3.10: Resolver ecuaciones usando números enteros; La propiedad de división de igualdad (Parte 2)
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Traducir a una ecuación y resolver
En el pasado varios ejemplos, se nos dio una ecuación que contenía una variable. En los siguientes ejemplos, primero tendremos que traducir oraciones de palabras en ecuaciones con variables y luego resolveremos las ecuaciones.
Traducir y resolver: cinco más de lo que\(x\) es igual a\(−3\).
Solución
| Traducir. | x + 5 = −3 |
| Restar 5 de ambos lados. | x + 5 − 5 = −3 − 5 |
| Simplificar. | x = −8 |
Verifique la respuesta sustituyéndola en la ecuación original.
\[\begin{split} x + 5 & = -3 \\ -8 + 5 & \stackrel{?}{=} -3 \\ -3 & = -3 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Traducir y resolver: Siete más de lo que\(x\) es igual a\(−2\).
- Contestar
-
\(x+7=-2\);\(x=-9\)
Traducir y resolver: Once más de lo que\(y\) es igual a\(2\).
- Contestar
-
\(y+11=2\);\(y=-9\)
Traducir y resolver: la diferencia de\(n\) y\(6\) es\(−10\).
Solución
| Traducir. | n − 6 = −10 |
| Agrega 6 a cada lado. | n − 6 + 6 = −10 + 6 |
| Simplificar. | n = −4 |
Verifique la respuesta sustituyéndola en la ecuación original.
\[\begin{split} n - 6 & = -10 \\ -4 - 6 & \stackrel{?}{=} -10 \\ -10 & = -10 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Traducir y resolver: La diferencia de\(p\) y\(2\) es\(−4\).
- Contestar
-
\(p-2=-4\);\(p=-2\)
Traducir y resolver: La diferencia de\(q\) y\(7\) es\(−3\).
- Contestar
-
\(q-7=-3\);\(q=4\)
Traducir y resolver: el número\(108\) es producto de\(−9\) y\(y\).
Solución
| Traducir. | 108 = −9y |
| Dividir por −9. | $$\ dfrac {108} {-9} =\ dfrac {-9y} {-9} $$ |
| Simplificar. | −12 = y |
Verifique la respuesta sustituyéndola en la ecuación original.
\[\begin{split} 108 & = -9y \\ 108 & \stackrel{?}{=}-9(-12) \\ 108 & = 108 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Traducir y resolver: El número\(132\) es producto de\(−12\) y\(y\).
- Contestar
-
\(132=-12y\);\(y=-11\)
Traducir y resolver: El número\(117\) es producto de\(−13\) y\(z\).
- Contestar
-
\(117=-13z\);\(z=-9\)
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Conceptos clave
- Cómo determinar si un número es una solución a una ecuación.
- Paso 1. Sustituir el número por la variable en la ecuación.
- Paso 2. Simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.
- Paso 3. Determinar si la ecuación resultante es verdadera.
- Si es cierto, el número es una solución.
- Si no es cierto, el número no es una solución.
- Inmuebles de Igualidades
Resta Propiedad de Igualdad Adición Propiedad de Igualdad - División Propiedad de Igualdad
- Para cualquier número\(a,b,c\) y\(c\neq 0\), si\(a=b\), entonces\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\)
La práctica hace la perfección
Determinar si un número es una solución de una ecuación
En los siguientes ejercicios, determinar si cada número es una solución de la ecuación dada.
- 4x − 2 = 6
- x = −2
- x = −1
- x = 2
- 4y − 10 = −14
- y = −6
- y = −1
- y = 1
- 9a + 27 = −63
- a = 6
- a = −6
- a = −10
- 7c + 42 = −56
- c = 2
- c = −2
- c = −14
Resolver ecuaciones usando las propiedades de suma y resta de igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve por lo desconocido.
- n + 12 = 5
- m + 16 = 2
- p + 9 = −8
- q + 5 = −6
- u − 3 = −7
- v − 7 = −8
- h − 10 = −4
- k − 9 = −5
- x + (−2) = −18
- y + (−3) = −10
- r − (−5) = −9
- s − (−2) = −11
Modelar la División Propiedad de Igualdad
En los siguientes ejercicios, escribe la ecuación modelada por los sobres y contadores para luego resolverla.
Resolver ecuaciones usando la propiedad de división de igualdad
En los siguientes ejercicios, resuelve cada ecuación usando la propiedad de división de igualdad y verifica la solución.
- 5x = 45
- 4p = 64
- −7c = 56
- −9x = 54
- −14p = −42
- −8m = −40
- −120 = 10q
- −75 = 15 años
- 24x = 480
- 18n = 540
- −3z = 0
- 4u = 0
Traducir a una ecuación y resolver
En los siguientes ejercicios, traduzca y resuelva.
- Cuatro más de n es igual a 1.
- Nueve más de m es igual a 5.
- La suma de ocho y p es −3.
- La suma de dos y q es −7.
- La diferencia de a y tres es −14.
- La diferencia de b y 5 es −2.
- El número −42 es el producto de −7 y x.
- El número −54 es el producto de −9 e y.
- El producto de f y −15 es 75.
- El producto de g y −18 es 36.
- −6 más c es igual a 4.
- −2 más d es igual a 1.
- Nueve menos que n es −4.
- Trece menos de n es −10.
Práctica Mixta
En los siguientes ejercicios, resuelve.
- (a) x + 2 = 10 (b) 2x = 10
- (a) y + 6 = 12 (b) 6y = 12
- (a) −3p = 27 (b) p − 3 = 27
- (a) −2q = 34 (b) q − 2 = 34
- a − 4 = 16
- b − 1 = 11
- −8m = −56
- −6n = −48
- −39 = u + 13
- −100 = v + 25
- 11r = −99
- 15s = −300
- 100 = 20d
- 250 = 25n
- −49 = x − 7
- 64 = y − 4
Matemáticas cotidianas
- Envasado de galletas Un paquete de 51 galletas tiene 3 filas iguales de cookies. Encuentra el número de cookies en cada fila, c, resolviendo la ecuación 3c = 51.
- Clase de jardín de infantes La clase de kindergarten de Connie tiene 24 niños. Ella quiere que se metan en 4 grupos iguales. Encuentra el número de niños en cada grupo, g, resolviendo la ecuación 4g = 24.
Ejercicios de escritura
- ¿Es útil modelar la División Propiedad de Igualdad con sobres y contadores para entender cómo resolver la ecuación 3x = 15? Explique por qué o por qué no.
- Supongamos que está usando envolventes y contadores para modelar resolviendo las ecuaciones x + 4 = 12 y 4x = 12. Explica cómo resolverías cada ecuación.
- Frida comenzó a resolver la ecuación −3x = 36 sumando 3 a ambos lados. Explique por qué el método de Frida no resolverá la ecuación.
- Raoul comenzó a resolver la ecuación 4y = 40 restando 4 de ambos lados. Explique por qué el método de Raoul no resolverá la ecuación.
Autocomprobación
(a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.
(b) En general, después de mirar la lista de verificación, ¿cree que está bien preparado para el próximo Capítulo? ¿Por qué o por qué no?