    2. (a) 5 (b) −5 (c) −2
    3. (a) −8 (b) 8 (c) −6
    4. (a) −7 (b) 7 (c) −1

    Ordene números positivos y negativos en la línea numérica

    En los siguientes ejercicios, ordene cada uno de los siguientes pares de números, utilizando < or >.

    1. (a) 9__4 (b) −3__6 (c) −8__−2 (d) 1__−10
    2. (a) 6__2; (b) −7__4; (c) −9__−1; (d) 9__−3
    3. (a) −5__1; (b) −4__−9; (c) 6__10; (d) 3__−8
    4. (a) −7__3; (b) −10__−5; (c) 2__−6; (d) 8__9

    Encuentra opuestos

    En los siguientes ejercicios, encuentra lo contrario de cada número.

    1. (a) 2 (b) −6
    2. (a) 9 (b) −4
    3. (a) −8 (b) 1
    4. (a) −2 (b) 6

    En los siguientes ejercicios, simplifique.

    1. − (−4)
    2. − (−8)
    3. − (−15)
    4. − (−11)

    En los siguientes ejercicios, evalúe.

    1. −m cuando (a) m = 3 (b) m = −3
    2. −p cuando (a) p = 6 (b) p = −6
    3. −c cuando (a) c = 12 (b) c = −12
    4. −d cuando (a) d = 21 (b) d = −21

    Simplificar expresiones con valor absoluto

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión de valor absoluto.

    1. (a) |7| (b) |−25| (c) |0|
    2. (a) |5| (b) |20| (c) |−19|
    3. (a) |−32| (b) |−18| (c) |16|
    4. (a) |−41| (b) |−40| (c) |22|

    En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión de valor absoluto.

    1. (a) |x| cuando x = −28 (b) | − u| cuando u = −15
    2. (a) |y| cuando y = −37 (b) | − z| cuando z = −24
    3. (a) − |p| cuando p = 19 (b) − |q| cuando q = −33
    4. (a) − |a| cuando a = 60 (b) − |b| cuando b = −12

    En los siguientes ejercicios, rellene, o = para comparar cada expresión.

    1. (a) −6__|−6| (b) − |−3|__−3
    2. (a) −8__|−8| (b) − |−2|__−2
    3. (a) |−3|__− |−3| (b) 4__− |−4|
    4. (a) |−5|__− |−5| (b) 9__− |−9|

    En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión.

    1. |8 − 4|
    2. |9 − 6|
    3. 8|−7|
    4. 5|−5|
    5. |15 − 7| − |14 − 6|
    6. |17 − 8| − |13 − 4|
    7. 18 − |2 (8 − 3) |
    8. 15 − |3 (8 − 5) |
    9. 8 (14 − 2|−2|)
    10. 6 (13 − 4|−2|)

    Traducir frases de palabras en expresiones con números enteros

    Traduzca cada frase en una expresión con números enteros. No simplifique.

    1. (a) lo opuesto de 8 (b) el opuesto de −6 (c) negativo tres (d) 4 menos negativo 3
    2. (a) lo opuesto de 11 (b) el opuesto de −4 (c) negativo nueve (d) 8 menos negativo 2
    3. (a) lo opuesto de 20 (b) el opuesto de −5 (c) negativo doce (d) 18 menos negativo 7
    4. (a) lo opuesto de 15 (b) el opuesto de −9 (c) negativo sesenta (d) 12 menos 5
    5. una temperatura de 6 grados bajo cero
    6. una temperatura de 14 grados bajo cero
    7. una elevación de 40 pies bajo el nivel del mar
    8. una elevación de 65 pies bajo el nivel del mar
    9. una pérdida de juego de fútbol de 12 yardas
    10. una ganancia de juego de fútbol de 4 yardas
    11. una ganancia de acciones de $3
    12. una pérdida de stock de $5
    13. una puntuación de golf uno por encima del par
    14. una puntuación de golf de 3 por debajo del par

    Matemáticas cotidianas

    1. Elevación La elevación más alta en los Estados Unidos es el Monte McKinley, Alaska, a 20,320 pies sobre el nivel del mar. La elevación más baja es Valle de la Muerte, California, a 282 pies bajo el nivel del mar. Usa enteros para escribir la elevación de: (a) Mount McKinley (b) Valle de la Muerte
    2. Temperaturas extremas La temperatura más alta registrada en la Tierra es de 58° Celsius, registrada en el desierto del Sahara en 1922. La temperatura más baja registrada es 90° por debajo de 0° Celsius, registrada en la Antártida en 1983. Use números enteros para escribir: (a) la temperatura más alta registrada (b) la temperatura más baja registrada
    3. Presupuestos estatales En junio de 2011, el estado de Pensilvania estimó que tendría un superávit presupuestal de 540 millones de dólares. Ese mismo mes, Texas estimó que tendría un déficit presupuestario de 27 mil millones de dólares. Usar enteros para escribir el presupuesto: (a) superávit (b) déficit
    4. Matriculaciones universitarias En todo Estados Unidos, la matrícula de colegios comunitarios creció en 1,400,000 estudiantes entre 2007 y 2010. En California, la matrícula de colegios comunitarios disminuyó en 110,171 estudiantes de 2009 a 2010. Usar números enteros para escribir el cambio en la inscripción: (a) crecimiento (b) disminución

    Ejercicios de escritura

    1. Da un ejemplo de un número negativo de tu experiencia de vida.
    2. ¿Cuáles son los tres usos del signo “−” en álgebra? Explique en qué se diferencian.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    (b) Si la mayoría de sus cheques fueron:

    ... con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexiona sobre las habilidades de estudio que usaste para que puedas seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Ser específico.

    ... con alguna ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no dominas se convierten en baches en tu camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos anteriores. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de seguir adelante. ¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros de clase e instructor son buenos recursos. ¿Hay algún lugar en el campus donde estén disponibles los tutores de matemáticas? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

    ... no, ¡no lo consigo! Esta es una señal de advertencia y no debes ignorarla. Debería obtener ayuda de inmediato o rápidamente se verá abrumado. Consulte a su instructor lo antes posible para discutir su situación. Juntos pueden idear un plan para obtener la ayuda que necesita.

    Colaboradores y Atribuciones


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