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4.5: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 1)

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    Objetivos de aprendizaje
    • Multiplicar y dividir números mixtos
    • Traducir frases a expresiones con fracciones
    • Simplificar fracciones complejas
    • Simplificar expresiones escritas con una barra de fracciones
    ¡prepárate!

    Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

    1. Dividir y reducir, si es posible:\((4 + 5) ÷ (10 − 7)\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.2.8.
    2. Multiplicar y escribir la respuesta en forma simplificada:\(\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2}{3}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.2.7.
    3. Convertir\(2 \dfrac{3}{5}\) en una fracción impropia. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.1.11.

    Multiplicar y dividir números mixtos

    En la sección anterior, aprendiste a multiplicar y dividir fracciones. Todos los ejemplos allí utilizaron fracciones propias o impropias. ¿Qué sucede cuando se le pide multiplicar o dividir números mixtos? Recuerda que podemos convertir un número mixto en una fracción impropia. Y aprendiste a hacerlo en Visualizar Fracciones.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): multiply

    Multiplicar:\(3 \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{8}\)

    Solución

    Convertir\(3 \dfrac{1}{3}\) a una fracción impropia. \(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{5}{8}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{10 \cdot 5}{3 \cdot 8}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{\cancel{2} \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot \cancel{2} \cdot 4}\)
    Eliminar factores comunes. \(\dfrac{5 \cdot 5}{3 \cdot 4}\)
    Simplificar. \(\dfrac{25}{12}\)

    Observe que dejamos la respuesta como una fracción impropia,\(\dfrac{25}{12}\), y no la convertimos a un número mixto. En álgebra, es preferible escribir respuestas como fracciones impropias en lugar de números mixtos. Esto evita cualquier posible confusión entre\(2 \dfrac{1}{12}\) y\(2 \cdot \dfrac{1}{12}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(5 \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{6}{17}\).

    Contestar

    \(2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(\dfrac{3}{7} \cdot 5 \dfrac{1}{4}\).

    Contestar

    \(\dfrac{9}{4}\)

    CÓMO: MULTIPLICAR O DIVIDIR NU

    Paso 1. Convertir los números mixtos en fracciones impropias.

    Paso 2. Sigue las reglas para la multiplicación o división de fracciones.

    Paso 3. Simplificar si es posible.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

    Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(2 \dfrac{4}{5} \left(− 1 \dfrac{7}{8}\right)\).

    Solución

    Convertir números mixtos en fracciones impropias. \(\dfrac{14}{5} \left(-1 \dfrac{7}{8}\right)\)
    Multiplicar. \(- \dfrac{14 \cdot 15}{5 \cdot 8}\)
    Busque factores comunes. \(- \dfrac{\cancel{2} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 3}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 4}\)
    Eliminar factores comunes. \(- \dfrac{7 \cdot 3}{4}\)
    Simplificar. \(- \dfrac{21}{4}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Multiplica y escribe tu respuesta de forma simplificada. \(5 \dfrac{5}{7} \left(− 2 \dfrac{5}{8}\right)\).

    Contestar

    \(-15\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Multiplica y escribe tu respuesta de forma simplificada. \(-3 \dfrac{2}{5} \cdot 4 \dfrac{1}{6}\).

    Contestar

    \(-\dfrac{85}{6}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\): divide

    Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(3 \dfrac{4}{7} ÷ 5\).

    Solución

    Convertir números mixtos en fracciones impropias. \(\dfrac{25}{7} \div \dfrac{5}{1}\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{25}{7} \cdot \dfrac{1}{5}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{25 \cdot 1}{7 \cdot 5}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{\cancel{5} \cdot 5 \cdot 1}{7 \cdot \cancel{5}}\)
    Eliminar factores comunes. \(\dfrac{5 \cdot 1}{7}\)
    Simplificar. \(\dfrac{5}{7}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(4 \dfrac{3}{8} ÷ 7\).

    Contestar

    \(\dfrac{5}{8}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(2 \dfrac{5}{8} ÷ 3\).

    Contestar

    \(\dfrac{7}{8}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\): divide

    Dividir:\(2 \dfrac{1}{2} \div 1 \dfrac{1}{4}\).

    Solución

    Convertir números mixtos en fracciones impropias. \(\dfrac{5}{2} \div \dfrac{5}{4}\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{5}}\)
    Eliminar factores comunes. \(\dfrac{2}{1}\)
    Simplificar. \(2\)
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(2 \dfrac{2}{3} \div 1 \dfrac{1}{3}\).

    Contestar

    \(2\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(3 \dfrac{3}{4} \div 1 \dfrac{1}{2}\).

    Contestar

    \(\dfrac{5}{2}\)

    Traducir Frases a Expresiones con Fracciones

    Las palabras cociente y ratio se utilizan a menudo para describir fracciones. En Restar números enteros, definimos cociente como resultado de la división. El cociente de\(a\) y\(b\) es el resultado que obtienes al dividir\(a\) por\(b\), o\(\dfrac{a}{b}\). Practicemos la traducción de algunas frases en expresiones algebraicas usando estos términos.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\): translate

    Traducir la frase en una expresión algebraica: “el cociente de\(3x\) y”\(8\).

    Solución

    La palabra clave es cociente; nos dice que la operación es división. Busca las palabras de y y para encontrar los números a dividir.

    El cociente de\(3x\) y\(8\).

    Esto nos dice que tenemos que dividirnos\(3x\) por\(8\). \(\dfrac{3x}{8}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de\(9s\) y\(14\).

    Contestar

    \(\dfrac{9s}{14}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de\(5y\) y\(6\).

    Contestar

    \(\dfrac{5y}{6}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

    Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de\(m\) y\(n\), y\(p\).

    Solución

    Estamos buscando el cociente de la diferencia de\(m\) y\(n\), y\(p\). Esto significa que queremos dividir la diferencia de\(m\) y\(n\) por\(p\).

    \[\dfrac{m − n}{p} \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de\(a\) y\(b\), y\(cd\).

    Contestar

    \(\dfrac{a-b}{cd}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la suma de\(p\) y\(q\), y\(r\).

    Contestar

    \(\dfrac{p+q}{r}\)

    Simplificar fracciones complejas

    Nuestro trabajo con fracciones hasta el momento ha incluido fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos. Otro tipo de fracción se llama fracción compleja, que es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción. Algunos ejemplos de fracciones complejas son:

    \[\dfrac{\dfrac{6}{7}}{3} \quad \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{5}{6}} \nonumber \]

    Para simplificar una fracción compleja, recuerde que la barra de fracciones significa división. Entonces la fracción compleja se\(\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}}\) puede escribir como\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}}\).

    Solución

    Reescribir como división. \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{3 \cdot \cancel{4} \cdot 2}{\cancel{4} \cdot 5}\)
    Elimine los factores comunes y simplifique. \(\dfrac{6}{5}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{4}{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{6}{11}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{11}{14}\)

    CÓMO: SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN

    Paso 1. Reescribir la fracción compleja como problema de división.

    Paso 2. Sigue las reglas para dividir fracciones.

    Paso 3. Simplificar si es posible.

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{− \dfrac{6}{7}}{3}\).

    Solución

    Reescribir como división. \(- \dfrac{6}{7} \div 3\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(- \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1}{3}\)
    Multiplicar; el producto será negativo. \(- \dfrac{6 \cdot 1}{7 \cdot 3}\)
    Busque factores comunes. \(- \dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot \cancel{3}}\)
    Elimine los factores comunes y simplifique. \(- \dfrac{2}{7}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Simplificar:\(\dfrac{− \dfrac{8}{7}}{4}\).

    Contestar

    \(-\dfrac{2}{7}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Simplificar:\(− \dfrac{3}{\dfrac{9}{10}}\).

    Contestar

    \(-\dfrac{10}{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{xy}{6}}\).

    Solución

    Reescribir como división. \(\dfrac{x}{2} \div \dfrac{xy}{6}\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{6}{xy}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{x \cdot 6}{2 \cdot xy}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{\cancel{x} \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{x} \cdot y}\)
    Elimine los factores comunes y simplifique. \(\dfrac{3}{y}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{a}{8}}{\dfrac{ab}{6}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{3}{4b}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{p}{2}}{\dfrac{pq}{8}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{4}{q}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{10}\): simplify

    Simplificar:\(\dfrac{2 \dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{8}}\).

    Solución

    Reescribir como división. \(2 \dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8}\)
    Cambiar el número mixto a una fracción impropia. \(\dfrac{11}{4} \div \dfrac{1}{8}\)
    Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. \(\dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{8}{1}\)
    Multiplicar. \(\dfrac{11 \cdot 8}{4 \cdot 1}\)
    Busque factores comunes. \(\dfrac{11 \cdot \cancel{4} \cdot 2}{\cancel{4} \cdot 1}\)
    Elimine los factores comunes y simplifique. \(22\)
    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1 \dfrac{2}{5}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{25}{49}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

    Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{8}{5}}{3 \dfrac{1}{5}}\).

    Contestar

    \(\dfrac{1}{2}\)

    Colaboradores y Atribuciones


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