4.5: Multiplicar y dividir números mixtos y fracciones complejas (Parte 1)
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- 114242
- Multiplicar y dividir números mixtos
- Traducir frases a expresiones con fracciones
- Simplificar fracciones complejas
- Simplificar expresiones escritas con una barra de fracciones
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Dividir y reducir, si es posible:\((4 + 5) ÷ (10 − 7)\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.2.8.
- Multiplicar y escribir la respuesta en forma simplificada:\(\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{2}{3}\). Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.2.7.
- Convertir\(2 \dfrac{3}{5}\) en una fracción impropia. Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 4.1.11.
Multiplicar y dividir números mixtos
En la sección anterior, aprendiste a multiplicar y dividir fracciones. Todos los ejemplos allí utilizaron fracciones propias o impropias. ¿Qué sucede cuando se le pide multiplicar o dividir números mixtos? Recuerda que podemos convertir un número mixto en una fracción impropia. Y aprendiste a hacerlo en Visualizar Fracciones.
Multiplicar:\(3 \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{8}\)
Solución
Convertir\(3 \dfrac{1}{3}\) a una fracción impropia. | \(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{5}{8}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{10 \cdot 5}{3 \cdot 8}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{\cancel{2} \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot \cancel{2} \cdot 4}\) |
Eliminar factores comunes. | \(\dfrac{5 \cdot 5}{3 \cdot 4}\) |
Simplificar. | \(\dfrac{25}{12}\) |
Observe que dejamos la respuesta como una fracción impropia,\(\dfrac{25}{12}\), y no la convertimos a un número mixto. En álgebra, es preferible escribir respuestas como fracciones impropias en lugar de números mixtos. Esto evita cualquier posible confusión entre\(2 \dfrac{1}{12}\) y\(2 \cdot \dfrac{1}{12}\).
Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(5 \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{6}{17}\).
- Contestar
-
\(2\)
Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(\dfrac{3}{7} \cdot 5 \dfrac{1}{4}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{9}{4}\)
Paso 1. Convertir los números mixtos en fracciones impropias.
Paso 2. Sigue las reglas para la multiplicación o división de fracciones.
Paso 3. Simplificar si es posible.
Multiplica, y escribe tu respuesta en forma simplificada:\(2 \dfrac{4}{5} \left(− 1 \dfrac{7}{8}\right)\).
Solución
Convertir números mixtos en fracciones impropias. | \(\dfrac{14}{5} \left(-1 \dfrac{7}{8}\right)\) |
Multiplicar. | \(- \dfrac{14 \cdot 15}{5 \cdot 8}\) |
Busque factores comunes. | \(- \dfrac{\cancel{2} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 3}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 4}\) |
Eliminar factores comunes. | \(- \dfrac{7 \cdot 3}{4}\) |
Simplificar. | \(- \dfrac{21}{4}\) |
Multiplica y escribe tu respuesta de forma simplificada. \(5 \dfrac{5}{7} \left(− 2 \dfrac{5}{8}\right)\).
- Contestar
-
\(-15\)
Multiplica y escribe tu respuesta de forma simplificada. \(-3 \dfrac{2}{5} \cdot 4 \dfrac{1}{6}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{85}{6}\)
Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(3 \dfrac{4}{7} ÷ 5\).
Solución
Convertir números mixtos en fracciones impropias. | \(\dfrac{25}{7} \div \dfrac{5}{1}\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(\dfrac{25}{7} \cdot \dfrac{1}{5}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{25 \cdot 1}{7 \cdot 5}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{\cancel{5} \cdot 5 \cdot 1}{7 \cdot \cancel{5}}\) |
Eliminar factores comunes. | \(\dfrac{5 \cdot 1}{7}\) |
Simplificar. | \(\dfrac{5}{7}\) |
Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(4 \dfrac{3}{8} ÷ 7\).
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{8}\)
Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(2 \dfrac{5}{8} ÷ 3\).
- Contestar
-
\(\dfrac{7}{8}\)
Dividir:\(2 \dfrac{1}{2} \div 1 \dfrac{1}{4}\).
Solución
Convertir números mixtos en fracciones impropias. | \(\dfrac{5}{2} \div \dfrac{5}{4}\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{5}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 5}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 2}{\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{5}}\) |
Eliminar factores comunes. | \(\dfrac{2}{1}\) |
Simplificar. | \(2\) |
Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(2 \dfrac{2}{3} \div 1 \dfrac{1}{3}\).
- Contestar
-
\(2\)
Divide, y escribe tu respuesta de forma simplificada:\(3 \dfrac{3}{4} \div 1 \dfrac{1}{2}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{2}\)
Traducir Frases a Expresiones con Fracciones
Las palabras cociente y ratio se utilizan a menudo para describir fracciones. En Restar números enteros, definimos cociente como resultado de la división. El cociente de\(a\) y\(b\) es el resultado que obtienes al dividir\(a\) por\(b\), o\(\dfrac{a}{b}\). Practicemos la traducción de algunas frases en expresiones algebraicas usando estos términos.
Traducir la frase en una expresión algebraica: “el cociente de\(3x\) y”\(8\).
Solución
La palabra clave es cociente; nos dice que la operación es división. Busca las palabras de y y para encontrar los números a dividir.
El cociente de\(3x\) y\(8\).
Esto nos dice que tenemos que dividirnos\(3x\) por\(8\). \(\dfrac{3x}{8}\)
Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de\(9s\) y\(14\).
- Contestar
-
\(\dfrac{9s}{14}\)
Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de\(5y\) y\(6\).
- Contestar
-
\(\dfrac{5y}{6}\)
Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de\(m\) y\(n\), y\(p\).
Solución
Estamos buscando el cociente de la diferencia de\(m\) y\(n\), y\(p\). Esto significa que queremos dividir la diferencia de\(m\) y\(n\) por\(p\).
\[\dfrac{m − n}{p} \nonumber \]
Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de\(a\) y\(b\), y\(cd\).
- Contestar
-
\(\dfrac{a-b}{cd}\)
Traducir la frase en una expresión algebraica: el cociente de la suma de\(p\) y\(q\), y\(r\).
- Contestar
-
\(\dfrac{p+q}{r}\)
Simplificar fracciones complejas
Nuestro trabajo con fracciones hasta el momento ha incluido fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos. Otro tipo de fracción se llama fracción compleja, que es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción. Algunos ejemplos de fracciones complejas son:
\[\dfrac{\dfrac{6}{7}}{3} \quad \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \quad \dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{5}{6}} \nonumber \]
Para simplificar una fracción compleja, recuerde que la barra de fracciones significa división. Entonces la fracción compleja se\(\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}}\) puede escribir como\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\).
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}}\).
Solución
Reescribir como división. | \(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{5}{8}\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{3 \cdot \cancel{4} \cdot 2}{\cancel{4} \cdot 5}\) |
Elimine los factores comunes y simplifique. | \(\dfrac{6}{5}\) |
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{6}}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{5}\)
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{3}{7}}{\dfrac{6}{11}}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{11}{14}\)
Paso 1. Reescribir la fracción compleja como problema de división.
Paso 2. Sigue las reglas para dividir fracciones.
Paso 3. Simplificar si es posible.
Simplificar:\(\dfrac{− \dfrac{6}{7}}{3}\).
Solución
Reescribir como división. | \(- \dfrac{6}{7} \div 3\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(- \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{1}{3}\) |
Multiplicar; el producto será negativo. | \(- \dfrac{6 \cdot 1}{7 \cdot 3}\) |
Busque factores comunes. | \(- \dfrac{\cancel{3} \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot \cancel{3}}\) |
Elimine los factores comunes y simplifique. | \(- \dfrac{2}{7}\) |
Simplificar:\(\dfrac{− \dfrac{8}{7}}{4}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{2}{7}\)
Simplificar:\(− \dfrac{3}{\dfrac{9}{10}}\).
- Contestar
-
\(-\dfrac{10}{3}\)
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{x}{2}}{\dfrac{xy}{6}}\).
Solución
Reescribir como división. | \(\dfrac{x}{2} \div \dfrac{xy}{6}\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{6}{xy}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{x \cdot 6}{2 \cdot xy}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{\cancel{x} \cdot 3 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{x} \cdot y}\) |
Elimine los factores comunes y simplifique. | \(\dfrac{3}{y}\) |
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{a}{8}}{\dfrac{ab}{6}}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{4b}\)
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{p}{2}}{\dfrac{pq}{8}}\).
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{q}\)
Simplificar:\(\dfrac{2 \dfrac{3}{4}}{\dfrac{1}{8}}\).
Solución
Reescribir como división. | \(2 \dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{8}\) |
Cambiar el número mixto a una fracción impropia. | \(\dfrac{11}{4} \div \dfrac{1}{8}\) |
Multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda. | \(\dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{8}{1}\) |
Multiplicar. | \(\dfrac{11 \cdot 8}{4 \cdot 1}\) |
Busque factores comunes. | \(\dfrac{11 \cdot \cancel{4} \cdot 2}{\cancel{4} \cdot 1}\) |
Elimine los factores comunes y simplifique. | \(22\) |
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{5}{7}}{1 \dfrac{2}{5}}\).
- Contestar
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\(\dfrac{25}{49}\)
Simplificar:\(\dfrac{\dfrac{8}{5}}{3 \dfrac{1}{5}}\).
- Contestar
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\(\dfrac{1}{2}\)